《2024年高考数学专项突破斐波拉契数列（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项突破斐波拉契数列（解析版）.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题突破之专题突破之-斐波那契数列斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作 算盘书 中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5
2、，8，13，21，34，55，2.递推公式：a1=a2=1,an=an-1+an-2(n3)3.通项公式：an=151+52n-1-52n 【常考性质】性质1.前n项和：Sn=a1+a2+an=an+2-1性质2.奇数项和：a1+a3+a2n-1=a2n偶数项和：a2+a4+a2n=a2n+1-1性质3.平方性质：an2=anan+1-anan-1平方和性质：a12+a22+an2=anan+1性质4.中项性质：anan+2-a2n+1=(-1)n+1；3an=an-2+an+2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,被
3、4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,性质6.斐波那契不等式：nn-1loganan+12时，Fn=Fn-1+Fn-2.若F100=F21+F22+F23+F2mFm，则m=()A.98B.99C.100D.1013.(20232023 河南省鹤壁市河南省鹤壁市 单元测试单元测试)意大利数学家斐波那契在他的 算盘全书 中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，这就是著名的斐波那契
4、数列，它的递推公式是an=an-1+an-2(n3,nN*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.674202124.(20222022 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 月考试卷月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为an+2=an+1+an,nN*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列 an的通项公式为an=A1+52n+B1-52n，其中A,B的值可由a1和a2得到
5、，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125 =.(x表示不超过x的最大整数)()A.10B.11C.12D.135.(20232023 湖北省恩施土家族苗族自治州湖北省恩施土家族苗族自治州 单元测试单元测试)斐波那契数列Fn，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列Fn满足F1=F2=1，且Fn+2=Fn+1+Fn(nN*).卢卡斯数列Ln是以数学家爱德华卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且Ln+1=Fn+Fn+2(nN*)，则F2023=()A.13L2022+16L2024B.13L2022+
6、17L2024C.15L2022+15L2024D.-15L2022+25L20246.(20222022 广东省河源市广东省河源市 单元测试单元测试)斐波拉契数列 an满足：a1=1，a2=1，an+2=an+1+annN*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设Sn=a1+a2+an，Tn=a21+a22+a2n，给出以下三个命题：a2n+2-a2n+1=an+3an；Sn=an+2-1；Tn+1=a2n+1+an+1an其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.37.(20222022 湖北省湖北省 期中考试期中考试)若数列Fn满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2(n3)，则F
7、n称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.61820.38，1.61822.61)A.31万B.51万C.217万D.317万8.(20232023 山东省济南市山东省济南市 期末考试期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的 算盘全书.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人
8、们把这个数列 Fn称为斐波那契数列，则下列结论正确的是()A.F2+F4+F6+F2020=F2021B.F21+F22+F23+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+F2021=F2023D.F1+F3+F5+F2021=F2022-139.(20222022 江苏省南通市江苏省南通市 月考试卷月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即an+2=an+1+an，后来人们把这样的一列数组成的数列 an称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列 an中，anan+2+a
9、n+2an+4=()A.anan+5B.a2n+3C.an+2an+3D.3a2n+210.(20222022 全国全国 月考试卷月考试卷)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n3,nN*，此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列 an，则数列 an的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.67211.(20222022 安徽省六安市安徽省六安市 单元测试单元测试)历史上数列的发展
10、，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3,nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列bn，则b1+b2+b3+b52的值为()A.71B.72C.73D.7412.(20232023 单元测试单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即
11、an+2=an+1+an(nN*)，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”.设数列an的前n项和为Sn，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+113.(20222022 河南省河南省 月考试卷月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把由这样一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn是数列an的前n项和，则(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+(a
12、100-S98)=()A.0B.1C.98D.10014.(20222022 重庆市重庆市 月考试卷月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-201715.已知5584,13485，设a=log53,b=log85c=log138，则A.abcB.bacC.b
13、acD.ca2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.2566三、三、填空题1.(20232023 江西省赣州市江西省赣州市 期末考试期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列an满足a1=a2=1，且an+2=an+1+an，则称数列 an为斐波那契数列.已知数列 an为斐波那契数列，数列 bn满足bn+3+(-1)anbn=n，若数列 bn的前12项和为86，则b1+b2=2.(20232023 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 单元测试单元测试)1202年意大利数学家列昂那多
