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1、微 专 题 1 9 圆 锥 曲 线 经 典 难 题 之 一 类 定 点、定 值 问 题 的 通 性 通 法 研 究 秒 杀 总 结 1.直 线 与 圆 锥 曲 线 综 合 应 用 中 的 直 线 过 定 点 问 题 的 求 解，求 解 此 类 问 题 的 基 本 思 路 如 下：假 设 直 线 方 程，与 抛 物 线 方 程 联 立，整 理 为 关 于 X 或 的 一 元 二 次 方 程 的 形 式；利 用 A o求 得 变 量 的 取 值 范 围，得 到 韦 达 定 理 的 形 式；利 用 韦 达 定 理 表 示 出 已 知 中 的 等 量 关 系，代 入 韦 达 定 理 可 整 理 得 到
2、 变 量 间 的 关 系，从 而 化 简 直 线 方 程；根 据 直 线 过 定 点 的 求 解 方 法 可 求 得 结 果.2.定 比 点 差 法 3.非 对 称 韦 达 与 对 称 韦 达 4.先 猜 后 证 5.硬 解 坐 标 典 型 例 题 2 o例 1.（2022江 西 赣 州 一 模（文）己 知 椭 圆 C：*+专=1（。0）的 左、右 焦 点 分 别 为 J 尸?，点 尸 在 椭 圆 C 上，满 足 归 耳|+归 周=4,且 得 面 积 的 最 大 值 为 2.求 椭 圆 C 的 方 程；点 点/,8 在 椭 圆 C 上，点 N 在 直 线/：x-2y+4=0,满 足 也 4=加
3、，NB=iBM,试 问 是 否 为 定 值？若 是，求 出 该 定 值，若 不 是，请 说 明 理 由.工 2 1例 2.（2022北 京 一 模）已 知 椭 圆 C:0+与=1（。人 0）的 下 顶 点 A 和 右 顶 点 B 都 在 直 线/,:y=：。-2）上.a b 2（1）求 椭 圆 方 程 及 其 离 心 率；不 经 过 点 B 的 直 线&:y=自+?交 椭 圆 C 于 两 点 P,Q,过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 4于 点。，点 P 关 于 点 D 的 对 称 点 为 E.若 3,Q 三 点 共 线，求 证：直 线 4 经 过 定 点.例 3.（2022江 西 九 江
4、 二 模）己 知 椭 圆 1（0）的 离 心 率 为 李，P 为 椭 圆 E 上 一 点，。为 圆 父+丫 2=上 一 点，|PQ|的 最 大 值 为 3（尸，。异 于 椭 圆 E 的 上 下 顶 点）.（1）求 椭 圆 后 的 方 程:1(2)/为 椭 圆 E 的 下 顶 点，直 线/P,4。的 斜 率 分 别 记 为 勺，k2,且 e=4匕，求 证：直 线 P Q 过 定 点，并 求 出 此 定 点 的 坐 标.r2 2例 4.(2022 全 国 模 拟 预 测(文)已 知 双 曲 线:斗-上=1(。0,6 0)的 左、右 顶 点 分 别 为 A(T，。)、a bA2(l,0),离 心 率
5、 为 2,过 点 尸(2,0)斜 率 不 为 0 的 直 线/与 交 于 P、0 两 点.(1)求 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程；(2)记 直 线 人 尸、A?。的 斜 率 分 别 为 k、k2,求 证：?为 定 值.修 例 5.(2022 陕 西 咸 阳 二 模(理)已 知 抛 物 线 C：y2=2px(。0),过 焦 点 尸 作 x 轴 的 垂 线 与 抛 物 线 C相 交 于 两 点，SaMON=2.(1)求 抛 物 线 C 的 标 准 方 程；(2)点/是 抛 物 线 C 上 异 于 点。的 一 点，连 接/。交 抛 物 线 的 准 线 于 点。，过 点。作 x 轴 的 平 行
6、线 交 抛 物 线 于 点 2,求 证：直 线 4 8 恒 过 定 点.例 6.(2022广 西 柳 州 三 模(理)已 知 点 4(2,6)，点 4-2,-6),点 M 与 y 轴 的 距 离 记 为，且 点 加 满 足：记 点 M 的 轨 迹 为 曲 线 忆 4 求 曲 线 取 的 方 程；(2)设 点 P 为 x 轴 上 除 原 点。外 的 一 点，过 点 P 作 直 线 4,4，4交 曲 线 小 于 点 C,D,4 交 曲 线 少 于 点 E，F,G,”分 别 为 CD,E尸 的 中 点，过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 G”于 点 N,设 C,EF,O N 的 斜 率 分 别
