《2024年高考数学专项突破数列的综合应用 （十三大题型）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项突破数列的综合应用 （十三大题型）（解析版）.pdf（81页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1数列的综合应用目录目录题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用题型二：数列中的新定义问题题型三：数列与函数、不等式的综合问题题型四：数列在实际问题中的应用题型五：数列不等式的证明题型六：公共项问题题型七：插项问题题型八：蛛网图问题题型九：整数的存在性问题(不定方程)题型十：数列与函数的交汇问题题型十一：数列与导数的交汇问题题型十二：数列与概率的交汇问题题型十三：数列与几何的交汇问题方法技巧总结方法技巧总结1.1.解决数列与数学文化相交汇问题的关键2.2.新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问
2、题得以解决3.3.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形2 0 2 4 年 高 考 数 学 专 项 突 破 数 列 的 综 合 应 用 （十 三 大 题 型）（解 析 版）2注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性4.4.数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不
3、等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决利用等价转化思想将其转化为最值问题.aF(n)恒成立aF(n)max；aF(n)恒成立aB,BCAC；AB,BCA2n+2成立的n的最小值是()A.3B.4C.5D.63 3(2023四川成都石室中学校考模拟预测)南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法 中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个，则第三十六层球的个数为()A.561B.595C.630D.6661(2023全国高三专题练习)科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段AB等分为线段AC,C
4、D,DB，如图2.以CD为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段AB的长度为1，则图3中曲线的长度为()A.2B.169C.6427D.32(2023全国高三专题练习)我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，.，则此数列的前34项和为()4A.959B.964C.1003D.10043(20
5、23全国高三专题练习)南宋数学家杨辉在 详解九章算术 中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列 an本身不是等差数列，但从 an数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 bn(则称数列 an为一阶等差数列)，或者 bn仍旧不是等差数列，但从 bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 cn(则称数列 an为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64是一阶等比数列，则该数列的第8项是()A.28B.215C.221D.228【解题方法总结】【解题方法总结】(1)解决数列与数学文化相交汇问题的关键(
6、2)解答数列应用题需过好“四关”题型二:数列中的新定义问题1 1(2023江西江西师大附中校考三模)已知数列 an的通项an=2n-1 nN*，如果把数列 an的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为 bn，再把数列 bn的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为 cn，如此继续下去，那么得到的数列(含原已知数列)的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为 Pn，则数列 Pn前10项的和为()5A.1013B.1023C.2036D.20502 2(2023人大附中校考三模)已知数列 an满足：对任意的nN，总存在mN，使得Sn=am，则称 an为“回旋数列”以下结论中正确的个数是()若an
7、=2023n，则 an为“回旋数列”；设 an为等比数列，且公比q为有理数，则 an为“回旋数列”；设 an为等差数列，当a1=1，d0时，若 an为“回旋数列”，则d=-1；若 an为“回旋数列”，则对任意nN，总存在mN，使得an=SmA.1B.2C.3D.43 3(2023湖北武汉统考三模)将1,2,n按照某种顺序排成一列得到数列 an，对任意1i aj，那么称数对 ai,aj构成数列 an的一个逆序对.若 n=4，则恰有 2 个逆序对的数列 an的个数为()A.4B.5C.6D.71(2023全国高三专题练习)记数列 an的前n项和为Sn，若存在实数M0，使得对任意的nN N*，都有
8、SnM，则称数列 an为“和有界数列”下列命题正确的是()A.若 an是等差数列，且首项a1=0，则 an是“和有界数列”B.若 an是等差数列，且公差d=0，则 an是“和有界数列”C.若 an是等比数列，且公比 q1，则 an是“和有界数列”D.若 an是等比数列，且 an是“和有界数列”，则 an的公比 qni=11ai对任意的正整数成立，则整数k的最小值为【解题方法总结】【解题方法总结】(1)数列与函数综合问题的主要类型及求解策略已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方
