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1、微专题解三角形微专题解三角形【秒杀总结】【秒杀总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理【典型例题】【典型例题】例题1.例题1.(2023(2023秋秋 山西太原
2、山西太原 高三统考期末高三统考期末)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+bc=a2(1)求证：A=2B；(2)求6b+2cbcosB的取值范围2024年高考数学专项微专题 解三角形（解析版）例题例题2.2.(20232023 浙江浙江 统考一模统考一模)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知a+ba+c=sinC-A2sinC+A2(1)若A=4，求B；(2)求ca+cb的取值范围例题例题3.3.(20232023 河北衡水河北衡水 河北衡水中学校考模拟预测河北衡水中学校考模拟预测)已知 ABC，D 为边 AC 上一点，AD=1，CD=2.(
3、1)若BA BD=34，BC BD=0，求SABC；(2)若直线BD平分ABC，求ABD与CBD内切圆半径之比的取值范围.例题例题4.4.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b(1)求角B的值；(2)若a=2，求ABC的周长的取值范围例题例题5.5.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=bcosA-acosB(1)求证：B=2A；(2)求b+ca的取值范围例题例题6.6.(2023
4、2023 全国全国 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)ABC 中，D，E 是边 BC 上的点，BAD=CAE，且BDBECDCE=13.(1)若BC=3，求ABC面积的取值范围；(2)若AB=1，BC=2，平面内是否存在点P，使得ABP=BCP=CAP？若存在，求sinABP；若不存在，说明理由.例题例题7.7.(20232023 全 国全 国 高 三 专 题 练 习高 三 专 题 练 习)在 2 acosA=bcosC+ccosB；tanB+tanC+3=3tanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知_(1)求角
5、A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，且其面积为32，点G为ABC重心，点M为线段AC的中点，点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求 GP 的取值范围注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分【过关测试】【过关测试】1.(20232023 湖南衡阳湖南衡阳 校考模拟预测校考模拟预测)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足sinAsinB+sinC+bsinBbsinA+csinB=1(1)求角C；(2)CD是ACB的角平分线，若CD=4 33，ABC的面积为2 3，求c的值.2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练
6、习)ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，ABBD.(1)求BD的长度；(2)若点P为ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.3.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，某城市有一条 MO从正西方通过市中心 O 后转向东偏北 60 方向 ON的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 L，并在 MO，NO 上分别设置两个出口A，B，B在A的东偏北的方向(A，B两点之间的高速路可近似看成直线段)，由于A，B之间相距较远，计划在A，B之间设置一个服务区P.(1)若P在O的正北方向且OP=2km，求A，B到市中心O的距离和最小时t
7、an的值；(2)若B到市中心O的距离为10km，此时P设在AOB的平分线与AB的交点位置，且满足OP 2+BP211OP BP，则求A到市中心O的距离最大时tan的值.4.(20232023秋秋 河北衡水河北衡水 高三河北衡水中学校考阶段练习高三河北衡水中学校考阶段练习)已知ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|MB|=|AN|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求SAMNSABC的最大值.5.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a-b(1)求C；
