《2024年高考数学专项突破构造法求数列通项的八种技巧（三）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项突破构造法求数列通项的八种技巧（三）（解析版）.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】构造六:取对数构造法构造六:取对数构造法型如an+1=cank,an=can-1k或者an+b=c(an-1+b)k,b为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】【经典例题1】数列 an中,a1=2,an+1=an2,求数列 an的通项公式.【经典例题2】【经典例题2】数列 an中,a1=1,an+1=2an2,求数列 an的通项公式.【经典例题3】【经典例题3】已知a1=2,点 an,an+1在函数 f x=x2+2x的图像上,其中
2、nN*,求数列 an的通项公式.【经典例题4】【经典例题4】在数列 an中,a1=1,当n2时,有an+1=an2+4an+2,求数列 an的通项公式.构造七:二阶整体构造等比构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于an+1=Aan+Ban-1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为an+1-an=(A-1)an-an-1,利用 an+1-an成等比数列,以及叠加法求出an.还有一小部分题型可转化为an+1+an=(A+1)an+an-1,利用 an+1+an成等比数列求出an.【经典例题1】【经典例题1】已知数列 an满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an
3、nN N*,求数列 an的通项公式.【经典例题2】【经典例题2】已知数列 an中,a1=1,a2=2,an+2=23an+1+13an,求数列 an的通项公式。2024年高考数学专项突破构造法求数列通项的八种技巧（三）（解析版）【经典例题【经典例题3 3】数列 an中,a1=1,a2=53,an+2=53an+1-23an,求数列 an的通项公式。此方法可以解决大多数的 an+1=Aan+Ban-1,A+B=1 模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造an+1-an成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数
4、列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.【经典例题【经典例题4 4】已知数列 an满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4annN N*,求数列 an的通项公式.【经典例题【经典例题5 5】已知数列 an满足a1=1,a2=43,an+2=73an+1-23annN N*,求 an的通项公式.秒杀求法秒杀求法:an+2=pan+1+qan(p,q0)类通项公式暴力秒杀求法an+2=pan+1+qan(p,q0)对应的特征方程为:x2=px+q,设其两根为x1,x2当x1x2时,an=Ax1n-2+Bx2n-2当x1=x2时,an=(
5、An+B)x1n-2其中A,B的值的求法,用a1,a2的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可【秒杀例题【秒杀例题1 1】已知数列 an满足a1=1,a2=43,an+2=73an+1-23annN N*,求 an的通项公式.【秒杀例题【秒杀例题2 2】已知数列 an满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4annN N*,求数列 an的通项公式.【练习【练习1 1】在数列 an中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n2),则an=_.【练习【练习2 2】设数列 an的前n项和为Sn,nN N*.已知a1=1,a2=32,a3=54,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8
6、Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值；(2)证明：an+1-12an 为等比数列;(3)求数列 an的通项公式.【练习【练习3 3】数列 an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明 bn是等差数列;(2)求 an的通项公式.构造八：数列不动点构造求数列构造八：数列不动点构造求数列(较难较难,能力强的同学可以学习能力强的同学可以学习)针对xn+1=axn+bcxn+d这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通