9、法等对式子化简变形注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性(2)数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决利用等价转化思想将其转化为最值问题.aF(n)恒成立aF(n)max；aF(n)恒成立aF(n)min.题型四:数列在实际问题中的应用1 1(2023全国高三专题练习)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量7Sn(万件)近似地满足关系式Sn=n9021
10、n-n2-5n=1,2,12，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是.2 2(2023高三课时练习)某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高 42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高 168 万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要万元.3 3(2023全国高三专题练习)冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第
11、1天售出10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第天收入达到最高.1(2023全国高三专题练习)沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r，则爱好者每期需要付款x=2(2023辽宁锦州渤海大学附属高级中学校考模拟预测)一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利
12、率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款元(参考数据：1.008111.092，1.008121.100，1.08112.332，1.08122.518)3(2023全国高三专题练习)在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发
13、放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为万张【解题方法总结】【解题方法总结】现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决(1)数列实际应用中的常见模型等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第 n 项an与第n+1项an+1的递推关系还是前n项和Sn与前n+1
14、项和Sn+1之间的递推关系在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要8用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系(2)解决数列实际应用题的3个关键点根据题意，正确确定数列模型；利用数列知识准确求解模型；问题作答，不要忽视问题的实际意义题型五:数列不等式的证明1 1(2023河北张家口统考三模)已知数列 an满足3+a12+a222+a323+an2n=2n+32n.(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列1ana
15、n+1 的前n项和为Sn，证明：Sn12.2 2(2023全国高三专题练习)证明不等式122+132+1(n+1)22n-131(2023全国高三专题练习)已知每一项都是正数的数列 an满足a1=1，an+1=an+112annN N*(1)证明：a2n+1a2n-1(2)证明：16an1(3)记Sn为数列an+1-an的前n项和，证明Sn6102(2023全国高三专题练习)证明：nk=112k-(-1)k1112(注：nk=1ak=a1+a2+an)3(2023全国高三专题练习)已知数列 an，Sn为数列 an的前n项和，且满足a1=1，3Sn=n+2an(1)求 an的通项公式；(2)证明
16、：1a2+1a4+1a8+1a2n12114(2023全国高三专题练习)已知各项为正的数列 an满足a1=12，a2n+1=13a2n+23an，nN N*证明：(1)anan+1n-945(2023全国高三专题练习)设数列 an满足a1=a，an+1an-a2n=1 nN*(1)若a3=52，求实数a的值；(2)设bn=ann，若a=1，证明：2 bn32(n2)126(2023全国高三专题练习)已知函数 an满足a1=12，an+1=sin2an，nN N*(1)证明：12anan+1n-32【解题方法总结】【解题方法总结】(1)构造辅助函数(数列)证明不等式(2)放缩法证明不等式在证明不
17、等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大(或缩小)分式的分子(或分母).放缩法证不等式的理论依据是：AB,BCAC；AB,BCA0.(1)求数列 an的通项公式an；(2)数列 bn依次为：a1,3,a2,32,33,a3,34,35,36,a4,37,38,39,310，规律是在ak和ak+1中间插入k kN*项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 bn的前100项的和.153(2023全国高三专题练习)设等比数列 an的首项为a1=2，公比为q(