14、-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列 an，则数列 an的前2022项的和为3.(20222022 海南省海南省 期末考试期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入已知斐波那契数列an满足a1=0，a2=1，an+2=an+1+an(nN*)，若记a1+a3+a5+a2019=M，a2+a4+a6+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)4.(20222022 陕西
15、省咸阳市陕西省咸阳市 模拟题模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作 算盘书 中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用设斐波那契数列为an，其中a1=a2=1，有以下几个命题：an+an+1=an+2(nN+)；a21+a22+a23+a24=a4a5；a1+a3+a5+a2021=a
16、2022；a22n+1=a2na2n+2-1(nN+)其中正确命题的序号是5.(20222022 江苏省苏州市江苏省苏州市 单元测试单元测试)数列 an：1，1，2，3，5，8，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，an+2=an+1+annN*.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式an=151+52n-1-52n 等借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=an+1an+2-an=an+2an+1-an+1
17、an，从而易得a21+a22+a23+a2126值的个位数为6.(20222022 全国全国 期末考试期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为 Fn.利用下图所揭示的 Fn的性质，则在等式F22022-F21+F22+F22021=F2022Fm中，m=78专题突破之专题突破之-斐波那契数列斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作 算盘书 中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，2
18、1，34，55，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，2.递推公式：a1=a2=1,an=an-1+an-2(n3)3.通项公式：an=151+52n-1-52n 【常考性质】性质1.前n
19、项和：Sn=a1+a2+an=an+2-1性质2.奇数项和：a1+a3+a2n-1=a2n偶数项和：a2+a4+a2n=a2n+1-1性质3.平方性质：an2=anan+1-anan-1平方和性质：a12+a22+an2=anan+1性质4.中项性质：anan+2-a2n+1=(-1)n+1；3an=an-2+an+2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,性质6.斐波那契不等式：nn-1loganan+12时，Fn=Fn-1+Fn-2.若F100=F21+F22+F23+
20、F2mFm，则m=()A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】由已知得F21=F2F1，且Fn-1=Fn-Fn-2，2所以F22=F2(F3-F1)=F2F3-F2F1，F23=F3(F4-F2)=F4F3-F3F2，.F2m=Fm(Fm+1-Fm-1)=FmFm+1-F3Fm-1，累加整理可得F21+F22+.+F2m=FmFm+1；又因为F100=F21+F22+F23+F2mFm=Fm+1即Fm+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确故选：B利用累加法即可求解本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题3.(20232023 河南省鹤壁市河南省鹤壁
21、市 单元测试单元测试)意大利数学家斐波那契在他的 算盘全书 中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是an=an-1+an-2(n3,nN*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.6742021【答案】B【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，1
22、3，21，34，55，89，144可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，2021=6733+2，该数列的前2021项中有673个偶数，从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=6732021故选：B4.(20222022 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 月考试卷月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为an+2=an+1+an,nN*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列 an的通项公式为an=A1+52n+B1-52n，其中A,B的
23、值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125 =.(x表示不超过x的最大整数)()A.10B.11C.12D.13【答案】B【解析】由题意可令A=B=1，所以将数列 an逐个列举可得：a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，故a5=1+525+1-525=11，因为1-525-1,0，3所以1+525 11,12，故1+525 =11故选：B5.(20232023 湖北省恩施土家族苗族自治州湖北省恩施土家族苗族自治州 单元测试单元测试)斐波那契数列Fn，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔
24、子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列Fn满足F1=F2=1，且Fn+2=Fn+1+Fn(nN*).卢卡斯数列Ln是以数学家爱德华卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且Ln+1=Fn+Fn+2(nN*)，则F2023=()A.13L2022+16L2024B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为Fn+2=Fn+1+Fn(nN*)，Ln+1=Fn+Fn+2(nN*)，所以可得L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022L2024=F2023+F2025=2F2023+F20
25、24=3F2023+F2022，解得F2023=15L2022+15L20246.(20222022 广东省河源市广东省河源市 单元测试单元测试)斐波拉契数列 an满足：a1=1，a2=1，an+2=an+1+annN*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设Sn=a1+a2+an，Tn=a21+a22+a2n，给出以下三个命题：a2n+2-a2n+1=an+3an；Sn=an+2-1；Tn+1=a2n+1+an+1an其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】an+2=an+1+anan+2-an+1=an，an+3=an+2+an+1，所以(an+2+an+1)(an+2