7、过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数 f(x),若存在实数x0,使得 f x0=x0,则称x=x0是函数 f(x)的不动点.在几何上，曲线y=f(x)与曲线y=x的交点的横坐标即为函数 f(x)的不动点.一般地,数列 xn的递推式可以由公式xn+1=f xn给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列 xn,若其递推式为xn+1=f xn,且存在实数x0,使得 f x0=x0,则称x0是数列 xn的不动点。数列的不动点有什么性质呢?若从某一项xk开始,数列的取值即为x0,也即xk=x0,则 xk+1=f xk=f x0=x0,xk+2=f xk+1=f x0=x0,以此类推,根据数学归
8、纳法,可以得到当 nk时,xn=x0,也即数列 xn在k之后“不动”了.这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令数列当中的每一项都等于x,最后解方程即可.接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列 xn满足xn+1=axn+bcxn+d,其中a,b,c,d是给定的实数,求数列 xn的通项公式。这时候要求它的不动点,考虑方程x=ax+bcx+dcx2+(d-a)x-b=0,得到了一个二次方程,我们从几个例子出发：【经典例题【经典例题1 1】设数列 an满足a1=2,an+1=5an-1an
9、+3,求数列 an的通项公式。【经典例题【经典例题2 2】设数列 an满足a1=3,an+1=4an-2an+1,求数列 an的通项公式。【经典例题【经典例题3 3】已知an+1=an+42an+3nN*,且a1=3,求 an的通项公式.【经典例题【经典例题4 4】数列 an满足a1=12,an+1=(n+1)2an-nan+4n(n1),求 an的通项公式【经典例题【经典例题5 5】设数列 an满足a1=2,an+1=12 an+1an,求数列 an的通项公式。总结总结:形如xn+1=axn+bcxn+d的递推数列,首先令xn+1=xn=x,解出数列的不动点.处理时也可以分两种情况:(1)若
10、其有一个不动点x0,则1x-x0 是等差数列;(2)若其有两个不动点,则xn-xn-是等比数列。【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知数列 an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，an=3an-1+4an-2n3，则S10=()A.410-15B.411-15C.410-1D.411-12.在数列 an中，a1=1，Sn+1=4an+2，则a2019的值为()A.75722020B.75722019C.75722018D.无法确定3.已知数列 an满足：a1=a2=2，an=3an-1+4an-2n3，则a9+a10=()A.47B.48C.49D.4104.已知数列an满足3
11、an-2an-1=an+1(n2,nN*)，且a1=0，a6=2021，则a2=()A.202131B.202133C.202163D.2021655.已知数列 an满足an+2=3an+1-2annN*，且a1=1，a2=4，其前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn+2n+m2n0恒成立，则m的取值范围是()A.12,+B.-12,+C.-32,+D.32,+6.已知数列an=32a2n-1+3an-1+12，a1=2，则log2a5+1=()A.63log23-31B.31log23-15C.63log32-31D.31log32-157.已知数列 an满足a1=2，a2=6，且an+2
12、-2an+1+an=2，若 x表示不超过x的最大整数(例如 1.6=1，-1.6=-2).则22a1 +32a2 +20212a2020 =()A.2018B.2019C.2020D.2021二、二、填空题填空题8.在数列an中，a1=1，a2=13，且满足2anan+1=an-1(3an+1-an)(n2)，则an=_.9.已知数列 an满足an+1an+2+an+1an=2+an+1，且a1=1,a2=13，则 an的通项公式an=_.10.设正项数列 an满足a1=1，an=2a2n-1n2，则数列 an的通项公式是_11.在数列 an中，a1=1，a2=3，且对任意的nN*，都有an+
13、2=3an+1-2an，则数列 an的通项公式为 _12.已知Sn是数列 an的前n项和，an+1-3an+2an-1=1，a1=1，a2=4，求数列 an的通项公式_.13.数列 an满足1an+2=2an+1-1an,a1=1,a5=19，则a100=_.三、三、解答题解答题14.已知Sn是数列 an的前n项，a1=12,a2=0,Sn+2-Sn+1+14Sn=0.(1)设bn=an+1-12an,cn=2nan，求数列 bn与 cn的通项公式.(2)证明：2nan+2nSn=2.构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】构造六构造六:取对数构造法取对数构造法型如an+1=cank,a
14、n=can-1k或者an+b=c(an-1+b)k,b为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题【经典例题1 1】数列 an中,a1=2,an+1=an2,求数列 an的通项公式.【解析】取以 a1=2 为底的对数(不能取 c 为底,因为 c=1,不能作为对数的底数),得到 logan+12=logan22,logan+12=2logan2,设bn=logan2,则有bn+1=2bn,所以 bn是以b1=loga12=1为首项,2为公比的等比数列,所以bn=2n-1,所以logan2