8、(2)若AB=AC，D是ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值6.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+ABBC=AC2(1)若AB=3BC=3，求ABC的面积；(2)若CD=3BC，CAD=30，BCD=120，求ACB的值7.(20232023 江苏苏州江苏苏州 苏州中学校考模拟预测苏州中学校考模拟预测)在PAB中，PA=PB，点C，D分别在PB，PA边上(1)若APB=3，CD=1，求PCD面积的最大值；(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R，若APB3,，且ABBCC
9、DDA的最大值为49，求R的值8.(20232023 上海上海 高三专题练习高三专题练习)ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足b2=a2+c2-ac(1)当A为何值时，函数y=2sin2A+cosC-3A2取到最大值，最大值是多少？(2)若c-a等于边AC上的高h，求sinC-A2的值9.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，四边形ABCD中，DAB=DCB=2，AB=3，BC=2，SABC=3 32且ABC为锐角(1)求DB；(2)求ACD的面积10.(20232023秋秋 湖南长沙湖南长沙 高三长郡中学校考阶段练习高三长郡中学校考阶段练习)如图，在
10、梯形ABCD中，ABCD，AB=2，CD=5，ABC=23(1)若AC=2 7，求梯形ABCD的面积；(2)若ACBD，求tanABD11.(20232023 春春 河南开封河南开封 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin B-CtanA=sinBsinC(1)若A=B，求sin2A的值；(2)证明：a2+b2c2为定值12.(20232023春春 江苏南通江苏南通 高三校考开学考试高三校考开学考试)如图，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BCD是等边三角形，BC=2，AD=7.(1)求证：BCAD；(2)求平面ABD与平面BC
11、D夹角的余弦值.13.(20232023秋秋 山东菏泽山东菏泽 高三统考期末高三统考期末)在sin2+C-12cosB=sinCtanB；S=32AB CA；ctanA=-c+2btanC三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S且满足_(1)求A的大小；(2)设ABC的面积为6，点D为边BC的中点，求AD2的最小值14.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，P 为 ABC 内的一点，BAP 记为，ABP 记为，且，在ABP中的对边分别记为m，n，2m+nsin=3ncos，0,3.(1)求APB；
12、(2)若AB=2 3，BP=2，PC=3，记APC=，求线段AP的长和ABC面积的最大值.15.(20232023秋秋 湖南长沙湖南长沙 高三湖南师大附中校考阶段练习高三湖南师大附中校考阶段练习)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4且cos2A-cos2B=2sinC sinB-sinC.(1)若c=3，求sinC；(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.16.(20232023 秋秋 江苏南通江苏南通 高三统考期末高三统考期末)已知四边形 ABCD 内接于圆 O，AB=3，AD=5，BAD=120，AC平分BAD.(1)求圆O的半径；(2)求AC的长.17.(202
13、32023秋秋 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 高三哈师大附中校考期末高三哈师大附中校考期末)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c-a=2bcosA(1)求B的大小；(2)若b=3，求a+c的取值范围；求aca+c的最大值18.(20232023 安徽马鞍山安徽马鞍山 统考一模统考一模)已知条件：tanB+tanCtanB=2ab；1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=3；3a=2csin B+3.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足：_.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
14、(1)求角C的大小；(2)若ABC为锐角三角形，c=32，求a2+b2的取值范围.微专题微专题解三角形解三角形【秒杀总结】【秒杀总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内
