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1、3 3.3 3幂函数一二一、幂函数的定义【问题思考】1.请说出函数y=2x与y=x2的自变量的特征,y=x2是指数函数吗?提示:函数y=2x是前面刚学过的指数函数,自变量x为指数幂的指数.而函数y=x2中自变量x为指数幂的底数.y=x2不是指数函数,而是本节课将要学习的幂函数.2.一次函数和二次函数都是幂函数吗?提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.一次函数中的y=x与二次函数中的y=x2才是本节课研究的结构形式,能称为幂函数.3.填空.一般地,形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中为常数.一二二、函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的
2、图象与性质【问题思考】1.在同一坐标系内作出上述五种函数的图象.回答以下问题:(1)仅考虑第一象限内的图象,这五个函数的图象都过哪个定点?提示:点(1,1).(2)函数y=x,y=x2,y=x3,图象所过公共点是哪个?提示:点(0,0),点(1,1).(3)这五个函数的图象均不过哪个象限?你能发现更一般的结论吗?提示:上述五个函数的图象均不过第四象限,一般地,对幂函数y=x而言,当x0时,必有y0,故幂函数的图象不过第四象限.一二2.(1)在幂函数y=x中,如果是正偶数(=2n,n为非零自然数),如=2,4,6,这一类函数具有哪些重要性质?提示:重要性质:定义域为R,图象都经过(-1,1),(
3、0,0),(1,1)三点;函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;函数在(-,0上为减函数,在0,+)内为增函数.(2)在幂函数y=x中,如果是正奇数(=2n-1,n为非零自然数),如=1,3,5,这一类函数具有哪些重要性质?提示:重要性质:定义域、值域为R,图象都过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;函数在R上是增函数.(3)幂函数y=x,x0,+),1与01还是0-1.25,(-1.2)3(-1.25)3.(3)y=x-1在(0,+)内是减函数,5.255.26-1.y=5.26x在R上是增函数,-1-2.5.26-15.26-2.综上,5.
4、25-15.26-15.26-2.(4)00.531,log30.50,log30.50.5330.5.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟比较幂形式的两个数大小的常用方法:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性.(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性.(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练变式训练三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是()A.0.76log0.7660.7B.0.7660.7log0.76C.log0.7660.70.76D.log0.760.761,00.761,
5、log0.760,所以log0.760.7660.7.故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析幂函数的图象幂函数的图象【例3】如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则()A.n1B.n0mn1D.nm1解析:由幂函数的图象及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m0,n0.又由y=xm的图象与直线y=x比较,得0m1.答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟画图象时,一般先画第一象限内的图象,再结合函数性质补全图象,幂函数的图象与幂指数间有如下规律:(1)指数大于1,在第一象限的图象,类似于y=x2的图象;(2)指
6、数等于1,在第一象限为上升的射线;(3)指数大于0小于1,在第一象限的图象,类似于的图象;(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线;(5)指数小于0,在第一象限类似于y=x-1的图象.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析幂函数性质的综合应用幂函数性质的综合应用【例4】已知幂函数(mZ)是偶函数,且在(0,+)内是减函数,求函数f(x)的解析式.分析:先利用f(x)在(0,+)内为减函数求出m的取值范围,再用代入检验的方法来验证是否为偶函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.本题要先充分利用函数为减函数的性质,这正是此问题的切
7、入点,如果先选用偶函数这一性质,将不能准确快速地得出m的值.2.对于与幂函数有关的综合性问题,一般涉及奇偶性与单调性问题,解决此类问题可分两步走:一是利用单调性来弄清指数的正负,二是利用奇偶性来确定幂函数的图象.探究一探究二探究三探究四思维辨析将本例中“(mZ)是偶函数,且在(0,+)内是减函数”改为“f(x)=x3m-9(mN+)的图象关于y轴对称,且在(0,+)内的函数值随x的增大而减小”,试求f(x).解:函数f(x)=x3m-9在(0,+)内是减函数,3m-90,即m0,不合题意,当m=-6时,指数4m-m20,符合题意.故m=-6.答案:-65.已知(0.71.3)m(1.30.7)m,则实数m的取值范围为.解析:0.71.31.30=1,0.71.30.答案:(0,+)