15、=2n-1,an=22n-1.【经典例题【经典例题2 2】数列 an中,a1=1,an+1=2an2,求数列 an的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a1=1为底数的对数了吧),得到logan+12=log2an22,logan+12=log22+2logan2,logan+12=1+2logan2设bn=logan2,则有bn+1=1+2bn,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出bn+1+1=2(bn+1),所以 bn+1是以b1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以bn+1=2n-1,所以bn=2n-1-1,log
16、an2=2n-1-1,an=22n-1-1.【经典例题【经典例题3 3】已知a1=2,点 an,an+1在函数 f x=x2+2x的图像上,其中nN*,求数列 an的通项公式.【解析】将 an,an+1代入函数得an+1=an2+2an,an+1+1=an2+2an+1=an+12,即an+1+1=an+12两边同时取以3为底的对数,得logan+1+13=logan+123logan+1+13=2logan+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为loga1+13,a1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数)
17、.所以 logan+13 是以1为首项,2为公比的等比数列,即logan+13=12n-1,an+1=32n-1,an=32n-1-1.【经典例题【经典例题4 4】在数列 an中,a1=1,当n2时,有an+1=an2+4an+2,求数列 an的通项公式.【解析】由an+1=an2+4an+2,得an+1+2=an2+4an+4,即an+1+2=an+22,两边同取以3为底的对数,得 logan+1+23=logan+223,即 logan+1+23=2logan+23,所以数列 logan+23 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,logan+23=2n-1,an+2=32n-1,即an
18、=32n-1-2.构造七构造七:二阶整体构造等比二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于an+1=Aan+Ban-1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为an+1-an=(A-1)an-an-1,利用 an+1-an成等比数列,以及叠加法求出an.还有一小部分题型可转化为an+1+an=(A+1)an+an-1,利用 an+1+an成等比数列求出an.【经典例题【经典例题1 1】已知数列 an满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2annN N*,求数列 an的通项公式.【解析】由an+1=3an-2an-1an+1-an=2 an-an-1,故 an+1-an是以a2
19、-a1=2为首项,2为公比的等比数列,即an+1-an=a2-a12n-1=2n,接下来就是叠加法啦,an-an-1=2n-1.a2-a1=2 全部相加得:an-a1=2n-2,所以an=2n-1.【经典例题【经典例题2 2】已知数列 an中,a1=1,a2=2,an+2=23an+1+13an,求数列 an的通项公式。【解析】由 an+2=23an+1+13an an+2-an+1=-13an+1-an,故 an+1-an是以 a2-a1=1 为首项,-13为公比的等比数列,即an+1-an=1-13n-1=-13n-1,接下来就是叠加法啦,an+1-an=-13n-1.a2-a1=1全部相
20、加,利用等比数列求和得:an+1-a1=34-34-13n,an=74-34-13n-1.【经典例题【经典例题3 3】数列 an中,a1=1,a2=53,an+2=53an+1-23an,求数列 an的通项公式。【解析】由an+2=53an+1-23anan+2-an+1=23an+1-an,故 an+1-an是以a2-a1=23为首项,23 为公比的等比数列,即an+1-an=23n,接下来就是叠加法,an+1-an=23n.a2-a1=23全部相加,利用等比数列求和得:an+1-a1=2-223n,an=3-223n-1.此方法可以解决大多数的 an+1=Aan+Ban-1,A+B=1 模
21、型的试题.当然针对个别试题,单纯构造an+1-an成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.【经典例题【经典例题4 4】已知数列 an满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4annN N*,求数列 an的通项公式.【解析】看到这道例题,当我们希望通过构造 an+1-an为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造 an+1-pan成等比来解决.设原等式an