15、角和定理【典型例题】【典型例题】例题例题1.1.(20232023秋秋 山西太原山西太原 高三统考期末高三统考期末)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+bc=a2(1)求证：A=2B；(2)求6b+2cbcosB的取值范围【解析】(1)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，a2-b2=c2-2bccosAb2+bc=a2，a2-b2=bcc2-2bccosA=bcb(1+2cosA)=c，由正弦定理得bsinB=csinC，sinB(1+2cosA)=sinC=sin(A+B)，sinB=sin(A-B)，0A,B，0BA，B=A-B，A=2B(2)由(1)
16、得A=2B,c=b(1+2cosA)，6b+2cbcosB=6+2 4cos2B-1cosB=8cosB+4cosB，A=2B，又0A+B180，0B3，12cosB1，函数 f x=8x+4x在12,22上单调递减，在22,1上单调递增f12=f 1=12，f22=8 28 2 8cosB+4cosB12，6b+2cbcosB的取值范围为 8 2,12例题例题2.2.(20232023 浙江浙江 统考一模统考一模)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知a+ba+c=sinC-A2sinC+A2(1)若A=4，求B；(2)求ca+cb的取值范围【解析】(1)由正弦定理得
17、a+ba+c=sinA+sinBsinA+sinC，又a+ba+c=sinC-A2sinC+A2，所以sinA+sinBsinA+sinC=sinC-A2sinC+A2，因为sinA+sinC=2sinC+A2cosC-A2，所以sinA+sinB=2sinC+A2cosC-A2sinC-A2sinC+A2=2cosC-A2sinC-A2=sin C-A，因为sinB=sin-B=sin C+A，所以sinA=sin C-A-sin C+A=-2cosCsinA，因为0A0，故cosC=-12，又0C0,b0，所以ba+ab2baab=2，当且仅当ba=ab，即a=b时，等号成立，即ba+ab
18、2，故T234=12，则T2 3，所以ca+cb2 3，即ca+cb 2 3,+例题例题3.3.(20232023 河北衡水河北衡水 河北衡水中学校考模拟预测河北衡水中学校考模拟预测)已知 ABC，D 为边 AC 上一点，AD=1，CD=2.(1)若BA BD=34，BC BD=0，求SABC；(2)若直线BD平分ABC，求ABD与CBD内切圆半径之比的取值范围.【解析】(1)如图1，AD=1，CD=2，所以BA=BD+DA=BD+12CD=BD+12BD-BC=32BD-12BC，因为BA BD=34，BC BD=0，所以BA BD=32BD-12BC BD=32BD2-12BC BD=32
19、BD 2=34，故 BD 2=12，则 BD=22，即BD=22，又BC BD=0，则BCBD，故BC=CD2-BD2=142，不妨记ABD=，AB=m，则cos=AB2+BD2-AD22ABBD=m2+12-12m=2m2-12 2m，因为BA BD=BA BD cos=34，所以m222m2-12 2m=34，解得m=2，则cos=22-12 2 2=34，因为0AC，即c+2c3，则c1，所以 BD=2c2-2，即BD=2c2-2，因为SABDSBCD=12ADh12CDh=12(h为顶点B到AC的距离)，又SABD=12AB+BD+ADr=12c+2c2-2+1r，SBCD=12BC+
20、BD+CDR=122c+2c2-2+2R，所以c+2c2-2+1r2c+2c2-2+2R=12，则rR=122c+2c2-2+2c+2c2-2+1=121+c+1c+2c2-2+1，令t=c+1，则c=t-1，t2，所以c+1c+2c2-2+1=tt+2 t-12-2=11+2-4t，因为t2，所以01t12，则02-4t2，故11+2-4t1+2，所以2-111+2-4t1，即2-1c+1c+2c2-2+11，所以22121+c+1c+2c2-2+11，故22rR0，所以2cosA=1，即cosA=12，因为A 0,，所以A=3；若选tanB+tanC+3=3tanBtanC，即tanB+t
21、anC=-3+3tanBtanC，即tanB+tanC=-3 1-tanBtanC，所以tanB+tanC1-tanBtanC=-3，即tan B+C=-3，所以tan-A=-3，即tanA=3，因为A 0,，所以A=3；(2)依题意AN=23AB，AM=12AC，所以AG=AB+BG=AB+23BM=AB+23AM-AB=AB+2312AC-AB=13AB+13AC，因为C、N、P三点共线，故设AP=AN+1-AC=23AB+1-AC，同理M、B、P三点共线，故设AP=AB+1-AM=AB+121-AC，所以23=1-=121-，解得=34=12，所以AP=12AB+14AC，则GP=AP-
22、AG=12AB+14AC-13AB+13AC=16AB-112AC=1122AB-AC，因为SABC=12bcsinA=32，所以bc=2，又ABC为锐角三角形，当C为锐角，则AC BC 0，即AC AC-AB 0，即AC 2-AC AB 0，即b2-12bc0，即2bc=2b，所以b1，当B为锐角，则AB CB 0，即AB AB-AC 0，即AB2-AC AB 0，即c2-12bc0，即2cb，即22bb，所以0b2，综上可得1b2，又 GP=112 2AB-AC，则144 GP 2=2AB-AC 2=4AB2-4AB AC+AC 2=4 AB 2-4AB AC+AC 2=4c2-2bc+b