18、q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列 bn满足2n2-t+bnn+32bn=0(tR R，nN N*).(1)求数列 an的通项公式；(2)试确定t的值，使得数列 bn为等差数列；(3)当 bn为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列 cn.设Tn是数列cn的前n项和，试求T100.4(2023安徽滁州校考模拟预测)已知等比数列 an的前n项和为Sn，且Sn=an+1-2 nN*.(1)求数列 an的通项公式；(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn 的前n项和Tn16题型八:蛛网图
19、问题1 1(2023全国高三专题练习)已知数列 bn若b1=2，bn=t4bn-1+34(nN且n2，tR)，若 bn2对任意nN恒成立，则实数t的取值范围是.2 2(2023虹口区校级期中)已知数列an满足：a1=0，an+1=ln(ean+1)-an(nN*)，前n项和为Sn，则下列选项错误的是()(参考数据：ln20.693，ln31.099)A.a2n-1是单调递增数列，a2n是单调递减数列B.an+an+1ln3C.S20200，an+1=a3n-an+1，nN*，Sn表示数列1an 前n项和，则下列选项中错误的是()A.若0a123，则an1B.若23a141an+1-2D.若a1
20、=2，则S2000231(2023浙江模拟)已知数列an满足：a1=0，an+1=ln(ean+1)-an(nN*)，前n项和为Sn(参考数据：ln20.693，ln31.099)，则下列选项中错误的是()A.a2n-1是单调递增数列，a2n是单调递减数列B.an+an+1ln3C.S2020666D.a2n-10，且a2n=3a2n+1-2an+1(nN*)，下列说法正确的是()A.若a1=12，则anan+1B.若a1=2，则an1+37n-1C.a1+a52a3D.|an+2-an+1|33|an+1-an|题型九:整数的存在性问题(不定方程)1 1(2023全国高三专题练习)已知数列
21、an的前n项和是Sn，且Sn=2an-n(1)证明：an+1为等比数列；(2)证明：1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an0,nN N*，Sn=n2-2n+3 nN N*，Sn为 an的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题已知数列 an满足(1)求数列 an的通项公式；(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得a1，an，am成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分4(2023安徽六安六安一中校考模拟预测)设正项等比数列 an的前n项和为Sn，若S3=7，a3=4(1)求数列 an的通项公式；(
22、2)在数列 Sn中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由20题型十:数列与函数的交汇问题1 1(2022龙泉驿区校级一模)已知定义在R上的函数 f(x)是奇函数且满足 f32-x=f(x)，f(-2)=-3，数列an是等差数列，若a2=3，a7=13，则 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a2015)=()A.-2B.-3C.2D.32 2(2022 日照模拟)已知数列 an 的通项公式 an=n+100n，则|a1-a2|+|a2-a3|+|a99-a100|=()A.150B.162C.180D.2103 3(2022 秋 仁寿县月考)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已
23、知(a4-1)3+2012(a4-1)=1，(a2009-1)3+2012(a2009-1)=-1，则下列结论中正确的是()A.S2012=2012，a2009a4C.S2012=2011，a2009a4题型十一:数列与导数的交汇问题1 1(2022 全国模拟)函数 f(x)=a+x1+x(x 0)，曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线在 y 轴上的截距为112(1)求a；(2)讨论g(x)=x(f(x)2的单调性；(3)设a1=1，an+1=f(an)，证明：2n-2|2lnan-ln7|0，a0)，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线在y轴上的截距为ln3-23(1)求a；(
24、2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x0)和h(x)=f(x)-2x2x+1(x0)的单调性；(3)设a1=25，an+1=f(an)，求证：5-2n+12n1an-2P2.(i)求p的取值范围；(ii)证明数列 Pn单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.222 2(2023全国高三专题练习)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 n+1次状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 n-1,n-2,n-3,次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n
25、nN*次操作后，记甲盒子中黑球个数为 Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.(1)求X1的分布列；(2)求数列 an的通项公式；(3)求Xn的期望.3 3(2023全国高三专题练习)雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出