22、+2-pan+1=q an+1-pan,打开得到an+2=p+qan+1-pqan,对应项系数相等,p+q=4-pq=-4 解得p=2q=2,所以构造 an+1-2an为首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1-2an=2n,即an+1=2an+2n,这就回到了熟悉的an+1=pan+qn型.下面的操作就看你们的了.【经典例题【经典例题5 5】已知数列 an满足a1=1,a2=43,an+2=73an+1-23annN N*,求 an的通项公式.【解析】通过构造 an+1-pan成等比来解决.设原等式 an+2-pan+1=q an+1-pan,打开得到 an+2=p+qan+1-pqan,
23、对应项系数相等,p+q=73-pq=-23 解得p=2q=13 或p=13q=2,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造 an+1-2an首项为-23,公比为13的等比数列或构造 an+1-13an 为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.构造一:an+1-2an=-2313n-1,即an+1=2an-2313n-1,这就回到了熟悉的an+1=pan+qn型,设an+1+13n=2 an+13n-1,待定系数法得 =-25,则数列 an-2513n-1 是首项为 a1-25131-1=35,公比为2的等比数列,所以an-2513n-1=352n-1,即an=2513n-1+
24、352n-1.构造二:an+1-13an=2n-1,即an+1=13an+2n-1,设an+1+2n=13an+2n-1,待定系数法得=-35,则数列 an-352n-1 是首项为a1-3521-1=25,公比为13的等比数列,所以an-352n-1=2513n-1,即an=2513n-1+352n-1.秒杀求法秒杀求法:an+2=pan+1+qan(p,q0)类通项公式暴力秒杀求法an+2=pan+1+qan(p,q0)对应的特征方程为:x2=px+q,设其两根为x1,x2当x1x2时,an=Ax1n-2+Bx2n-2当x1=x2时,an=(An+B)x1n-2其中A,B的值的求法,用a1,
25、a2的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可【秒杀例题【秒杀例题1 1】已知数列 an满足a1=1,a2=43,an+2=73an+1-23annN N*,求 an的通项公式.【解析】an+2=73an+1-23an,对应的特征方程为:x2=73x-23,解得两根为x1=2,x2=13,设所求数列通项公式为an=A2n-2+B13n-2,把a1=1,a2=43代入上面的通项公式中,建立方程组解A,B,即1=A2-1+B13-143=A20+B130,解得A=65B=215,代入化简得an=2513n-1+352n-1.【秒杀例题【秒杀例题2 2】已知数列 an满足a1=1,a2=4,an+
26、2=4an+1-4annN N*,求数列 an的通项公式.【解析】an+2=4an+1-4an,对应的特征方程为:x2=4x-4,解得两根为x1=x2=2,设所求数列通项公式为an=An+B2n-2,把a1=1,a2=4代入上面的通项公式中,建立方程组解A,B,即1=A+B2-14=2A+B20 解得A=2B=0,代入化简得an=n2n-1.【练习【练习1 1】在数列 an中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n2),则an=_.【答案】an=2n-1【解析】an+1=3an-2an-1(n2),an+1-an=2 an-an-1,即an+1-anan-an-1=2,a1=1,
27、a2=2,a2-a1=1,数列 an+1-an是首项为1,公比为2的等比数列,an+1-an=2n-1,由累加法可得,an-a1=an-1=1+2+22+2n-2=1 1-2n-11-2=2n-1-1,an=2n-1nN N*.【练习【练习2 2】设数列 an的前n项和为Sn,nN N*.已知a1=1,a2=32,a3=54,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值；(2)证明：an+1-12an 为等比数列;(3)求数列 an的通项公式.【答案】【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4 1+32+54+a4+5 1+32=8 1+32+54+
28、1解得:a4=78;(2)证明:4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2)4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n2)即4an+2+an=4an+1(n2),4a3+a1=454+1=6=4a24an+2+an=4an+1an+2-12an+1an+1-12an=4an+2-2an+14an+1-2an=4an+1-an-2an+14an+1-2an=2an+1-an2 2an+1-an=12数列 an+1-12an 是以a2-12a1=1为首项,公比为12的等比数列;(3)由(2)知,an+1-12an 是以a2-12a1为首项,公比为12的等比数列,an+1-1