23、2=16b2-4+b2因为1b2，所以1b24，而 f x=16x-4+x在 1,4上单调递减，所以 f x 4,13，即16b2-4+b2 4,13，即144 GP 2 4,13，所以12 GP 2,13，则 GP 16,1312.【过关测试】【过关测试】1.(20232023 湖南衡阳湖南衡阳 校考模拟预测校考模拟预测)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足sinAsinB+sinC+bsinBbsinA+csinB=1(1)求角C；(2)CD是ACB的角平分线，若CD=4 33，ABC的面积为2 3，求c的值.【解析】(1)由正弦定理得ab+c+b2ba+cb=
24、1，即ab+c+ba+c=1，整理得a a+c+b b+c=a+cb+c，化简得a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12，又C 0,，则C=3；(2)由面积公式得12absinC=12ab32=2 3，解得ab=8，又CD是ACB的角平分线，则SACDSBCD=12CACDsin612CBCDsin6=CACB=ADBD，即ADBD=ba，则CD=CA+AD=CA+ba+bAB=CA+ba+bCB-CA=aa+bCA+ba+bCB，所以CD2=aa+bCA+ba+bCB 2=a2a+b2CA2+2aba+b2CA CB+b2a+b2CB2，即163=a2b2a
25、+b2+2aba+b2ab12+a2b2a+b2，整理得163=3a2b2a+b2，又ab=8，解得a+b=6，则a2+b2=a+b2-2ab=20，由(1)知c2=a2+b2-ab=20-8=12，则c=2 3.2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，ABBD.(1)求BD的长度；(2)若点P为ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.【解析】(1)设BD=x，CD=y，则AD=2y.在ABD与CBD中，由余弦定理知：AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB，即x2+4y2-4xycosADB=1
26、，BC2=BD2+CD2-2BDCDcosCDB，即x2+y2-2xycosADB=7.ADB+CDB=，cosADB+cosCDB=0，可得x2+2y2=5.ABBD，AD2=AB2+BD2，即1+x2=4y2.解得x=3，y=1.BD=3.(2)由(1)知：ABD中，ABD=2，AD=2，AD为ABD外接圆的直径.P为ABD外接圆上任意一点，当P在B点时，PB+2PD=2PD=2 3.当P在D点时，PB+2PD=PB=3.当P在优弧BAD上时，BPD=BAD=3，设PBD=023，则PDB=23-.PBD中，由正弦定理知PB=2sin23-，PD=2sin.PB+2PD=2sin23-+4
27、sin=2 sin23cos-cos23sin+4sin=5sin+3cos=2 7sin(+)tan=35,02，当+=2时，PB+2PD的最大值为2 7.当P在劣弧BD上时，BPD=-BAD=23，设PBD=03，则PDB=3-.PBD中，由正弦定理知PB=2sin3-，PD=2sin.PB+2PD=2sin3-+4sin=2 sin3cos-cos3sin+4sin=3sin+3cos=2 3sin+6.当+6=2时，PB+2PD的最大值为2 3.综上，PB+2PD的最大值为2 7.3.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，某城市有一条 MO从正西方通过市中心 O
28、 后转向东偏北 60 方向 ON的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 L，并在 MO，NO 上分别设置两个出口A，B，B在A的东偏北的方向(A，B两点之间的高速路可近似看成直线段)，由于A，B之间相距较远，计划在A，B之间设置一个服务区P.(1)若P在O的正北方向且OP=2km，求A，B到市中心O的距离和最小时tan的值；(2)若B到市中心O的距离为10km，此时P设在AOB的平分线与AB的交点位置，且满足OP 2+BP211OP BP，则求A到市中心O的距离最大时tan的值.【解析】(1)由题意可知AON=23,OAB=，若P在O的正北方向，则OPOA，在RtAOP中，O
29、A=2tan，在OPB中，B=3-,OPB=2+，由正弦定理可得OPsinB=OBsinOPB，所以OB=2sin2+sin3-=2cos32cos-12sin=43-tan，则OA+OB=2tan+43-tan=2tan+2 3-tan2+3tan=2-tan+32+3 3 tan+3-6tan+3=23 3-tan+3+6tan+323 3-2tan+36tan+3=6 3+4 63，当且仅当tan+3+6tan+3，即tan=6-3 时，取等号，所以A，B到市中心O的距离和最小时tan=6-3；(2)因为OP 2+BP211OP BP，所以OP 2+BP2-2OP BP 9OP BP，即
