《2024年高考数学专项突破数列大题拔高练（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项突破数列大题拔高练（解析版）.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数列大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）数列大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023湖北武汉湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测）华中师大一附中校联考模拟预测）数列 na满足11a，1113nnaan(1)设27nnnnba，求 nb的最大项；(2)求数列 na的前 n 项和nS2（2023安徽蚌埠安徽蚌埠统考三模）统考三模）已知数列 na满足11a，2121nnaa，2212nnaa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设12111nnTaaa，求证：23nT.3（2023吉林通化吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列 n
2、a满足11a，1,;nnnan naan n为奇数为偶数数列nb满足2nnba(1)求数列 nb的通项公式；(2)求数列11nnb b的前 n 项和nS4（2023广东广州广东广州统考一模）统考一模）已知数列 na的前n项和为nS，且221nnnSa(1)求1a，并证明数列2nna是等差数列：(2)若222kkaS，求正整数k的所有取值.5（2023湖南岳阳湖南岳阳统考二模）统考二模）已知数列 na的前n项和为111,1,22nnnnSaSS(1)证明数列2nnS是等差数列，并求数列 na的通项公式；(2)设3nnnbS，若对任意正整数n，不等式21827nmmb恒成立，求实数m的取值范围.6
3、（2023广东深圳广东深圳深圳中学校联考模拟预测）深圳中学校联考模拟预测）在数列 na中，149a，2313912nnnnana.(1)求 na的通项公式；2024年高考数学专项突破数列大题拔高练（解析版）(2)设 na的前n项和为nS，证明：52544 3nnnS.7（2023山西山西校联考模拟预测）校联考模拟预测）在11nnnbaa；11nnnba a；2nnnba，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题已知数列 na的前 n 项和23322nnSnann(1)证明：数列 na是等差数列；(2)若12a，设_，求数列 nb的前 n 项和nT8（2023吉林长春吉林长春校联考一模校
4、联考一模）已知等差数列 na的首项11a，记 na的前 n 项和为nS，4232140Sa a.(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 na公差1d，令212nnnnnacaa，求数列 nc的前 n 项和nT.9（2023浙江浙江校联考三模校联考三模）已知数列 na是以 d 为公差的等差数列，0,ndS为 na的前 n 项和(1)若6336,1SSa，求数列 na的通项公式；(2)若 na中的部分项组成的数列nma是以1a为首项，4 为公比的等比数列，且214aa，求数列nm的前 n 项和nT10（2023山西山西统考模拟预测统考模拟预测）已知数列 na是正项等比数列，且417aa，238
5、a a.(1)求 na的通项公式；(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列 nb的前n项和nS.21nnbna；22121 lognnbna.11（2023辽宁沈阳辽宁沈阳统考一模）统考一模）设*nN，向量1,1ABn，1,41ACnn，naAB AC (1)令1nnnbaa，求证：数列 nb为等差数列；(2)求证：1211134naaa12（2023福建厦门福建厦门厦门双十中学校考模拟预测）厦门双十中学校考模拟预测）设数列 na的前 n 项和为nS已知11a，222nnnaSnn，*Nn(1)求证：数列 na是等差数列；(2)设数列 nb的前 n 项和为nT，且21nnT，令2nn
6、nacb，求数列 nc的前 n 项和nR13（2023山东潍坊山东潍坊统考一模）统考一模）已知数列 na为等比数列，其前n项和为nS，且满足2nnSm mR.(1)求m的值及数列 na的通项公式；(2)设2log5nnba，求数列 nb的前n项和nT.14（2023辽宁抚顺辽宁抚顺统考模拟预测）统考模拟预测）已知nS是等差数列 na的前 n 项和，nT是等比数列 nb的前 n 项和，且10a，11b，223344STSTST(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)设211nnnican，求数列11nncc的前 n 项和nP15（2023湖北湖北校联考模拟预测）校联考模拟预测）已知数列 na