29、2an=12n-1.即an+112n+1-an12n=4,an12n 是以a112=2为首项,4为公差的等差数列,an12n=2+(n-1)4=4n-2,即 an=(4n-2)12n=(2n-1)12n-1数列 an的通项公式是an=(2n-1)12n-1.【练习【练习3 3】数列 an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明 bn是等差数列;(2)求 an的通项公式.【答案】【解析】(1)证明:an+2=2an+1-an+2,an+2-an+1=an+1-an+2,又a2-a1=2-1=1,数列 an+1-an是以1为首项、2为公差的等差数列
30、,即数列 bn是等差数列;(2)由(1)可知an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,an-an-1=2(n-1)-1,an-1-an-2=2(n-2)-1 a2-a1=21-1,累加得,an-a1=21+2+(n-1)-(n-1)=2n(n-1)2-n+1=n2-2n+1,an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2数列 an的通项公式an=n2-2n+2.构造八：数列不动点构造求数列构造八：数列不动点构造求数列(较难较难,能力强的同学可以学习能力强的同学可以学习)针对xn+1=axn+bcxn+d这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知
31、识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数 f(x),若存在实数x0,使得 f x0=x0,则称x=x0是函数 f(x)的不动点.在几何上，曲线y=f(x)与曲线y=x的交点的横坐标即为函数 f(x)的不动点.一般地,数列 xn的递推式可以由公式xn+1=f xn给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列 xn,若其递推式为xn+1=f xn,且存在实数x0,使得 f x0=x0,则称x0是数列 xn的不动点。数列的不动点有什么性质呢?若从某一项xk开始,数列的取值即为x0,也即xk=x0,则 xk+1=
32、f xk=f x0=x0,xk+2=f xk+1=f x0=x0,以此类推,根据数学归纳法,可以得到当 nk时,xn=x0,也即数列 xn在k之后“不动”了.这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令数列当中的每一项都等于x,最后解方程即可.接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列 xn满足xn+1=axn+bcxn+d,其中a,b,c,d是给定的实数,求数列 xn的通项公式。这时候要求它的不动点,考虑方程x=ax+bcx+dcx2+(d-a)x-b=0,得到了一个二次方程,我们从几个例
33、子出发：【经典例题【经典例题1 1】设数列 an满足a1=2,an+1=5an-1an+3,求数列 an的通项公式。【解析】根据数列不动点得性质,令an+1=an=x,方程x=5x-1x+3(x-1)2=0,故1是数列 an的不动点,尝试在递推式两边同时减去1,得到an+1-1=5an-1an+3-1=4 an-1an+3.注意到左右两边分别出现了an-1-1和an-1这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列 an-1,当然也可以直接变形：an-1-1=4 an-1an+31an-1-1=an+34 an-1=an-1+44 an-1=1an-1+14也即1an+1-1=1an-
34、1+14,因此数列1an-1 是首项为1,公差为14的等差数列,累加得 1an-1=14(n+3),因此an=4n+3+1=n+7n+3.【经典例题【经典例题2 2】设数列 an满足a1=3,an+1=4an-2an+1,求数列 an的通项公式。【解析】根据数列不动点得性质,令an+1=an=x,同样地,考虑方程4x-2x+1=x(x-1)(x-2)=0,这时候数列 an有两个不动点1和2,分别在递推式两边減去1和2后,可以得到：an+1-1=4an-2an+1-1=3 an-1an+1an+1-2=4an-2an+1-2=2 an-2an+1.两式相除得an+1-1an+1-2=32an-1
35、an-2,因此数列an-1an-2 是首项为2,公比为32的等比数列,累乘得 an-1an-2=232n-1,因此an=83n-32n43n-32n.【经典例题【经典例题3 3】已知an+1=an+42an+3nN*,且a1=3,求 an的通项公式.【解析】考虑方程x=x+42x+3(x-1)(x+2)=0,故1和-2是数列 an的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式两边同时减去1和-2,分别得到：an+1-1=an+42an+3-1=-an-12an+3.an+1+2=an+42an+3+2=5 an+22an+3两式相除得an+1-1an+1+2=-15an-1an+2,因此数列an-1a