30、 OP-BP 29OP BP，即OB 29OP OP-OB，因为OP平分AOB，所以AOP=BOP=3，则1009OP 2-45 OP，所以0 OP 203，因为SAOB=SAOP+SBOP，所以12OA OB sin23=12OA OP sin3+12OB OP sin3，即10 OA=OA OP+10 OP，所以 OA=10 OP 10-OP=1010OP-1，因为0 OP 203，所以当 OP=203时，OA 有最大值20，此时在AOP中，20sin23-=203sin，即132cos+12sin=13sin，所以3=32cos+12sinsin=321tan+12，所以tan=35，所
31、以当A到市中心O的距离最大时tan=35.4.(20232023秋秋 河北衡水河北衡水 高三河北衡水中学校考阶段练习高三河北衡水中学校考阶段练习)已知ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|MB|=|AN|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求SAMNSABC的最大值.【解析】(1)证明：设AM=x1,BM=y1,AN=x2,CN=y2，由余弦定理知：cosAMO=x12+OM2-AO22x1OM，cosBMO=y12+OM2-BO22y1OM，由O是ABC外心知AO=BO=CO，而cosAMO+cosBMO=0，所以x12+OM2-AO2
32、2x1OM+y12+OM2-BO22y1OM=0，即(x1y1+OM2-AO2)(x1+y1)=0，而x1+y10，因此x1y1=AO2-OM2，同理可知x2y2=AO2-ON2，因此x1y1=x2y2，所以|AM|MB|=|AN|NC|；(2)由(1)知x1y1=x2y2=2，由余弦定理知：cosAOM=AO2+OM2-x122AOOM，cosAON=AO2+ON2-x222AOON，代入cosAOM+cosAON=0得x12+x22=8，设=x1y1,=x2y2，则+=x122+x222=4，因此SAMNSABC=AMBMABAC=(+1)(+1)=11+511+54=49，当且仅当=2时
33、取到等号，因此SAMNSABC的最大值为49.5.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a-b(1)求C；(2)若AB=AC，D是ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值【解析】(1)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2ccosB=2a-b由正弦定理得：2sinCcosB=2sinA-sinB，又A=-B+C，2sinCcosB=2sin B+C-sinB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB，2sinBcosC
34、=sinB，sinB0，cosC=12，0C，C=3(2)AB=AC，ACB=3，ABC是等边三角形，设AC=x，D=，AD=2，CD=1，SABC=34x2，SADC=12ADCDsinD=sin，由余弦定理得AC2=x2=1+4-4cos=5-4cos，S=SABC+SADC=34x2+sin=345-4cos+sin=5 34+sin-3cos=5 34+2sin-3，0，-3-323，当sin-3=1，即=56时，平面四边形ABCD的面积S取最大值Smax=5 34+26.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+ABBC=AC2(
35、1)若AB=3BC=3，求ABC的面积；(2)若CD=3BC，CAD=30，BCD=120，求ACB的值【解析】(1)在ABC中，cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=-ABBC2ABBC=-12，因为0B180，所以B=120SABC=12ABBCsin120=123132=3 34(2)设ACB=，则ACD=120-，ADC=30+，BAC=60-在ACD中，由ACsin 30+=CDsin30，得AC=sin 30+sin30CD在ABC中，由ACsin120=BCsin 60-，得AC=sin120sin 60-BC联立上式，并由CD=3BC得3sin 30+sin30=sin1
36、20sin 60-，整理得sin 30+sin 60-=14，所以sin 60+2=12，因为060，所以6060+2180，所以60+2=150，解得=45，即ACB的值为457.(20232023 江苏苏州江苏苏州 苏州中学校考模拟预测苏州中学校考模拟预测)在PAB中，PA=PB，点C，D分别在PB，PA边上(1)若APB=3，CD=1，求PCD面积的最大值；(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R，若APB3,，且ABBCCDDA的最大值为49，求R的值【解析】(1)由已知DPC=APB=3，在PCD中，利用余弦定理知1=CD2=PC2+PD2-2PCPDcosPDC，结合基本不等式有12