7、为 勺，k2,%的，求 证：(&+&)为 定 值.例 7.(2022山 西 太 原 一 模(文)已 知 抛 物 线 V=2 p x 的 焦 点 为 F,点。为 坐 标 原 点，一 条 直 线 过 定 点 M(4,0)与 抛 物 线 相 交 于 A、B 两 点，且。4,08.(1)求 抛 物 线 方 程;2(2)连 接 4F,B尸 并 延 长 交 抛 物 线 于 C、O 两 点，求 证：直 线 8 过 定 点.过 关 测 试 1.(2022 陕 西 陕 西 一 模(理)已 知 抛 物 线/=。)，(。0),过 点 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线/,设/分 别 与 抛 物 线 相 交 于
8、A 8 及 C,ZT两 点，当 A 点 的 横 坐 标 为 2 时，抛 物 线 在 点 A 处 的 切 线 斜 率 为 1.(1)求 抛 物 线 的 方 程；(2)设 线 段 的 中 点 分 别 为 E,F,O 为 坐 标 原 点，求 证 直 线 瓦 过 定 点.2 22.(2022 辽 宁 抚 顺 一 模)已 知 椭 圆 C:；+马=l(ab0),若 下 列 四 点 _ 中 恰 有 三 点 在 椭 圆 C 上.a b 耳(1,1),6(0,1),A1,当)理)4(也 立),2(0,-I),A e，S，p&应，孝)(1)从 中 任 选 一 个 条 件 补 充 在 上 面 的 问 题 中，并 求
9、 出 椭 圆 c 的 标 准 方 程；(2)在(1)的 条 件 下，设 直 线/不 经 过 点 6 且 与 椭 圆 C 相 交 于 a 8 两 点，直 线 与 直 线 的 斜 率 之 和 为 1,过 坐 标 原 点。作 O D_LAB,垂 足 为。(若 直 线/过 原 点。，则 垂 足。视 作 与 原 点。重 合)，证 明：存 在 定 点 0，使 得 I D Q 为 定 值.3.(2022 安 徽 安 庆 二 模(文)已 知 椭 圆 占 5+1=1(60)的 长 轴 长 是 短 轴 长 的 两 倍,且 过 点,；(1)求 椭 圆 E 的 方 程.(2)设 椭 圆 的 下 顶 点 为 点 A,若
10、 不 过 点 A 且 不 垂 直 于 坐 标 轴 的 直 线/交 椭 圆 E 于 P,。两 点，直 线 AP,AQ分 别 与 x 轴 交 于 M,N 两 点.若 M,N 的 横 坐 标 之 积 是 2,证 明：直 线/过 定 点.丫 2 2 14.(2022北 京 石 景 山 一 模)已 知 椭 圆 C：+方=l(“h0)的 短 轴 长 等 于 2方，离 心 率 e=.(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；|PF|(2)过 右 焦 点 F 作 斜 率 为 k 的 直 线/,与 椭 圆 C 交 于 Z,8 两 点，线 段 的 垂 直 平 分 线 交 x 轴 于 点 P，判 断 局 是 否 为
11、 定 值，请 说 明 理 由.2 05.(2022福 建 漳 州 二 模)已 知 椭 圆 C:*+春 之.乂。)的 长 轴 长 为 2而，且 过 点 P(石(1)求 C 的 方 程：(2)设 直 线 y=成(胴 0)交 了 轴 于 点 M,交 C 于 不 同 两 点 A,B,点 N 与 M 关 于 原 点 对 称，B O L A N,3Q 为 垂 足.问：是 否 存 在 定 点 M,使 得 加。卜 加 川 为 定 值？6.(2022陕 西 西 安 二 模(文)已 知 定 点 尸(0/)，定 直 线 加：y=-1,动 圆 M 过 点 F,且 与 直 线 相 切.(1)求 动 圆 M 的 圆 心
12、轨 迹 E 的 方 程；(2)过 焦 点 F 的 直 线/与 抛 物 线 E 交 于 A B 两 点，与 圆 N:x2+y22y=o交 于 C Q 两 点(A,C 在 轴 同 侧)，求 证：|ACHOB|是 定 值.7.(2022令 国 模 拟 预 测(理)如 图 所 示，已 知 抛 物 线 氏 y2=2px,其 焦 点 与 准 线 的 距 离 为 6,过 点 M(4,0)作 直 线 4，4 与 E 相 交，其 中 4与 E 交 于 4 B 两 点，与 E 交 于 C,。两 点，直 线/。过 E 的 焦 点 E 若 AD,8 c 的 斜 率 为 k2.(1)求 抛 物 线 E 的 方 程；(2
13、)问 g 是 否 为 定 值？如 是，请 求 出 此 定 值；如 不 是，请 说 明 理 由./8.(2022 全 国 东 北 师 大 附 中 模 拟 预 测(理)已 知 圆 M 过 点(1,0),且 与 直 线 x=-1相 切.(1)求 圆 心 M 的 轨 迹 C 的 方 程：(2)过 点 尸(2,0)作 直 线 I交 轨 迹 C 于 A、B两 点，点 A 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 A,过 点 尸 作 P。，AB,垂 足 为。，在 平 面 内 是 否 存 在 定 点 E,使 得 庐。|为 定 值.若 存 在，求 出 点 E 的 坐 标：若 不 存 在，请 说 明 理 由.9.(20