7、满足112,(1)02,Nnnananann(1)求数列 na的通项公式；(2)设nS为数列 na的前 n 项和，求2023S16（2023安徽合肥安徽合肥校考一模）校考一模）已知数列 na满足221nnna aa，13a，23243a a(1)求 na的通项公式；(2)若3lognnba，数列 nb的前n项和为nS，求12111nSSS17（2023辽宁葫芦岛辽宁葫芦岛统考一模统考一模）设等差数列 na的前项和为nS，已知1239aaa，2421aa，等比数列 nb满足2334bb，2 3 4164b b b(1)求nS；(2)设nnncS b，求证：1234ncccc18（2023山东枣庄
8、山东枣庄统考二模）统考二模）已知数列 na的首项13a，且满足2122nnnaa(1)证明：2nna 为等比数列；(2)已知2,log,nnnanban为奇数为偶数，nT为 nb的前 n 项和，求10T19（2023山东聊城山东聊城统考一模统考一模）已知数列 na满足1322aaa，13,2,nnna naan为奇数为偶数，数列 nc满足21nnca(1)求数列 nc和 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和nS20（2023江苏江苏二模）二模）已知数列 na满足112a ，1120nnnana.数列 nb满足11b，1nnnbk ba(1)求 na的通项公式；(2)证明：当1k 时，1
9、132nnnb21（2023江苏江苏统考一模统考一模）在数列 na中，若*1123Nnnaa a aad n，则称数列 na为“泛等差数列”，常数 d 称为“泛差”.已知数列 na是一个“泛等差数列”，数列 nb满足22212123nnnaaaa a aab.(1)若数列 na的“泛差”1d，且1a，2a，3a成等差数列，求1a；(2)若数列 na的“泛差”1d ，且112a，求数列 nb的通项nb.22（2023辽宁辽阳辽宁辽阳统考一模统考一模）某体育馆将要举办一场文艺演出，以演出舞台为中心，观众座位依次向外展开共有 10 排，从第 2 排起每排座位数比前一排多 4 个，且第三排共有 49
10、个座位.(1)设第 n 排座位数为1,2,10nan L，求na及观众座位的总个数；(2)已知距离演出舞台最远的第 10 排的演出门票的价格为 500 元/张，每往前推一排，门票单价为其后一排的 1.1 倍，若门票售罄，试问该场文艺演出的门票总收入为多少元？（取101.12.594）23（2023浙江温州浙江温州统考二模）统考二模）已知 na是首项为 1 的等差数列，公差 0,ndb是首项为 2 的等比数列，4283,ab ab(1)求 ,nnab的通项公式；(2)若数列 nb的第m项mb，满足_（在中任选一个条件），*Nk，则将其去掉，数列 nb剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 nc，求
11、nc的前 20 项和20S4logmkba31mkba24（2023山西太原山西太原统考一模）统考一模）已知等差数列 na中，11a，nS为 na的前n项和，且nS也是等差数列.(1)求na；(2)设*1nnnnSbna aN，求数列 nb的前n项和nT.25（2023云南红河云南红河统考二模统考二模）已知等差数列 na的公差0d，12a，其前n项和为nS，且_在1a，3a，11a成等比数列；53353SS；221133nnnnaaaa这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足11nnnba ，求数列 nb的前2n项和2nT注：如果选
12、择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分26（2023辽宁大连辽宁大连校联考模拟预测校联考模拟预测）已知数列 na的前n项之积为(1)22Nn nnSn(1)求数列 na的通项公式；(2)设公差不为 0 的等差数列 nb中，11b，_，求数列2log2nbna 的前 n项和nT请从224bb；358bb这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分27（2023山东山东烟台二中校联考模拟预测）烟台二中校联考模拟预测）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且413a，672S，数列 nb的前 n 项和为nT，且344nnTb(1)求数列 n
13、a，nb的通项公式(2)记152nnnnabc，若数列 nc的前 n 项和为nQ，数列nb的前 n 项和为nR，探究：nnnQRc是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由28（2023湖南常德湖南常德统考一模）统考一模）已知数列 na满足1224444nnnaaanL（*nN）.(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足11nnnba a，求 nb的前 n 项和nS.29（2023山东济宁山东济宁统考一模）统考一模）已知数列 na的前n项和为nS，且满足：*111,2(N)nnanaSn n.(1)求证：数列1nan为常数列；(2)设3123123333nnnaaaaaaa