36、n+2 是首项为25,公比为-15的等比数列,累乘得 an-1an+2=25-15n-1,因此an=(-5)n-4(-5)n+2.【经典例题【经典例题4 4】数列 an满足a1=12,an+1=(n+1)2an-nan+4n(n1),求 an的通项公式【解析】首先对等式进行一定的变形,等式两边同除n+1,得an+1n+1=2an-nan+4n,等式右侧上下同除n,使两侧结构相同,an+1n+1=2an-nan+4n=2ann-1ann+4,令bn=ann,则bn+1=2bn-1bn+4,考虑方程x=2x-1x+4(x+1)2=0,故-1是数列 an的不动点,在递推式两边同时减去-1,得到：bn
37、+1+1=2bn-1bn+4+1=3 bn+1bn+41bn+1+1=bn+43 bn+1=bn+1+33 bn+1=1bn+1+13.所以数列1bn+1 是以23为首项,13为公差的等差数列,即1bn+1=n+13,bn=3n+1-1,ann=2-nn+1,得到an=n 2-nn+1.【经典例题【经典例题5 5】设数列 an满足a1=2,an+1=12 an+1an,求数列 an的通项公式。【解析】事实上,an+1=12 an+1an=a2n+12an,这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢?同样尝试求它的不动点:x=12 x+1x(x-1)(x+1)=0,因此1和-1是数列 an
38、的两个不动点,变形得到：an+1-1=a2n+12an-1=an-122an,an+1+1=a2n+12an+1=an+122an两式相除得an+1+1an+1-1=an+1an-12,又 a1+1a1-1=3,迭代得到an+1+1an+1-1=32n由此解得数列的通项公式 an=32n-1+132n-1-1.由此看来,对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边出现类似的结构,更易于处理。总结总结:形如xn+1=axn+bcxn+d的递推数列,首先令xn+1=xn=x,解出数列的不动点.处理时也可以分两种情况:(1)若其有一个不动点x0,则1x-x0 是
39、等差数列;(2)若其有两个不动点,则xn-xn-是等比数列。【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知数列 an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，an=3an-1+4an-2n3，则S10=()A.410-15B.411-15C.410-1D.411-1【答案】A【解析】因为an=3an-1+4an-2n3，所以an+an-1=4(an-1+an-2)，又a1+a2=30，所以an+an-1an-1+an-2=4(n3)，所以an+an+1是等比数列，公比为4，首项为3，则数列a2n-1+a2n也是等比数列，公比为42=16，首项为3所以S10=3(1-165)1-16=410-
40、15故选：A2.在数列 an中，a1=1，Sn+1=4an+2，则a2019的值为()A.75722020B.75722019C.75722018D.无法确定【答案】A【解析】a1=1，Sn+1=4an+2，S2=a1+a2=4a1+2，解得a2=5.Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减得，an+2=4an+1-4an，an+2-2an+1=2 an+1-2an，an+1-2an是以a2-2a1=3为首项，2为公比的等比数列，an+1-2an=32n-1，两边同除以2n+1，则an+12n+1-an2n=34，an2n 是以34为公差，a121=12为首项的等差数列，an2
41、n=12+n-134=3n-14，an=3n-142n=3n-12n-2，a2019=32019-122017=75722020.故选：A.3.已知数列 an满足：a1=a2=2，an=3an-1+4an-2n3，则a9+a10=()A.47B.48C.49D.410【答案】C【解析】由题意a1+a2=4，由an=3an-1+4an-2n3得an+an-1=4(an-1+an-2)，即an+an-1an-1+an-2=4(n3)，所以数列an+an+1是等比数列，仅比为4，首项为4，所以a9+a10=49故选：C4.已知数列an满足3an-2an-1=an+1(n2,nN*)，且a1=0，a6
42、=2021，则a2=()A.202131B.202133C.202163D.202165【答案】A【解析】由3an-2an-1=an+1(n2,nN*)可得2(an-an-1)=an+1-an，若an-an-1=0，则a6=a5=a1，与题中条件矛盾，故an-an-10，所以an+1-anan-an-1=2，即数列an+1-an是以a2-a1为首项，2为公比的等比数列，所以an+1-an=a22n-1，所以a6-a1=a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+a6-a5=a220+a221+a222+a223+a224=31a2=2021，所以a2=202131，故选：A5.已知数列 a