26、-an+1)=an+3an，即a2n+2-a2n+1=an+3an，故正确；an+2=an+1+an，an+1=an+an-1，an=an-1+an-2，a3=a2+a1，相加可得：an+2=a2+Sn即Sn=an+2-1，故正确；因为an+1an=(an+an-1)an=a2n+anan-1a2n=an+1an-anan-1(n2)，所以Tn+1=a21+a22+a2n+1=a21+a3a2-a2a1+a4a3-a3a2+an+1an-anan-1+a2n+1，又a1=1,a2=1，可得Tn+1=a2n+1+an+1an，故正确47.(20222022 湖北省湖北省 期中考试期中考试)若数列
27、Fn满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2(n3)，则Fn称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.61820.38，1.61822.61)A.31万B.51万C.217万D.317万【答案】C【解析】当n2时Sn=Fn+2-F2，则S28=F30-1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618
28、F30+F30=2.618F30-1217万.故选C8.(20232023 山东省济南市山东省济南市 期末考试期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的 算盘全书.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列 Fn称为斐波那契数列，则下列结论正确的是()A.F2+F4+F6+F2020=F2021B.F21+F22+F23+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+F2021=F2023D.F1+F3+F5+F2021=F2022-1【答案】B【解析】根据题意
29、可知，Fn+2=Fn+1+Fn，对于A，因为F2+F4+F6+F2020=F1+F2+F4+F6+F2020-1=F3+F4+F6+F2020-1=F5+F6+F2020-1=F2021-1，故A错误;对于D，因为F1+F3+F5+F2021=F2+F3+F5+F2021=F4+F5+F2021=F2022，故D错误;对于C，由F2+F4+F6+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+F2021=F2022，可知F1+F2+F3+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;对于B，因为Fn+1=Fn+2-Fn，所以F2n+1=Fn+1 Fn+2-Fn=Fn+1Fn+
30、2-FnFn+1，即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，F22021=F2021F2022-F2020F2021，累加得F22+F23+F22021=F2021F2022-F1F2，因为F1F2=F21，即F21+F22+F23+F22021=F2021F2022得证，故B正确故选：B9.(20222022 江苏省南通市江苏省南通市 月考试卷月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即an+2=an+1+an，后来人们把这样的一列数组成的数列 an称为“斐波那契
31、数列”.则斐波那契数列 an中，anan+2+an+2an+45=()A.anan+5B.a2n+3C.an+2an+3D.3a2n+2【答案】D【解析】因为an+2=an+1+an，则an+4=an+2+an+3=an+2+an+2+an+1=2an+2+an+1，则anan+2+an+2an+4=anan+2+an+2(2an+2+an+1)=an+2(an+an+1)+2a2n+2=an+2an+2+2a2n+2=3a2n+210.(20222022 全国全国 月考试卷月考试卷)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
32、即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n3,nN*，此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列 an，则数列 an的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672【答案】B【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,.各项除以2的余数，可得 an为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,.，所以 an是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1+1+0=2，因为2021=6733+2，所以数列 an的前2021项的和为6732+2=1348故选B11.(20222022
33、 安徽省六安市安徽省六安市 单元测试单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3,nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列bn，则b1+b2+b3+b52的值为()A.71B.72C.73D.74【答案】A【解析】由题意知：数列bn为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，.故该数列的周期为6，所
34、以b1+b2+b3+b52=8(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71故选：A12.(20232023 单元测试单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即an+2=an+1+an(nN*)，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”.设数列an的前n项和为Sn，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+1【答案】C【解析】因为an+2=an+1+an，6所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a20
35、19=a2022+a2020+a2018+a2+a1，a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=a2023+a2021+a2019+a5+a3+a2，由+，得a2023+a2024=S2023+a2，又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，所以S2023=m+n-1.故选C13.(20222022 河南省河南省 月考试卷月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把由这样一列数组成的数列
36、an称为“斐波那契数列”，记Sn是数列an的前n项和，则(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+(a100-S98)=()A.0B.1C.98D.100【答案】C【解析】解：a1+a2=a3，a2+a3=a4，an+an-1=an+1，an+1+an=an+2，a2+Sn=an+2，an+2-Sn=a2=1，(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+(a100-S98)=198=98，故选：C由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，an+an-1=an+1，an+1+an=an+2，相加可得a2+Sn=an+2，进而得出结论本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，
37、考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.(20222022 重庆市重庆市 月考试卷月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-2017【答案】C【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，anan+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，