14、aT，求nT.30（2023湖南长沙湖南长沙湖南师大附中校考一模）湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线12:(0)1xCyxx及曲线21:(0)3Cyxx.从1C上的点nP nN作直线平行于x轴，交曲线2C于点nQ，再从点nQ作直线平行于y轴，交曲线1C于点1nP，点nP的横坐标构成数列 1102naa.(1)试求1na与na之间的关系，并证明：21212nnaanN；(2)若113a，求na的通项公式.数列大题拔高练数列大题拔高练-新高考数学复习新高考数学复习分层训练（新高考通用）分层训练（新高考通用）1（2023湖北武汉湖北武汉华中师大一附中校联考模拟预测华中师大一附中校联考模拟预测）数列
15、 na满足11a，1113nnaan(1)设27nnnnba，求 nb的最大项；(2)求数列 na的前 n 项和nS【答案】(1)812187b(2)21 314nnnS【分析】（1）构造等比数列nan，从而求出na的通项公式，进而得到nb的通项公式，即可求出最大项；（2）利用错位相减法即可.【详解】（1）由1113nnaan 得131nnaann 又111a，nan是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，13nnan，13nnan，173nnnb当7n 时，nb不会最大；当7n 时，设nb是最大项，则1nnbb，且1nnbb，即16733nnnn，且218733nnnn，即637nn且387
16、nn，解得151722n又*nN，8n，nb的最大项是871132187b（2）0111 32 33nnSn，3得1231 32 33nnSn，得1211 33121 3333331 32nnnnnnnSnnn ，21 314nnnS2（2023安徽蚌埠安徽蚌埠统考三模）统考三模）已知数列 na满足11a，2121nnaa，2212nnaa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设12111nnTaaa，求证：23nT.【答案】(1)121221,22,.nnnnan为奇数为偶数(2)证明见解析.【分析】（1）由题意21221121nnnaaa,证得211na是等比数列，求得21na的通项公式，
17、再由2212nnaa求得2na的通项公式.（2）方法一：由（1）得1211112121131321221221 12innnniiiiiiiiTaa，利用111111321322221212121iinniiiiii放缩转化为裂项求和得证.方法二：2112121131221nnniiiiiTaa,利用1212nn 放缩得2113122nniiT可证得结论.【详解】（1）由题意21221121nnnaaa,所以2121121nnaa,因为1120a ,所以数列211na是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以2112nna,即2121nna,而1221222nnnaa,所以121221,22,
18、.nnnnan为奇数为偶数（2）方法一：由(1)得1211112121131321221221 12innnniiiiiiiiTaa111113223221212121iinniiiiii11111133 13212121niini方法二：因为1*212nN,nn 所以2111121211313113 13221222nnnniiniiiiiTaa.3（2023吉林通化吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列 na满足11a，1,;nnnan naan n为奇数为偶数数列nb满足2nnba(1)求数列 nb的通项公式；(2)求数列11nnb b的前 n 项和
19、nS【答案】(1)21nnban(2)1122nSn【分析】（1）根据数列 na的递推公式依次写出12342naaaaa，即可发现规律；（2）由（1）可写出数列11nnb b的表达式，根据裂项求和的方法可求出前 n 项和nS【详解】（1）由题意知，11a，211aa，322aa，433aa，544aa，212222nnaan，22121nnaan，从而 211 2342322211nnbannnn （2）由（1）111111212nnb bnnnn，所以1111111123341222nSnnn4（2023广东广州广东广州统考一模）统考一模）已知数列 na的前n项和为nS，且221nnnSa(
20、1)求1a，并证明数列2nna是等差数列：(2)若222kkaS，求正整数k的所有取值.【答案】(1)11a，证明见解析(2)1,2,3【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn证明1122nnnnaa为定值即可；（2）先根据（1）求出na，再利用错位相减法求出nS，从而可得222,kkaS，再根据函数的单调性即可得解.【详解】（1）由221nnnSa，得221nnnSa，当1n 时，11122 1Saa，所以11a，当2n 时，111221nnnSa，两式相减得1122nnnnaaa，即112nnnaa，所以111222nnnnaa，所以数列2nna是以1122a为首项，12为公差的
21、等差数列；（2）由（1）得22nnan，所以12nnan，211223 22nnSn ，2322223 22nnSn，两式相减得2311 21 2222221211 2nnnnnnSnnn ，所以1 21nnSn，则22221221 21,22kkkkSkka，由222kkaS，得2212221 21kkkk，即22114202kkk，令 2211422xfxxx，因为函数221142,2xyxxy 在2,上都是增函数，所以函数 2211422xfxxx在2,上是增函数，由 1311711420,248202288ff ，5577111139 12210,416 162202222ff ，则当