14、22山 东 济 宁 一 模)已 知 椭 圆 C:/+=l(a 5 0),/、8 分 别 为 椭 圆 C 的 右 顶 点、上 顶 点，尸 为 椭 圆 C 的 右 焦 点，椭 圆 C 的 离 心 率 为:，A B P的 面 积 为 且.2 2(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；(2)点 尸 为 椭 圆 C 上 的 动 点(不 是 顶 点)，点 P 与 点 M,N 分 别 关 于 原 点 j 轴 对 称，连 接 九 W 与 x 轴 交 于 点 4E,并 延 长 P E 交 椭 圆 C 于 点 Q,则 直 线 M P 的 斜 率 与 直 线 M Q 的 斜 率 之 积 是 否 为 定 值？若 是
15、，求 出 该 定 值；若 不 是，请 说 明 理 由.2 2 r10.（2022广 东 肇 庆 模 拟 预 测）已 知 双 曲 线 C:-a=l（a080）的 离 心 率 是 交，实 轴 长 是 8.a b-2（1）求 双 曲 线 C 的 方 程；（2）过 点 P（）,3）的 直 线/与 双 曲 线 C 的 右 支 交 于 不 同 的 两 点 A 和 B,若 直 线/上 存 在 不 同 于 点 P 的 点 D 满 足 成 立，证 明：点。的 纵 坐 标 为 定 值，并 求 出 该 定 值.II.（2022四 川 凉 山 二 模（文）如 图，耳,6,6 为 椭 圆 上 的 三 点，为 椭 圆 的
16、 上 顶 点，与 关 于 了 轴 对 称,椭 圆 的 左 焦 点 6（7,0）,且 耳 耳+巴 耳+焦 耳=6.（1）求 椭 圆 的 标 准 方 程；（2）过 椭 圆 的 右 焦 点 八 且 与 x 轴 不 重 合 的 直 线 交 桶 圆 于 4 8 两 点，M 为 椭 圆 的 右 顶 点，连 接 分 别 交 直 线 x=4于 P,Q两 点.试 判 断 A。,8 P 的 交 点 是 否 为 定 点？若 是，请 求 出 该 定 点；若 不 是，请 说 明 理 由.2 212.（2022 湖 北 一 模）设 椭 圆 C：-+4=1（0）的 左、右 顶 点 分 别 为 4 B,上 顶 点 为。，点
17、P 是 a-h-椭 圆 C 上 异 于 顶 点 的 动 点，已 知 椭 圆 的 离 心 率 e=且，短 轴 长 为 2.2（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）若 直 线 与 直 线 8 P 交 于 点 直 线。尸 与 x 轴 交 于 点 N,求 证：直 线 恒 过 某 定 点，并 求 出 该 定 点.13.（2022山 东 潍 坊 一 中 模 拟 预 测）己 知 双 曲 线 C：=1（。0/0）的 渐 近 线 方 程 为 y=&，过 双 曲 线 C 的 右 焦 点 F（2,0）的 直 线 4与 双 曲 线 C 分 别 交 于 左、右 两 支 上 的/、8 两 点.（1）求 双 曲 线 C
18、的 方 程；（2）过 原 点 o 作 直 线 4,使 得 4 4,且 与 双 曲 线 c 分 别 交 于 左、右 两 支 上 的 点、N.是 否 存 在 定 值 2,使 5得=若 存 在，请 求 出 兀 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.14.(2022四 川 石 室 中 学 二 模(文)已 知 椭 圆 C:，+营=l(a0,60)的 长 轴 为 双 曲 线 H=l的 实 轴，且 椭 圆 C 过 点 P(2,l).(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；点 4 8 是 椭 圆 C 上 异 于 点 尸 的 两 个 不 同 的 点，直 线 处 与 尸 3 的 斜 率 均 存 在，分 别
19、 记 为 人,，且 求 证：直 线 过 定 点.15.(2022贵 州 黔 东 南 一 模(理)已 知 直 线=3与 曲 线 C:x2+2p)，=0 的 两 个 公 共 点 之 间 的 距 离 为 4#.(1)求。的 方 程.(2)设 尸 为。的 准 线 上 一 点，过 尸 作 C 的 两 条 切 线，切 点 为 4 B,直 线 尸 A P 8 的 斜 率 分 别 为 人，且 直 线 尸 A P B 与 y 轴 分 别 交 于 M,N 两 点，直 线 的 斜 率 为 即.证 明：匕 七 为 定 值，且 配%。,他 成 等 差 数 列.16.(2022河 南 开 封 二 模(文)已 知 抛 物