26、下可得0分.(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；(2)已知恰有甲乙丙丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第n次回答的是甲的概率是Pn，若P1=1.求P3和P4；证明：数列 Pn-14 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.231(2023山西朔州高三怀仁市第一中学校校考阶段练习)一对夫妻计划进行为期60天的自驾游已知两人均能驾驶车辆,且约定:在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;若前一天由丈
27、夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为14,由妻子驾车的概率为34;妻子不能连续两天驾车已知第一天夫妻双方驾车的概率均为12(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为pn,求数列 pn的通项公式2(2023全国高三专题练习)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；(2)
28、已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题记第n次回答的是甲的概率为Pn，若P1=1求P2，P3；证明：数列 Pn-14 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小243(2023江苏南通江苏省如皋中学校考模拟预测)某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分
29、小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为35假设小明同学每次投篮的结果相互独立(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为920，求p；(2)若p=34，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望4(2023全国高三专题练习)现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误(1)设乙接到球的次数为X，通过三次传球，求X的分布列与期望；(2)设第n次传球后，甲接到球的概
30、率为an，(i)试证明数列 an-13 为等比数列；(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数25题型十三:数列与几何的交汇问题1 1(多选题)(2023全国高三专题练习)已知正四面体 ABCD 中，AB=2，P1，P2，Pn在线段 AB 上，且AP1=P1P2=Pn-1Pn=PnB，过点P1作平行于直线AC，BD的平面，截面面积为an，则下列说法正确的是()A.a1=1B.an为递减数列C.存在常数m，使1an+m 为等差数列D.设Sn为数列n+1n2an 的前n项和，则Sn=2023506时，n=20232 2(多选题)(2023全国高三专题练习)已知三棱锥A-BCD的棱
31、长均为3，其内有n个小球，球O1与三棱锥A-BCD的四个面都相切，球O2与三棱锥A-BCD的三个面和球O1都相切，如此类推，球On与三棱锥 A-BCD 的三个面和球 On-1都相切(n 2，且 n N)，球 On的表面积为 Sn，体积为 Vn，则()A.V1=68B.S3=316C.数列 Sn为等差数列D.数列 Vn为等比数列3 3(多选题)(2023全国高三专题练习)已知数列 an是等差数列，p，q，s，t是互不相同的正整数，且 p+q=s+t，若在平面直角坐标系中有点A s,as，B p,ap，C q,aq，D t,at，则下列选项成立的有()A.at-apt-p=2at-aq-as2t-
32、q-sB.AB=CDC.直线AB与直线CD的斜率相等D.直线AC与直线BD的斜率不相等1(多选题)(2023重庆高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，B 2,0，点列P在圆 x+232+y2=169上，若对于nN N*，存在数列 an，a1=6，使得PBan2PAan-1=4n+22n-1，则下列说法正确的是()A.an为公差为2的等差数列B.an为公比为2的等比数列C.a2023=404722023D.an前n项和Sn=2+2n-12n+1262(多选题)(2023广东高三校联考阶段练习)若直线l:3x+4y+n=0 nN*与圆C:(x-2)2+y2=a2n(an0)相切
33、，则下列说法正确的是()A.a1=75B.数列 an为等比数列C.数列 an的前10项和为23D.圆C不可能经过坐标原点3(多选题)(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，Mn,Nn是圆O:x2+y2=n2上两个不同的动点，Pn是MnNn的中点，且满足OMnONn+2OPn 2=0 nN N设Mn,Nn到直线l:3x+y+n2+n=0的距离之和的最大值为an，则下列说法中正确的是()A.向量OM n与向量ON n所成角为120B.OPn=nC.an=n2+2nD.若bn=ann+2，则数列2bn(2bn-1)(2bn+1-1)的前n项和为1-12n+1-11数列的综合应用