43、n满足an+2=3an+1-2annN*，且a1=1，a2=4，其前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn+2n+m2n0恒成立，则m的取值范围是()A.12,+B.-12,+C.-32,+D.32,+【答案】C【解析】由an+2=3an+1-2an，得an+2-an+1=2 an+1-an，数列 an+1-an是以a2-a1=3为首项，2为公比的等比数列，an+1-an=32n-1，当n2时，an-an-1=32n-2，a3-a2=32，a2-a1=31，将以上各式累加得an-a1=32n-2+32+31=31 1-2n-11-2=3 2n-1-1，an=32n-1-2，(当n=1时，也满足
44、)，Sn=3 1+2+22+2n-1-2n=31-2n1-2-2n=32n-2n-3，由Sn+2n+m2n0，得32n-2n-3+2n+m2n0，32n-3+m2n0，即m-3+32n，12n12，m-3+32=-32故m的取值范围是-32，+故选：C6.已知数列an=32a2n-1+3an-1+12，a1=2，则log2a5+1=()A.63log23-31B.31log23-15C.63log32-31D.31log32-15【答案】B【解析】由an=32a2n-1+3an-1+12可得an+1=32an-1+12，a1=20，根据递推公式可得出a20，a30，进而可知，对任意的nN，an
45、0，在等式an+1=32an-1+12两边取对数可得log2an+1=log232an-1+12=2log2an-1+1+log232，令bn=log2an+1，则bn0，可得bn=2bn-1+log232，则bn+log232=2 bn-1+log232，所以，数列 bn+log232 是等比数列，且首项为b1+log232=log2a1+1+log232=log292，公比为2，b5+log232=24log292=16 2log23-1=32log23-16，即log2a5+1=32log23-16-log232=31log23-15.故选：B.7.已知数列 an满足a1=2，a2=6，
46、且an+2-2an+1+an=2，若 x表示不超过x的最大整数(例如 1.6=1，-1.6=-2).则22a1 +32a2 +20212a2020 =()A.2018B.2019C.2020D.2021【答案】D【解析】由题设，(an+2-an+1)-(an+1-an)=2，a2-a1=4，故an+1-an是首项为4，公差为2的等差数列，则an+1-an=2n+2，则an-an-1+an-1-an-2+.+a2-a1=an-a1=2(n-1)+.+1+2(n-1)=(n+2)(n-1)，所以an=n(n+1)，故(n+1)2an=1+1n，又nN*，当n=1时22a1 =2，当n2时(n+1)
47、2an=1，所以22a1 +32a2 +20212a2020 =2021.故选：D二、二、填空题填空题8.在数列an中，a1=1，a2=13，且满足2anan+1=an-1(3an+1-an)(n2)，则an=_.【答案】12n-1【解析】解：因为a1=1，a2=13，2anan+1=an-13an+1-an，显然an0，所以2anan+1=3an+1an-1-an-1an，同除an-1anan+1得2an-1=3an-1an+1，所以21an-1an-1=1an+1-1an，所以1an+1-1an1an-1an-1=2，所以1an+1-1an 是以2为首项、2为公比的等比数列，所以1an+1
48、-1an=22n-1=2n，所以1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a3-1a2+1a2-1a1+1a1=2n-1+2n-2+21+1=1-2n1-2=2n-1所以an=12n-1故答案为：12n-19.已知数列 an满足an+1an+2+an+1an=2+an+1，且a1=1,a2=13，则 an的通项公式an=_.【答案】2n n+1【解析】解：由an+1an+2+an+1an=2+an+1,得1an+2+1an-2an+1=1，则1an+2-1an+1-1an+1-1an=1，由a1=1,a2=13得1a2-1a1=2，所以1an+1-1an 是以2为首项，1为公差的等
49、差数列，所以1an+1-1an=2+n-1=n+1，当n2时，1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1+1a1=n+n-1+2+1=n n+12，所以an=2n n+1，当n=1时，a1=1也适合上式，所以an=2n n+1，故答案为：2n n+1.10.设正项数列 an满足a1=1，an=2a2n-1n2，则数列 an的通项公式是_【答案】an=22n-1-1【解析】原式两边同时取对数，得log2an=1+2log2an-1n2，即log2an+1=2 log2an-1+1设bn=log2an+1，则bn=2bn-1n2，又b1=1+log2a1=1，所以 bn是以
50、2为公比，1为首项的等比数列，所以bn=12n-1=2n-1，所以log2an+1=2n-1，所以an=22n-1-1故答案为：an=22n-1-1.11.在数列 an中，a1=1，a2=3，且对任意的nN*，都有an+2=3an+1-2an，则数列 an的通项公式为 _【答案】an=2n-1#an=-1+2n【解析】解：由an+2=3an+1-2an，得an+2-an+1=2 an+1-an又a1=1，a2=3，所以a2-a1=20，所以 an+1-an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1-an=2n，所以an=a1+a2-a1+an-an-1=1+2+22+2n-1=2n-1,n2