20、线 C：V=2px(o0)的 焦 点 为 此 S(1,4)为 C 上 一 点，直 线/交 C 于 M,N 两 点(与 点 S 不 重 合).若/过 点 尸 且 倾 斜 角 为 60。，FM=4(M 在 第 一 象 限)，求 C 的 方 程；(2)若 2=2,直 线 SM,S N 分 别 与 y 轴 交 于/,8 两 点，且 0 4。8=8,判 断 直 线/是 否 恒 过 定 点？若 是，求 出 该 定 点；若 否，请 说 明 理 由.17.(2022山 东 烟 台 一 模)已 知 椭 圆 C：/+，=l(a 0)的 离 心 率 为 手，依 次 连 接 C 四 个 顶 点 所 得 菱 形 的 面
21、 积 为 4.(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；(2)若 力(-2,0),直 线/：丫=h+，”与 C 交 于 P,Q 两 点，且 工 尸，/。，试 判 断 直 线/是 否 过 定 点？若 是，求 出 此 定 点 的 坐 标；若 不 是，说 明 理 由.18.(2022宁 夏 六 盘 山 高 级 中 学 一 模(理)已 知 点 M(l,-2)在 抛 物 线 左 了 2=2*(00)上.(1)求 抛 物 线 的 方 程；(2)直 线 4 4 都 过 点(2,0)，4,4 的 斜 率 之 积 为-1，且 分 别 与 抛 物 线 E 相 交 于 点 4 c 和 点 8,。，设/是 AC的 中
22、 点，N 是 比)的 中 点，求 证：直 线 M N 恒 过 定 点.619.(2022四 川 师 范 大 学 附 属 中 学 二 模(文)已 知 一 动 圆。与 圆 A/：(x+l j+y2=l 外 切，同 时 与 圆 N：(x-l)2+丁=2 5内 切，圆 心。的 轨 迹 为 曲 线 C.(1)求 曲 线 C 的 方 程；(2)过 曲 线 C 上 点 尸 作 该 曲 线 的 一 条 切 线/与 直 线 x=l 相 交 于 点 4 与 直 线 x=9 相 交 于 点 8,证 明 尸 N L N 8AN并 判 断 而 是 否 为 定 值？若 是，求 出 该 值；若 不 是，请 说 明 理 由.
23、20.(2022内 蒙 古 赤 峰 三 模(文)己 知 抛 物 线 C:y 2=2 p x(p 0)的 准 线 经 过 点 川-1,2夜)，过 点。(0,1)的 直 线/与 抛 物 线 C 有 两 个 不 同 的 交 点 A 8,点(其 中?0)在 抛 物 线 C上，且 直 线 PA交 y 轴 于“，直 线 PB交 y 轴 于 N.(1)求 直 线/斜 率 的 取 值 范 围；(2)设。为 原 点，若 Q M=4Q O,Q N=Q。，求 证：+,为 定 值.x2 y221.(2022湖 北 一 模)已 知 椭 圆 C：/+方=1(ab0)经 过 点/(0,1),且 右 焦 点 为 斤(1,0)
24、.(1)求 C 的 标 准 方 程；(2)过 点(0,1)的 直 线/与 椭 圆 C 交 于 两 个 不 同 的 点 尸.。，直 线 4 P 与 x 轴 交 于 点 直 线 Z 0 与 x 轴 交 于 点 M证 明：以 M N为 直 径 的 圆 过 y 轴 上 的 定 点.7微 专 题 1 9 圆 锥 曲 线 经 典 难 题 之 一 类 定 点、定 值 问 题 的 通 性 通 法 研 究 秒 杀 总 结 1.直 线 与 圆 锥 曲 线 综 合 应 用 中 的 直 线 过 定 点 问 题 的 求 解，求 解 此 类 问 题 的 基 本 思 路 如 下：假 设 直 线 方 程，与 抛 物 线 方
25、程 联 立，整 理 为 关 于 X 或 的 一 元 二 次 方 程 的 形 式；利 用 A o 求 得 变 量 的 取 值 范 围，得 到 韦 达 定 理 的 形 式；利 用 韦 达 定 理 表 示 出 已 知 中 的 等 量 关 系，代 入 韦 达 定 理 可 整 理 得 到 变 量 间 的 关 系，从 而 化 简 直 线 方 程；根 据 直 线 过 定 点 的 求 解 方 法 可 求 得 结 果.2.定 比 点 差 法 3.非 对 称 韦 达 与 对 称 韦 达 4.先 猜 后 证 5.硬 解 坐 标 典 型 例 题 2 o例 1.(2022江 西 赣 州 一 模(文)己 知 椭 圆 C：
26、*+专=1(。0)的 左、右 焦 点 分 别 为 J 尸?，点 尸 在 椭 圆 C 上，满 足 归 耳|+归 周=4,且 得 面 积 的 最 大 值 为 2.求 椭 圆 C 的 方 程；点 点/,8 在 椭 圆 C 上，点 N 在 直 线/：x-2y+4=0,满 足 也 4=加，NB=iBM,试 问 是 否 为 定 值？若 是，求 出 该 定 值，若 不 是，请 说 明 理 由.【答 案】三+汇=14 2(2)定 值 为 0,理 由 见 解 析.【解 析】【分 析】由 怛 4+处 用=4,得 到=2,根 据 巴 但 面 积 的 最 大 值 为 2,得 到 庆=2,结 合/=/-凡 求 得=2,