22、4x 时，0f x，所以若222kkaS，正整数k的所有取值为1,2,3.5（2023湖南岳阳湖南岳阳统考二模）统考二模）已知数列 na的前n项和为111,1,22nnnnSaSS(1)证明数列2nnS是等差数列，并求数列 na的通项公式；(2)设3nnnbS，若对任意正整数n，不等式21827nmmb恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析，21,121 2,2nnnann；(2)1m 或m2.【分析】（1）由递推关系变形可得11122nnnnSS，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列 nS的通项公式，再根据nS和na的关系求数列 na的通项公式；（2）由（1）
23、计算1nnbb，判断数列 nb的单调性，令nb的最大值小于21127mm即可求解.【详解】（1）由1122nnnSS得11122nnnnSS，又111222Sa，所以数列2nnS是以12为首项，公差为 1 的等差数列，1211222nnSnn，即121 2nnSn当2n 时，122121 223221 2nnnnnnaSSnnn，又11a 不满足上式，所以21,121 2,2nnnann；（2）由（1）知121 2nnSn，121212323nnnnnbn 111212522232363nnnnnnbbnn当2n 时，1nnbb；当3n 时，1nnbb，即12345bbbbb所以nb的最大值为
24、32027b，依题意220182727mm，即220mm，解得1m 或m2.6（2023广东深圳广东深圳深圳中学校联考模拟预测）深圳中学校联考模拟预测）在数列 na中，149a，2313912nnnnana.(1)求 na的通项公式；(2)设 na的前n项和为nS，证明：52544 3nnnS.【答案】(1)2123nnnan(2)证明见解析【分析】（1）由 2313912nnnnana可得122321321nnnanann，进而得证数列221nnan是首项为13，公比为13的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；（2）由2111123233nnnnnnnnann，可得12231333n
25、nnS，设12231333nnnT，利用错位相减法求和即可得证.【详解】（1）2313912nnnnana，12233221nnnanann，即122321321nnnanann.又211 2131 1a，所以数列221nnan是首项为13，公比为13的等比数列，从而22131nnnan，则2123nnnan.（2）证明：2111123233nnnnnnnnann，12231333nnnS，设12231333nnnT，则23112313333nnnT，两式相减得：112111119322111211333333313nnnnnnnT，即111221115251363362 33nnnnnnT.
26、从而52544 3nnnT，故52544 3nnnS.7（2023山西山西校联考模拟预测）校联考模拟预测）在11nnnbaa；11nnnba a；2nnnba，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题已知数列 na的前 n 项和23322nnSnann(1)证明：数列 na是等差数列；(2)若12a，设_，求数列 nb的前 n 项和nT【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用数列通项na与前n项和nS的关系证明.（2）利用裂项相消法、错位相减法计算求解.【详解】（1）因为23322nnSnann，所以2113311122nnSnann，得1113nnnananan，整
27、理得13nnaa，由等差数列的定义可知 na是等差数列（2）由（1）得 na的公差3d，又因为12a，所以1(1)31naandn若选：1113231132313313231323231nnnnnbnnaannnnnn ,所以 1231528511832313nnTbbbbnn3223n若选：111111(31)(32)3 3132nnnba annnn，所以1 111111113 25588113132nTnn1 113 2322(32)nnn若选：3122nnnnban21231225 28 2(31)2nnnTbbbn ，则23412225 28 2(31)2nnTn ，两式作差得123
28、1223 23 23 2(31)2nnnTn 11112 124312843212nnnnn 所以18342nnTn 8（2023吉林长春吉林长春校联考一模校联考一模）已知等差数列 na的首项11a，记 na的前 n 项和为nS，4232140Sa a.(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 na公差1d，令212nnnnnacaa，求数列 nc的前 n 项和nT.【答案】(1)21nan或23nan(2)11(21)2nnTn【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；（2）根据题意可得21nan，12311(21)(21)2(21)2(21)2nnnnncnnnn，利用裂项相