38、anan+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，当n为偶数时，anan+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，anan+2-a2n+1=1(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)(a2015a2017-a22016)=-1故选：C根据an+an+1=an+2，当n为偶数时，anan+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，anan+2-a2n+1=1，从而可以求出结果本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题15.已知5584,13485，设a=l
39、og53,b=log85c=log138，则A.abcB.bacC.bacD.cab7【答案】A【解析】由斐波那契不等式：nn-1loganan+12)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.256【答案】BC【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，所以只需14
40、3a232，BC均符合要求11故选：BC三、三、填空题1.(20232023 江西省赣州市江西省赣州市 期末考试期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列an满足a1=a2=1，且an+2=an+1+an，则称数列 an为斐波那契数列.已知数列 an为斐波那契数列，数列 bn满足bn+3+(-1)anbn=n，若数列 bn的前12项和为86，则b1+b2=【答案】8【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由bn+3+(-1)anbn=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+
41、b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，则s12=b1+b2+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=82.(20232023 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 单元测试单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该
42、数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列 an，则数列 an的前2022项的和为【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以3的余数，可得数列an为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1.，数列an是周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9，又2022=2528+6，数列an的前2022项的和S2022=2529+8=2276故答案为：22763.(20222022 海南省海南省 期末考试期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家
43、斐波那契研究兔子繁殖问题时引入已知斐波那契数列an满足a1=0，a2=1，an+2=an+1+an(nN*)，若记a1+a3+a5+a2019=M，a2+a4+a6+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)【答案】M+N+1【解析】因为a1+a3+a5+a2019=M，a2+a4+a6+a2020=N，所以S2020=M+N，所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，所以S2018=M-a1=M，因为a2+a4+a6+a2020=N，所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2018+a2019)=-a1+S2019
44、+a2=S2019+1=N，12所以S2019=N-1，所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，故答案为：M+N+1由已知两式相加得 S2020=M+N，由 a1+a3+a5+a2019=M 得 S2018=M-a1=M，由 a2+a4+a6+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用an+2=an+1+an(nN*)可得答案本题考
45、查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题4.(20222022 陕西省咸阳市陕西省咸阳市 模拟题模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作 算盘书 中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用设斐波那契数列为an，其中a1=a2=1，有以下几个命题：an+an
46、+1=an+2(nN+)；a21+a22+a23+a24=a4a5；a1+a3+a5+a2021=a2022；a22n+1=a2na2n+2-1(nN+)其中正确命题的序号是【答案】【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以an+an+1=an+2(nN+)，正确；a21+a22+a23+a24=1+1+4+9=15，a4a5=35=15，正确；a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=a2021+a2019+a2017+a2016=a2021+a2019+a2017+a2015+a3+a2=a2021+a2019+a2017+a2015+a3+a
47、1，所以正确当n=1时，a22n+1=a23=4，a2na2n+2-1=a2a4-1=13-1=2，所以错误故答案为：根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题5.(20222022 江苏省苏州市江苏省苏州市 单元测试单元测试)数列 an：1，1，2，3，5，8，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，an+2=an+1+annN*.对此数列有很多研究成果，如：该数
48、列项的个位数是13以60为周期变化的，通项公式an=151+52n-1-52n 等借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=an+1an+2-an=an+2an+1-an+1an，从而易得a21+a22+a23+a2126值的个位数为【答案】4【解析】因为a2n+1=an+1(an+2-an)=an+2an+1-an+1an，所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+(a126a127-a126a125)=1-a2a1+a126a127=a126a127又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，易知a6=8
49、，a7=a6+a5=13，则83=24，所以a126a127的个位数字为4故答案为：46.(20222022 全国全国 期末考试期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为 Fn.利用下图所揭示的 Fn的性质，则在等式F22022-F21+F22+F22021=F2022Fm中，m=【答案】2020【解析】由题意，Fn+2=Fn+1+Fn，所以F2022F2021=F2021+F2020F2021=F22021+F2021F2020，F2021F2020=F22020+F2020F2019，F2020F2019=F22019+F2019F2018，F3F2=F22+F2F1=F22+F21，所以F2022F2021=F22021+F22020+F22019+F22+F21，所以F22022-F21+F22+F22021=F22022-F2022F2021=F2022F2022-F2021=F2022Fm，所以F2022-F2021=Fm，所以F2022=F2021+Fm，由F2022=F2021+F2020，所以Fm=F2020，所以m=2020，故答案为202014