27、即 可 求 得 椭 圆 的 方 程；(2)设 过 点 的 直 线 为、=丘+左+1,联 立 方 程 组 得 到 为+工 2，%，再 联 立 两 直 线，求 得 4，=3 三，根 据 M4=/L4M，NB=BM,求 得 力=百 卢,=与 马，进 而 结 合 韦 达 定 理，化 简 得 到 2+=0,即 可 1 1 x2得 到 结 论.(1)解：由 椭 圆 C：+=l(ab0)的 左、右 焦 点 分 别 为 小 K，点 户 在 椭 圆 c 上，因 为 归 用+|P用=4,可 得 2a=4,即 a=2,1又 由 面 积 的 最 大 值 为 2,可 得 gx2cxb=2,即 秘=2,因 为 任?=/（
28、4-从）=-/*+4/=4,即/一 劭 2+4=0,解 得 从=2,2 2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 三+二=1.4 2 解：由 M1=Z4用，N B B M,可 得 点 A,B,M,N四 点 共 线，如 图 所 示,设 过 点 的 直 线 方 程 为 y-l=k(x+l),即 尸 丘+Z+1,y=kx-k+1联 立 方 程 组 f 2,整 理 得(2氏 2+1)/+4(&2+6+(2氏 2+4女-2)=0,+=1I 4 2、九(or x mi _4(K+k)2k+4k 2设 A(x”凶),B(x2,y2),则 西+=工 厂，&2=m,2公+1 2 K+1联 立 方 程 组 y=kx+
29、k+x-2y+4=0可 得 x=2k-2-2k2k-2-2k因 为=NB=BMX f-4 j=T f所 以 4+=,9 XN _(X/v-1)(玉+工 2)2%工 2+2%NT-(3+l)(x2+1)则(x,v-l)(x,+)-2 中 2+2 4=(胃 C)-22&2+4&-2 _ 2k-2-5-+2-2k2+1-2%-4(/+k)(4k-3)-(422+8k-4)(1-2k)+4 伏-1)(2/+1)(1-24)(2&2+1)-1623-4公+12女+8女 3+12女 2-16%+4+8/-8%2+4%-4(1-2 外(2 一+1)所 以 2+为 定 值 0.,即 A=-1 内 一 1 一%
30、用 得 a 二 X2 1例 2.（2022北 京 一 模）已 知 椭 圆 C:二+=1（0）的 下 顶 点 A 和 右 顶 点 8 都 在 直 线 2）上.b 22(1)求 椭 圆 方 程 及 其 离 心 率；(2)不 经 过 点 B 的 直 线 4：y=履+交 椭 圆 C 于 两 点 P,Q,过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 4于 点。，点 P 关 于 点。的 对 称 点 为 E.若 E,&Q三 点 共 线，求 证：直 线 4 经 过 定 点.【答 案】(D+y2=l,离 心 率 为 4 2(2)证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】(1)求 出 顶 点 坐 标 后 可 求 椭 圆
31、的 方 程 和 离 心 率；(2)设。(不,),。(,力)，则 可 用 此 两 点 坐 标 表 示 E,根 据 三 点 共 线 可 得 y2+x2yi=2(yt+y2)+xlx2-2(x,+x2)+4,利 用 点 在 直 线 可 得(2人-1)%+(?-2%+2)(%+x2)-4w-4=0,再 联 立 直 线 方 程 和 桶 圆 方 程，消 元 后 利 用 韦 达 定 理 可 得 定 点.(1)因 为 下 顶 点 A 和 右 顶 点 B 都 在 直 线 4：y=；(x-2)上，故 4(01),5(2,0),故 椭 圆 方 程 为：+/=1.4其 离 心 率 为 e=亚 m=2 2 设 户(为,
32、%),。仁,%),则 x产 2,毛*2.则。-2),故 可 不 再 一 y-2),因 为 E,B,Q三 点 共 线，故-二 4=”2,整 理 得 到：X2-2 Xj-2%+W Y=2（y+%）+%-2（X1+X2）+4,即（2%-1）中 2+（利-2k+2）（玉+x2）-4m-4=0.由,X2 2 74+）一 可 得（1+4女 2）*2+8 灯%工+4/-4 二 0,y=kx-m故=16（4/+1-叫 0 且 3+%=-|*，中 2=普 7故（2 J）需-（机-2+2）y!一 4 L 4=,整 理 得 到:（m+2攵）（加+2k+l）=0,3 m=-2k,l2-.y=kx-2k,故 过 8,与
