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1、2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题定点、定直线、定值专题1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，(最好是用向量点乘来)，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于
2、点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的
3、交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：。2分椭圆E的方程为。3分（）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：
4、。5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分当直线的斜率不存在时，直线由得综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13分法二：假设存在点，又设则：=.5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。13分4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得
5、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 （）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得 设则,由，当时，有成立。（）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（）由（I）得，所以。设的方程为 代入，得设则 当时，有成立。 （）在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，则， ， 即 ，存在，使得三点共线。6、（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂
6、直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：（I）圆过点O、F，M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为圆锥曲线的焦点弦长新解关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交
7、弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：二. 双曲线的焦点弦长设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，
8、由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x轴的焦点弦长为同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。三. 抛物线的焦点弦长若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。圆系
9、方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以为圆心的同心圆系方程：与圆同心的圆系方程为：2、过直线与圆交点的圆系方程为：（）（）3、过两圆:0，:交点的圆系方程为：（）0（-，此圆系不含:）特别地，当时，上述方程为根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数
10、法：1用一般式； 2用标准式。（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1两交点的中垂线与直线相交；2过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3两圆心连线与直线相交。解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。例、求经过两圆32和2交点和坐标原点的圆的方程解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（32）（2）（0，0）在所求的圆上，有2从而故所求的圆的方程为： 即7。2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系
11、，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆和的公共弦方程为过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例（2）; 求经过直线：24与圆：241的交点且面积最小的圆的方程解：设圆的方程为：241（24）即（14）则，当时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：261237练习：1求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7
12、=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）2求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）3求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）4求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆与直线相交于P，Q两点，O为坐标原点，若，求实数m的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出
13、关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即 .依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心显然在直线上，则，解之可得又满足方程，则，故。4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4 圆系2（410）1020（，-）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：1020（2410）与无关即易知圆心（，-）到直线25的距离恰等于圆的半径故直线25与圆相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。