29、消法求和【详解】（1）由题意可得：423111214462()(2)14462(1)(21)140Sa aaddadaddd，整理得24d，则2d 可得1 2121nann 或1 2123nann ，故21nan或23nan.（2）1d，由（1）可得2,21ndan，则12311(21)(21)2(21)2(21)2nnnnncnnnn，故12311211111113 23 252(21)2(21)1(2)2211nnnnnnTccccnnLL所以11(21)2nnTn.9（2023浙江浙江校联考三模校联考三模）已知数列 na是以 d 为公差的等差数列，0,ndS为 na的前 n 项和(1)若
30、6336,1SSa，求数列 na的通项公式；(2)若 na中的部分项组成的数列nma是以1a为首项，4 为公比的等比数列，且214aa，求数列nm的前 n 项和nT【答案】(1)1122nan(2)4169nnnT【分析】（1）由636SS，可得52a，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；（2）由题可得14nnmmaa，11m.后由 na是以 d 为公差的等差数列，214aa可得数列23nm是以13为首项4 为公比的等比数列，可求得数列nm的通项公式，后由分组求和法可得nm的前 n 项和nT【详解】（1）因为636SS，所以4566aaa，所以45655362aaaaa.所以533111
31、353222naadaandn.则数列 na的通项公式为1122nan.（2）因为数列nma是以首项为1a，公比为 4 等比数列.所以111141,nnmmmaaaam.因为数列 na是等差数列，所以111141nnamdamd.化简得11343nnammd.因为2114aada，所以113ad，即142nnmm.所以122433nnmm.因为12133m，所以数列23nm是以13为首项4 为公比的等比数列所以112112443333nnnnmm.所以0111212416444339nnnnnnTmmm.则数列nm的前 n 项和nT为：4169nnnT.10（2023山西山西统考模拟预测统考模
32、拟预测）已知数列 na是正项等比数列，且417aa，238a a.(1)求 na的通项公式；(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列 nb的前n项和nS.21nnbna；22121 lognnbna.【答案】(1)12nna(2)选，2323nnSn；选，21nnSn.【分析】（1）根据等比数列的性质可得出关于1a、4a的方程组，解出这两个量的值，可求得数列 na的公比，进而可求得数列 na的通项公式；（2）选，利用错位相减法可求得nS；选，利用裂项相消法求得nS.【详解】（1）解：由等比数列的性质可得14238a aa a，由题意可得411414780,0aaa aaa，解得141
33、8aa，所以，等比数列 na的公比为4312aqa=，所以，1112nnnaa q.（2）解：若选，12121 2nnnbnan.所以，01211 23 25 2212nnSn ，则12121 23 2232212nnnSnn ，得2112121 212 22221 2121 21 2nnnnnSnn 11242123223nnnnn，因此，2323nnSn；若选，221111121 log21212 2121nnbnannnn，所以，11111112335212121nnSnnnL.11（2023辽宁沈阳辽宁沈阳统考一模）统考一模）设*nN，向量1,1ABn，1,41ACnn，naAB AC
34、 (1)令1nnnbaa，求证：数列 nb为等差数列；(2)求证：1211134naaa【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算可得22nann，进而可得23nbn，结合等差数列的定义分析证明；（2）利用裂项相消法分析证明.【详解】（1）由题意可得：221412naAB ACnnnn uuu r uuu r，则221121223nnnbaannnnn，可得 125232nnbbnn，故数列 nb是以首项15b，公差2d 的等差数列.（2）由（1）可得：211111222nannnn，则121111111111 3111232422 212naaannn
35、n，110,012nn，故12111131132 2124naaann.12（2023福建厦门福建厦门厦门双十中学校考模拟预测）厦门双十中学校考模拟预测）设数列 na的前 n 项和为nS已知11a，222nnnaSnn，*Nn(1)求证：数列 na是等差数列；(2)设数列 nb的前 n 项和为nT，且21nnT，令2nnnacb，求数列 nc的前 n 项和nR【答案】(1)证明见解析(2)2146122nnnnR【分析】(1)应用1nnnaSS,结合等差数列定义证明即可;(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消【详解】（1）222nnnaSnn，当2n 时，21121211n