33、 题 设 矛 盾；若 加=-2 1,则 4：y=H-2”l,故 4 过 定 点(2,-1).2 2 6例 3.(2022江 西 九 江 二 模)已 知 椭 圆:*+专 虫 心 小)的 离 心 率 为 5，P 为 椭 圆 E 上 一 点，。为 圆 f+y2=上 一 点，|PQ|的 最 大 值 为 3(P,。异 于 椭 圆 E 的 上 下 顶 点).求 椭 圆 E 的 方 程；(2/为 椭 圆 E 的 下 顶 点，直 线“尸，“。的 斜 率 分 别 记 为 4，%,且 刈=4仁，求 证：直 线 P。过 定 点，并 求 出 此 定 点 的 坐 标.【答 案】(1)三+丁=14(2)证 明 见 解 析
34、，定 点(0,1)【解 析】【分 析】(1)由 俨。|的 最 大 值 为 3,得 到 a+6=3,结 合 离 心 率 列 出 a,c的 方 程 组，求 得 的 值，即 可 求 得 椭 圆 E 的 方 程；(2)由(1)得 到 40,-1),求 得 直 线 AP:y+l=5，AQ-.y+=4ktx,分 别 与 椭 圆 联 立 方 程 组，求 得(X*(xk I Q?1P 什 和 Q 7 7 T 4?房，利 用 斜 率 公 式 求 得 即。=一 7 7，求 得 直 线 PQ的 方 程，即 可 求(4 婷+1 4+1)(16 垢+1 16+1)4kl解.(1)解：由 椭 圆 E 的 离 心 率 为
35、走，可 得=,又 由 归。|的 最 大 值 为 3,可 得 a+8=3,2 a 2。+6=3可 得 二*,解 得 a=2,b=l,c=6，a 2a=b c所 以 椭 圆 E 的 方 程 为 三+)，2=1.4 4解：由（1）可 得 点 A 的 坐 标 为（0,-1）因 为 直 线 A R A Q 的 斜 率 分 别 记 为 占，k2,且&=4勺，可 得 直 线 AP的 方 程 为 y+1=,直 线 A Q 的 方 程 为 y+1=k2x=4ktx,尸 幻-1 弘 联 立 方 程 组 f,整 理 得（4户+1口 2-8幻：=0,解 得 X=0或 X=M X，+y-=1 4 勺+114 将 代 入
36、 4 1_.8 左 4 攵 1 8kl 4 攵 1 1可 得 y=k,皆 1=T，即 夕（4，T-），/4 6+1 4 奸+1 4妇+1 4 6+1y=4k,x-,、8fc联 立 方 程 组 L,整 理 得（回+心 如 町 解 得、=或 X=H,出 监 八、，一 16公-1 13rl 8匕 16尢 2-1将、二 项 节 代 入=秋 1，可 得 y=菽、即 Q（布 布，以 R），16后-1 4 后 1_ 16奸+1 _ 4 6+1 _（16好-1）（4片+1）-（166+1）（4形-1）川”-g 跖 8K（-1 2硝 1 6 4+1 4好+124 _ _ _ 1_一%x（-1 2片）-4k J4
37、*2-1 1（A所 以 直 线 P。的 方 程 为 y-疗 7=-二 7 x-,4垢+1 4 K l 4垢+1）a n1 2 4-1 1 4左 1,-4k,做 2+1 4婷+1 4k,4K2+1 4kl此 时 直 线 过 定 点（0,1）,即 直 线 PQ恒 过 定 点（0,1）.例 4.（2022 全 国 模 拟 预 测（文）已 知 双 曲 线:=1（a 0,b 0）的 左、右 顶 点 分 别 为 A（T，）、4（1,0）,离 心 率 为 2,过 点 尸（2,0）斜 率 不 为 0 的 直 线/与 交 于 P、两 点.（1）求 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程；（2）记 直 线 A P、4
38、。的 斜 率 分 别 为 勺、h，求 证：3 为 定 值.*2【答 案】y=K x；（2）证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）由 双 曲 线 的 顶 点 坐 标、离 心 率，结 合 双 曲 线 参 数 的 关 系 求 a、b,进 而 写 出 双 曲 线 方 程，即 可 得 渐 近 线 方 程.5(2)讨 论/的 斜 率：当&不 存 在 求 尸、。的 坐 标，进 而 可 得?=-；当 匕 存 在，设 P(XQJ,。(%)，I为 y=k(x-2),并 联 立 双 曲 线 方 程，应 用 韦 达 定 理 及 斜 率 的 两 点 式 求 证 理+后=0是 否 成 立 即 可.(1)设 双 曲
39、 线 的 半 焦 距 为 C,由 题 设，a=e=?=2,从=02-=3双 曲 线 的 方 程 为 丁-?=1，故 渐 近 线 方 程 为 y=土 币 x.当/的 斜 率 不 存 在 时，点 尸、。的 坐 标 分 别 为(2,3)和(2,-3),k、1所 以，当 匕=1时 有 他=-3；当 匕=-1时 有 网=3,此 时 7k=一 大 当/的 斜 率/存 在 时，设 P(XQ3。(孙 必)，/为 y=Mx-2),将 直 线/代 入 双 曲 线 方 程 得 仅 2-3)f 一 4人+4二+3=0,4k2所 以 总，止+32 X,Xk2 2=-3Z-or._ 3y y2 _-2）k（x2-2）（3