34、目录目录题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用题型二：数列中的新定义问题题型三：数列与函数、不等式的综合问题题型四：数列在实际问题中的应用题型五：数列不等式的证明题型六：公共项问题题型七：插项问题题型八：蛛网图问题题型九：整数的存在性问题(不定方程)题型十：数列与函数的交汇问题题型十一：数列与导数的交汇问题题型十二：数列与概率的交汇问题题型十三：数列与几何的交汇问题方法技巧总结方法技巧总结1.1.解决数列与数学文化相交汇问题的关键2.2.新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决3.3
35、.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形2注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性4.4.数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决利用等价转化思想将其转化为最值问题.aF(n)恒成立aF(n)max；aF(n
36、)恒成立aB,BCAC；AB,BCA2n+2成立的n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由题意a2-a1=2a3-a2=3,an-an-1=n，n2，nN*且a1=1，累加可得an-a1=2+3+n，所以an=1+2+n=n n+12，n n+122n+2，得n4，即nmin=5故选：C3 3(2023四川成都石室中学校考模拟预测)南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法 中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个，则第三十六层球的个数为()4A.561B.595C.630D.666【答案】D【解析】由题意，第一
37、层1个球，第二层1+2=3个，第三层1+2+3=6个，第四层1+2+3+4=10个，据此规律，第三十六层有小球1+2+3+36=36(1+36)2=666个.故选：D1(2023全国高三专题练习)科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段AB等分为线段AC,CD,DB，如图2.以CD为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段AB的长度为1，则图3中曲线的长度为()A.2B.169C.6427D.3【答案】C【解析】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的43，
38、因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以43为首项，43为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为433=6427.故选：C2(2023全国高三专题练习)我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，.，则此数列的前34项和为()A.959B.964C.1003D.1004【答案】A5【解析】将这个数列分组：第一组1个数2=22-2；第二组2个数3+3=23-2；，第七组7个数，这7个数的
39、和为28-2第八组8个数9+36+84+126+126+84+36+9=29-2，前八组共36 项，前36项和为22-2+23-2+29-2=1004，所以前34 项和为1004-9-36=959，故选：A3(2023全国高三专题练习)南宋数学家杨辉在 详解九章算术 中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列 an本身不是等差数列，但从 an数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 bn(则称数列 an为一阶等差数列)，或者 bn仍旧不是等差数列，但从 bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 cn(则称数列 an为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列类比高阶等差
40、数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64是一阶等比数列，则该数列的第8项是()A.28B.215C.221D.228【答案】C【解析】由题意，数列1，1，2，8，64，为 an，且为一阶等比数列，设bn-1=anan-1，所以 bn为等比数列，其中b1=1，b2=2，公比为q=b2b1=2，所以bn=2n-1，则an=bn-1bn-2b1a1=21+2+3+n-2=2n-1n-22,n2，所以第8项为a8=221故选：C.【解题方法总结】【解题方法总结】(1)解决数列与数学文化相交汇问题的关键(2)解答数列应用题需过好“四关”6题型二:数列中的新定义问题1 1(2023
41、江西江西师大附中校考三模)已知数列 an的通项an=2n-1 nN*，如果把数列 an的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为 bn，再把数列 bn的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为 cn，如此继续下去，那么得到的数列(含原已知数列)的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为 Pn，则数列 Pn前10项的和为()A.1013B.1023C.2036D.2050【答案】C【解析】根据题意，如此继续下去，则得到的数列的第一项分别为数列 an的第a1,a2,a4,a8,即得到的数列 Pn的第n项为数列 an的第2n-1项，因为an=2n-1 nN*，可得Pn=2n-1，所以P1+P2+P1