36、nnaSnn，得：2211221211nnnnnanaSSnnnn,即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n 且*Nn，所以 na是以 1 为公差的等差数列（2）由（1）得，nan当1n 时，111bT；当2n 时，112nnnnbTT；又11b 满足上式，所以1*2Nnnbn所以212nnnc，记数列 nc的前 n 项和为nR方法一：（两次错位相减）222201211232222nnnRL，2222123112322222nnnR L，得20121113521222222nnnnnRL，则212311113523214222222nnnnnnnRL，得222211111211
37、14222222nnnnnnnnR L221111214612 132222nnnnnnnn，所以2146122nnnnR方法二：（裂项）因为222121121323222nnnnnnnnnc，所以2223210121121312 1 322 2322 332322222nnnnnnnR L2211121346121222nnnnnn13（2023山东潍坊山东潍坊统考一模）统考一模）已知数列 na为等比数列，其前n项和为nS，且满足2nnSm mR.(1)求m的值及数列 na的通项公式；(2)设2log5nnba，求数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)1m ，12nna(2)2211,16
38、21160,62nnnnTnnn【分析】（1）当2n 时，112nnSm，两式相减得122nnan，由1121am，可求出m的值；（2）由（1）知6nbn，由绝对值的定义结合等差数列的前n项和公式即可求出数列 nb的前n项和nT.【详解】（1）因为2nnSm，所以2n 时，112nnSm，所以122nnan.又由数列 na为等比数列，所以12nna.又因为11 111221aSm，所以1m ，综上11,2nnma.（2）由（1）知6nbn，当16n时，2561122nnnnTn ，当6n 时，61662nnTTn56152nn211602nn所以2211,1621160,62nnnnTnnn.
39、14（2023辽宁抚顺辽宁抚顺统考模拟预测）统考模拟预测）已知nS是等差数列 na的前 n 项和，nT是等比数列 nb的前 n 项和，且10a，11b，223344STSTST(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)设211nnnican，求数列11nncc的前 n 项和nP【答案】(1)9(1)8nan，12N3nnnb(2)6481(1)nn【分析】（1）利用已知条件建立方程3232434300SSTTSSTT从而求得32q，98d ，再利用等差数列、等比数列的通项公式可得；（2）由 na的通项公式，求出21198nnnicann，再根据裂项求和可得nP.【详解】（1）因为223344
40、STSTST，所以3232434300SSTTSSTT即334400abab，即232030dqdq，因为0q，解得32q，98d 所以9(1)8nan，132nnb（2）由（1）知9(1)8nan得22199(1 21)91 35(21)8828nninnann ，所以21198nnnncann因此11648l(1)nnccn n，所以64111811 22 3(1)nPn n641111164181223181(1)nnnn15（2023湖北湖北校联考模拟预测）校联考模拟预测）已知数列 na满足112,(1)02,Nnnananann(1)求数列 na的通项公式；(2)设nS为数列 na的
41、前 n 项和，求2023S【答案】(1)1(1)2nnan(2)2024【分析】（1）根据数列递推式可得11nnanan，利用累乘法，即可求得答案；（2）结合（1）的结论，推出2212kkaa，将2023S进行并项求和，可得答案.【详解】（1）当2n 时，由1(1)0nnnana，得1212112,121nnnnaaannanana ，将以上各式累乘，得11(1)1nnana，结合12a，得1(1)2nnan 检验，12a 满足上式，所以1(1)2nnan（2）由（1）知1(1)2nnan，所以，对任意Nk，212221(1)4(1)2(21)2kkkkaakk ，于是123202220232
42、023Saaaaa222202416（2023安徽合肥安徽合肥校考一模）校考一模）已知数列 na满足221nnna aa，13a，23243a a(1)求 na的通项公式；(2)若3lognnba，数列 nb的前n项和为nS，求12111nSSS【答案】(1)3nna(2)21nn【分析】（1）利用等比中项法判断出 na为等比数列，设其公比为q，由23243a a，求出3q，得到 na的通项公式；（2）先得到nbn，再求12nn nS，最后利用裂项相消法求121nSn n和即可.【详解】（1）221nnna aa，211nnnnaaaa，na为等比数列，设公比为q，又2312313243aa