40、（$2）（%-1）+（内+1）（/-2）十 K,_ I _ I=-TT-“1+1/T X+1 工 2-1+1）（X2-1）攵（3（玉 元 2-%一 2+2）+（X（X2-2%+X2-2）k（4xx2-5缶+x2）+4）（阳+1）（-1）（%+1乂-1）中 心,、4（4 r+3）-2 0/+4 伴-3）因 为 4中 2-5（玉+入 2）+4=-2-k 3k,1所 以 3%+&=0,ER=k2 3综 上，筌 为 定 值，得 证.K2例 5.(2022 陕 西 咸 阳 二 模(理)已 知 抛 物 线 C：y2=2px(p 0),过 焦 点 F 作 x 轴 的 垂 线 与 抛 物 线 C相 交 于 M
41、、N 两 点，SAMON=2.(1)求 抛 物 线 C 的 标 准 方 程；(2)点”是 抛 物 线 C 上 异 于 点。的 一 点，连 接 4。交 抛 物 线 的 准 线 于 点。，过 点。作 x 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 点 8,求 证：直 线 Z 8 恒 过 定 点.【答 案】V=4 x(2)证 明 见 解 析【解 析】6【分 析】(1)利 用 XM=X.=X F=；P 求 出 加，后，即 可 把 S MON表 示 成 关 于。的 函 数，结 合 4 优.=2解 方 程，即 可 求 出 结 果./2(2(2)设 A,B y,y2,分 别 表 示 出 04，0。的 坐 标，即
42、 可 利 用 A,0,。三 点 共 线 求 出 弘 必 的 值，再 设 直 线 A8方 程 为 x=，町，+c,联 立 抛 物 线 方 程 即 可 求 解 得 到 其 乃=4,，最 后 求 出 c的 值，即 可 判 断 直 线 AB所 过 的 定 点.(1)所 以 工。的=3 初 升|0川=；-20一=2,解 得：p=2,从 而 抛 物 线 C 的 方 程 为 y2=4x.则 D(-1，M)，7则。A=e，yJ,0=（-1,%），由 A,O,O 三 点 共 线，有：于 必=f，即 乂%=-4，由 题 知，直 线 A B 不 与 x轴 平 行，设 其 方 程 为 了=缈+。，x=my+c联 立
43、得：.得：y2-4my-4c=0,从 而 其 必 二，y-=4x则 T C=T,则 C=1,从 而 直 线 4?方 程 为 1=冲+1,恒 过 点（1,0）.例 6.（2022 广 西 柳 州 三 模（理）已 知 点 4（2,6）,点 网-2,-石），点 M 与 y 轴 的 距 离 记 为 d,且 点 加 满 足：MA-MB=-,记 点 M 的 轨 迹 为 曲 线 也 4 求 曲 线 的 方 程；（2）设 点 P 为 x 轴 上 除 原 点。外 的 一 点，过 点 P 作 直 线 4，4,4交 曲 线 少 于 点 C,D,4 交 曲 线 少 于 点 E,F,G,H 分 别 为 CD,E F 的
44、 中 点，过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 G77于 点 M 设 CO,EF,O N 的 斜 率 分 别 为 占，自，&的，求 证：%依+&）为 定 值.【答 案】（1）+=1O O 证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）设 M（x,y）,则 4=|x|,根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 化 简 计 算 即 可;设 尸 伉,0）和 直 线 G 的 方 程，进 而 求 出 点 G 的 坐 标，设。（土,北）、。区,）,利 用 点 差 法 和 弦 中 点 坐 标 公 式 计 算 化 简 可 得 4的/+M&；+3/勺+3m=0,同 理 可 得 4（kx0+，）k；
45、+3/&2+3m=0根 据 韦 达 定 理 可 得 左+&=-4化；+，代 入 上 依+&）计 算 化 简 即 可.（1）设 M（x,y）,由 题 意 得 1=|尤|,MA=（2-x-y）,M B=（-2-x,-3-y）2由=1,4J（2 一 一 y）（一 2 一 x,一 6 一）=+-1丫 2A x2-4+y2-3=-1.4-二 6,8即 的 轨 迹 方 程 为 5+?=1;O O 显 然 G”斜 率 存 在，设 尸（x,0）,设 G”的 方 程 为：y=k4x+m由 题 意 知 C D 的 方 程 为：y=K（x-x0）联 立 方 程 y=k4x+mx=k+jn解 得：/W/n）-k k.