42、0=2+22+210-10=2036.故选：C.2 2(2023人大附中校考三模)已知数列 an满足：对任意的nN，总存在mN，使得Sn=am，则称 an为“回旋数列”以下结论中正确的个数是()若an=2023n，则 an为“回旋数列”；设 an为等比数列，且公比q为有理数，则 an为“回旋数列”；设 an为等差数列，当a1=1，d0时，若 an为“回旋数列”，则d=-1；若 an为“回旋数列”，则对任意nN，总存在mN，使得an=SmA.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由an=2023n可得Sn=2023 1+2+3+n=2023n n+12，由Sn=am可得2023n(n+1)2=2
43、023m，取m=n(n+1)2即可，则 an为“回旋数列”，故正确；当q=1时，Sn=na1，am=a1，由Sn=am可得na1=a1，故当n=2时，很明显na1=a1不成立，故 an不是“回旋数列，错误”；an是等差数列，故am=1+m-1d，Sn=n+n n-12d，7因为数列 an是“回旋数列”，所以1+m-1d=n+n n-12d，即m=n-1d+n n-12+1，其中n n-12为非负整数，所以要保证n-1d恒为整数，故d为所有非负整数的公约数，且d0，所以d=-1，故正确；由可得当an=2023n时，an为“回旋数列”，取a2=20232，Sm=2023m(m+1)2，显然不存在m
44、,使得Sm=a2=20232，故错误故选：B3 3(2023湖北武汉统考三模)将1,2,n按照某种顺序排成一列得到数列 an，对任意1i aj，那么称数对 ai,aj构成数列 an的一个逆序对.若 n=4，则恰有 2 个逆序对的数列 an的个数为()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】若n=4，则1i0，使得对任意的nN N*，都有 SnM，则称数列 an为“和有界数列”下列命题正确的是()A.若 an是等差数列，且首项a1=0，则 an是“和有界数列”B.若 an是等差数列，且公差d=0，则 an是“和有界数列”C.若 an是等比数列，且公比 q1，则 an是“和有界数列”D.若 an
45、是等比数列，且 an是“和有界数列”，则 an的公比 q0时，Sn=n(n-1)d2=d2n2-d2n，8当n趋近于正无穷时，Sn趋近于正无穷，则an不是“和有界数列”，故A不正确对于B，若an是等差数列，且公差d=0，则Sn=na1，当a10时，当n趋近于正无穷时，Sn趋近于正无穷，则an不是“和有界数列”，故B不正确对于C，若an是等比数列，且公比|q|1，则Sn=a1(1-qn)1-q=a11-q-a11-qqn，故Sn=a11-q-a11-qqna11-q+a11-qqn2a11-q，则an是“和有界数列”，故C正确对于D，若an是等比数列，且an是“和有界数列”，则an的公比 q1或
46、q=-1，故D不正确故选：C2(2023全国高三专题练习)斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用an表示斐波那契数列的第n项，则数列 an满足：a1=a2=1,an+2=an+1+an.，记ni=1ai=a1+a2+an，则下列结论不正确的是()A.a10=55B.3an=an-2+an+2(n3)C.2019i=1ai=a2021D.2021i=1a2i=a2021a2022【答案】C【解析】依题意，数列 an的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即a10=55，A
47、正确；当n3时，an=an-1+an-2，3an=an-2+an-1+an+an=an-2+an+1+an=an-2+an+2，B正确；由a1=a2=1,an+2=an+1+an，可得a3-a2=a1,a4-a3=a2,a2021-a2020=a2019，累加得a2021-a2=a1+a2+a2019，则a1+a2+a2019=a2021-a2=a2021-1，即2019i=1ai=a2021-1，C错误；由a21=a2a1,a22=a2(a3-a1)=a2a3-a2a1，a23=a3(a4-a2)=a3a4-a3a2,，a22021=a2021(a2022-a2020)=a2021a2022
48、-a2021a2020，a21+a22+a22021=a2021a2022，D正确.故选：C.3(2023河北统考模拟预测)数学家杨辉在其专著 详解九章算术法 和 算法通变本末 中，提出了一些新的高阶等差数列其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列 an，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17则该数列的第20项为()A.173B.171C.155D.151【答案】A9【解析】根据题意得新数列为0,1,2,3,
49、4，则二阶等差数列 an的通项公式为an=n-1n-22+2，则a20=19182+2=173故选：A.【解题方法总结】【解题方法总结】(1)新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的(2)新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决题型三:数列与函数、不等式的综合问题1 1(2023重庆巴南统考一模)已知等比数列 an满足：
50、a1+a2=20，a2+a3=80.数列 bn满足 bn=log2annN N，其前n项和为Sn，若bnSn+8恒成立，则的最小值为.【答案】310/0.3【解析】设等比数列 an的公比为q，则a2+a3=q a1+a2=20q=80，解得q=4，所以，a1+a2=a1+a1q=5a1=20，解得a1=4，则an=a1qn-1=4n，所以，bn=log2an=log24n=2n，bn+1-bn=2 n+1-2n=2，所以，数列 bn为等差数列，所以，Sn=n b1+bn2=n 2n+22=n n+1，则bnSn+8=2nn2+8+n=2n+8n+1，因为函数y=x+8x+1在 0,2 2上单调