43、aa q，3q，13 33nnna；（2）333loglog 3log 3nnnbann，12nnnS，1211211nSnnnn，121111111111111122 11223111nnSSSSnnnnn21nn17（2023辽宁葫芦岛辽宁葫芦岛统考一模统考一模）设等差数列 na的前项和为nS，已知1239aaa，2421aa，等比数列 nb满足2334bb，2 3 4164b b b(1)求nS；(2)设nnncS b，求证：1234ncccc【答案】(1)2nSn(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差中项性质，计算得2d，11a 2nSn（2）根据等比数列的通项公式
44、和等比中项性质，计算得112nnb=，错位相减法证明1234ncccc【详解】（1）由题意得12324921aaaaa解得，243,7aa，所以2d，11a 从而，2112nn ndSnan（2）由题意得，232 3 434164bbb b b解得：314b，212b，12q，所以112nnb=又112nnnncS bn，令123nnTcccc，有012111111232222nnTn 1121111112122222nnnTnn 两式相减得，0121111111 222222nnnTn整理得114242nnTn，得证.18（2023山东枣庄山东枣庄统考二模）统考二模）已知数列 na的首项13
45、a，且满足2122nnnaa(1)证明：2nna 为等比数列；(2)已知2,log,nnnanban为奇数为偶数，nT为 nb的前 n 项和，求10T【答案】(1)证明见解析(2)1048【分析】（1）由11222nnnnaa 结合定义证明即可；（2）由（1）得出122nnna，再讨论 n 为奇数和偶数，结合等比和等差求和公式得出10T【详解】（1）由2122nnnaa可得11122222nnnnnnaaa 又11210a ，所以2nna 是以2为公比，1 为首项的等比数列（2）由（1）可得122nnna，即122nnna 当 n 为奇数时，11223 2nnnnnba ；当 n 为偶数时，1
46、1222loglog22log 21nnnnnban 所以 1013579246810Tbbbbbbbbbb246833 23 23 23 21 3579 53 1 41 9510481 4219（2023山东聊城山东聊城统考一模统考一模）已知数列 na满足1322aaa，13,2,nnna naan为奇数为偶数，数列 nc满足21nnca(1)求数列 nc和 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和nS【答案】(1)12 31nnc，1222 31,2 33,nnnnan为奇数为偶数(2)2124 324,2 323,nnnnnSnn为偶数为奇数【分析】（1）由题意先求出1a，再根据21
47、nnca，得11121,nnca ca，从而可得132nncc，再利用构造法求出 nc的通项，从而可得 na的通项公式；（2）分n为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.【详解】（1）13,2,nnna naan为奇数为偶数，得213213,232aa aaa，因为1322aaa，即111326aaa，解得11a，由21nnca，得111211,nncaca，又*2212123,2,kkkkaaaakN，故212132kkaa，所以132kkcc，即132nncc，所以1131nncc，又112c ，所以数列1nc 是以2为首项，3为公比的等比数列，所以112 3nnc，所以12
48、31nnc，则1212 31nna，故22132 33nnnaa，所以1222 31,2 33,nnnnan为奇数为偶数；（2）当n为偶数时，13124nnnSaaaaaa13112244nnaaaccc222 1 344 3241 32nnnn，当n为奇数时，111222114 32142 332 323nnnnnnSSann，综上所述，2124 324,2 323,nnnnnSnn为偶数为奇数.20（2023江苏江苏二模）二模）已知数列 na满足112a ，1120nnnana.数列 nb满足11b，1nnnbk ba(1)求 na的通项公式；(2)证明：当1k 时，1132nnnb【答案
49、】(1)*(1)N2nnnnan，；(2)证明见解析.【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证【详解】（1）根据题意，由1120nnnana可知，0na，则112nnanan，当2n 且*Nn时，由累乘法得1111 12 13 112 12 22 3212nnnannan ，又112a ，则111(1)(1)222nnnnnnna ，当1n 时，112a 也符合上式，综上可知，*(1)N2nnnnan，；（2）因为1(1)2nnnnnnnbk bak b，1k，所以1(1)22nnnnnnnnbk bb，即12nnnnbb，当2n
50、 且*Nn时，由累加法得121121222nnnbb，设21121222nnnS，则2223121222nnnS，所以12211111111111212122222212nnnnnnnnnS，又11b，则111112322nnnnnnnbbSb，当1n 时，11b 上述不等式也成立，因此，当1k 时，1132nnnb对*Nn恒成立21（2023江苏江苏统考一模统考一模）在数列 na中，若*1123Nnnaa a aad n，则称数列 na为“泛等差数列”，常数 d 称为“泛差”.已知数列 na是一个“泛等差数列”，数列 nb满足22212123nnnaaaa a aab.(1)若数列 na的“