46、可 得.G（K%+匕 的+间 设 C（x yc），。（玄，切），C,。都 在 曲 线 少 上，2）则 有 工 1+”=1 8 62 1二+2=1 8 60 2 2 2-得：=08 6则 有：匕=三 至=%产 xc-xD 4 yc+yn又 G 为 中 点，贝 监：-W=可 得：4（攵 4入 0+6）%；+3x（#i+3/71=0同 理 可 得：4（&Xo+，%）片+3%#2+3m=。故 占，k2为 关 于 k 的 方 程 4亿/+加）/+3/Z+3 m=0 的 两 实 根 由 韦 达 定 理 得：K+八 一 鹏 而,将 X=/代 入 直 线 G 中 得：y=&4改）+m可 得：N（%,&/（）+
47、,）故 有：&=也 坐 玉）贝 同 小）七 3%4(Z:4x0+m)349a故 公 依+&）为 定 值 例 7.（2022山 西 太 原 一 模（文）已 知 抛 物 线 V=2 p x的 焦 点 为 尸，点。为 坐 标 原 点，一 条 直 线 过 定 点 加（4,0）与 抛 物 线 相 交 于 A、8 两 点，且 OA_LOB.（1）求 抛 物 线 方 程；（2）连 接 A尸，B尸 并 延 长 交 抛 物 线 于 C、D两 点,求 证：直 线 8 过 定 点.【答 案】、=4x（2）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）设 直 线 A 8的 方 程 为 了=帆+4,A（x“y J,B（x
48、2,y2）,联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程，消 元、列 出 韦 达 定 理，由 O A _ L O 8,可 得 自 小 加=-1,即 可 得 到 不 赴+乂%=0,代 入 解 得 人 即 可 得 解；（2）设 点 A,B,C,力 的 纵 坐 标 依 次 为%,%，%，镰，设 直 线 河 的 方 程 为=政+1，联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程，消 元、列 出 韦 达 定 理，即 可 得 至 州 同 理 可 得%M=-4,即 可 得 至！1%丫 4=-1，再 设 直 线 C方 程 为 x=6+，联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程，利 用 韦 达 定 理，求 出 心 即 可 得
49、到 直 线 过 定 点 坐 标;（1）解：设 直 线 AB的 方 程 为=缈+4,它 与 抛 物 线 的 两 个 交 点 为 A（x”），J 和 8（占,必）,联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 二 二 消 去，得:y2-2 p m y-8 p=0,%+%=2P m，乂%=%，O A OB,：kOAkOH=-1,即+y%=0，+y）,2=0,1 6-8 p=O,；.p=2,4p-所 以 抛 物 线 方 程 为 V=4 x.解：设 点 A,B,C,。的 纵 坐 标 依 次 为%,%，为，乂，设 直 线 A F的 方 程 为=行+1,10联 立 方 程+消 去 x得：/4 4=0,y=4x3,
50、1=-4,同 理 丫 4=一 4,由(1)中 可 知：历=-16,.,x=ky+t c 1设 直 线 C。方 程 为 1=外+入 联 立 方 程.，消 去 x得：/_ 4 妗，-4，=0,则 有”=-4，=T，即，=:，y=4x 4因 此 直 线 c o 过 点 t，o).过 关 测 试 1.(2022 陕 西 陕 西 一 模(理)已 知 抛 物 线 丁=皿。0),过 点 M(0,?作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线/小，设 4 4分 别 与 抛 物 线 相 交 于 A 8及 C,D两 点，当 A点 的 横 坐 标 为 2时，抛 物 线 在 点 A处 的 切 线 斜 率 为 1.(1)求