37、PCPD-2PCPDcos3=PCPD，当且仅当PC=PD=1时，等号成立，即PCPD的最大值为1，SPCD=12PCPDsin3=34PCPD34所以PCD面积的最大值为34(2)四边形ABCD存在外接圆，DAB+DCB=又PA=PB，DAB=CBA，CBA+DCB=，ABCD，所以四边形ABCD为等腰梯形，连接AC，设CBA=，CAB=x，在BAC中，由正弦定理得，ABsin(-x-)=BCsinx=2R，BC=2Rsinx，AB=2Rsin(-x-)=2Rsin(+x)同理，在ACD中，由正弦定理得，CD=2Rsin(-x)，所以ABBCCDDA=16R2sin2xsin(-x)sin(
38、+x)=16R2sin2x sin2cos2x-cos2sin2x=16R2sin2x sin2 1-sin2x-cos2sin2x=16R2sin2x sin2-sin2xAPB3,，0 x3，00，解得x=4，所以BC=4，则ABC的面积SABC=12ABBCsinABC=122432=2 3，梯形ABCD中，ABCD，ABC与ADC等高，且CD=5AB2，所以ADC的面积SADC=5SABC2=5 3，则梯形ABCD的面积S=SABC+SADC=7 3；(2)在梯形ABCD中，设ABD=，而ACBD，则BDC=，BAC=2-，DBC=23-a，BCA=-6，在ABC中，由正弦定理ABsi
39、nBCA=BCsinBAC得：2sin-6=BCsin2-，在BDC中，由正弦定理CDsinDBC=BCsinBDC得：5sin23-=BCsin，两式相除得：2sin23-5sin-6=sinsin2-232cos+12sin532sin-12cos=sincos，整理得5 3sin2-7sincos-2 3cos2=0，即5 3tan2-7tan-2 3=0解得tan=2 33或tan=-35，因为6,2，则tan=2 33，即tanABD=2 3311.(20232023 春春 河南开封河南开封 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
40、，sin B-CtanA=sinBsinC(1)若A=B，求sin2A的值；(2)证明：a2+b2c2为定值【解析】(1)由sinBcosC-sinCcosBsinAcosA=sinAsinC,0A0，所以AP=2.因为APB+BPC+APC=2，所以BPC=2-23-=43-.SABC=SAPB+SAPC+SBPC=12APBPsinAPB+12APCPsinAPC+12BPCPsinBPC=1222sin23+1223 sin+1223 sin43-=3+3 sin+sin43-=3+3 sin+sin43cos-cos43sin=3+3 sin-32cos+12sin=3+332sin-
41、32cos=3+3sin-6，0.因为，-6-63，所以3a+c6(当且仅当a=c=3时取等号)，设t=a+c,则t(3,6,所以aca+c=t2-93t,设 f(t)=t2-93t=13t-9t,则 f(t)在区间(3,6上单调递增,所以 f(t)的最大值为 f(6)=32,所以aca+c的最大值为32.18.(20232023 安徽马鞍山安徽马鞍山 统考一模统考一模)已知条件：tanB+tanCtanB=2ab；1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=3；3a=2csin B+3.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 ABC中，角A，B，C所对的边分别
42、是a，b，c，满足：_.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.(1)求角C的大小；(2)若ABC为锐角三角形，c=32，求a2+b2的取值范围.【解析】(1)选择条件tanB+tanCtanB=2ab：tanB+tanCtanB=sinBcosC+cosBsinCsinBcosC=sin(B+C)sinBcosC=sinAsinBcosC=abcosC，所以abcosC=2ab，于是cosC=12，又C(0,)，所以C=3.选择条件1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=3：因为1+sin2C-cos2C1+sin2C+cos2C=2sinCcosC+2sin2C2si
43、nCcosC+2cos2C=2sinC(cosC+sinC)2cosC(cosC+sinC)=tanC，解得tanC=3，又C(0,)，所以C=3.选择条件3a=2csin B+3：则3a=c(sinB+3cosB)，由正弦定理得：3sinA=sinCsinB+3sinCcosB，即3sin(B+C)=sinCsinB+3sinCcosB，整理得：3sinBcosC=sinCsinB，由sinB0得：tanC=3，又C(0,)，所以C=3.(2)由(1)知，C=3，B=23-A，ABC为锐角三角形，所以6A2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=1，得a=sinA，b=sinB，于是，a2+b2=sin2A+sin2B=sin2A+sin223-A=1-cos2A2+1-cos43-2A2=1-12cos2A+cos43-2A=1-1212cos2A-32sin2A化简得，a2+b2=1+12sin 2A-6，因为6A2,所以62A-656，所以12sin 2A-61，541+12sin 2A-632，故a2+b2的取值范围为54,32.