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1、1圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题目录目录题型1 圆锥曲线中的定值问题题型2 圆锥曲线中的定点问题题型3 圆锥曲线中的定直线问题题型1 圆锥曲线中的定值问题题型2 圆锥曲线中的定点问题题型3 圆锥曲线中的定直线问题题型归纳题型归纳【题型1 1圆锥曲线中的定值问题】1(2023江西高三南昌第三中学校考阶段练习)设x，yR，向量 i，j分别为平面直角坐标内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量a=x+3i+yj，b=x-3i+yj，且 a+b=4.(1)求点M x,y的轨迹C的方程；(2)设椭圆E：x216+y24=1，曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：OAB的面积为定值.2(2
2、023全国模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，其离心率为32，直线y=12被椭圆截得的弦长为2 3(1)求椭圆C的标准方程(2)圆x2+y2=45的切线交椭圆C于A，B两点，切点为N，求证：AN NB 是定值2024届高考数学专项圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题大题分类精练23(2023内蒙古高三校联考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0，离心率e=12，过点1,32.(1)求C的方程；(2)直线l过点M 0,1，交椭圆于A、B两点，记N 0,3，并设直线NA、直线NB的斜率分别为kNA、kNB，证明：kNA+kNB=0.4(2023辽宁大连高三大连市金州
3、高级中学校考期中)已知抛物线C1的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过-1,1，1,2，2,-2，-1,-2四点中的两点.(1)求抛物线C1的方程；(2)若直线l与抛物线C1交于M,N两点，与抛物线C2：y2=4x交于P,Q两点，M,P在第一象限，N,Q在第四象限，且NQMP=2，求PQMN的值.35(2023河北保定统考二模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P 2,2，(1)求椭圆C的方程；(2)若A,B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA,PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值6(2023上海高三上海市进才中学校考期中)双
4、曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为3，圆O:x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，点T2,2在双曲线C上(1)求双曲线C的方程；(2)过点T作圆O的切线交双曲线C于两点M、N，试求MN的长度；(3)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断 PM PN是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由47(2023全国模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个顶点为A 2,0，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，AE的斜率之积为14(1)求C的标准方程(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于
5、点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得 GMGN为定值【题型2 2圆锥曲线中的定点问题】8(2023湖南校联考模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的长轴长为2 6，且其离心率小于22，P为椭圆C上一点，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，F1PF2的面积的最大值为2 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)A为椭圆C的上顶点，过点D 0,-1且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线l1为过点D且与AM平行的直线，设l1与直线y=-52的交点为Q.证明：直线QN过定点.59(2023云南大理统考一模)已知双曲线：x2a2-y2b2=1 a0,b0，其渐近线方程为x2y=0，点
6、2 2,1在上.(1)求双曲线的方程；(2)过点A 2,0的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点(不与点A重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.10(2023江西南昌高三江西师大附中校考期中)在平面直角坐标系XOY中，已知两定点P(1，1)、Q(1，4)，点R满足OR=13OQ+23OP 且在焦点在x轴正半轴的抛物线E上.过Q作一斜率存在的直线交E于A、B两点，连接BP交抛物线E于点C.(1)求抛物线E的标准方程;(2)判断直线AC是否恒过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由.611(2023广东惠州高三校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐
7、标轴为对称轴的抛物线C经过点 2,4.(1)求C的方程；(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点 4,2且与x轴不垂直的直线l交C于M，N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB过定点.12(2023福建泉州统考模拟预测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆O:x2+y2=2与x轴正半轴的交点为P，且PA PB=-1.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.713(2023云南昆明昆明一中校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左右焦点分别为
8、F1，F2，左顶点的坐标为-2,0，离心率为72.(1)求双曲线C的方程；(2)A1,A2分别是双曲线的左右顶点，T是双曲线C上异于A1，A2的一个动点，直线TA1,TA2分别于直线x=1交于Q1,Q2两点，问以Q1,Q2为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.14(2023江西九江统考一模)已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MNy轴，垂足为N，且PMPN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=-2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.8【题型3 3圆
9、锥曲线中的定直线问题】15(2023四川成都校联考二模)已知A1-3,0和A23,0是椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点，直线l与椭圆相交于M，N两点，直线l不经过坐标原点O，且不与坐标轴平行，直线A1M与直线A2M的斜率之积为-59(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为S，直线A1S与直线A2N相交于点P，直线PO与直线l相交于点Q，证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程16(2023江苏常州校考一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的短轴长为2 2，离心率为22(1)求椭圆C的方程；(2)过点P 4,1的动直线l与椭圆C相交于不同的
10、A,B两点，在线段AB上取点Q，满足 AP QB=AQ PB，证明：点Q总在某定直线上917(2023广东广州高三统考阶段练习)已知在平面直角坐标系中，动点Q x,y到F 3,0的距离与它到直线x=53的距离之比为3 55，Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点P53,1作直线l与曲线C交于不同的两点M、N(M、N在y轴右侧)，在线段MN上取异于点M、N的点H，且满足MPPN=MHHN，证明：点H恒在一条直线上.18(2023全国高三专题练习)已知双曲线E：x2a2-y24=1 a0的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3 55.(1)求实数a的值.(2)若点P坐标为
11、 0,4，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足PMPN=MHHN.证明：点H恒在一条定直线上.1019(2023吉林长春统考一模)过抛物线E:y2=2px(p0)焦点F，斜率为-1的直线l与抛物线交于A、B两点，|AB|=8(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l，交抛物线E于C、D两点，直线AC与BD的交点是否在一条直线上若是，求出该直线的方程；否则，说明理由20(2023全国模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线M:y=mx2的焦点F与椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的一个顶点重合，抛物线M经过点Q 1,14，点P是椭圆C上任意一点，椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2，且F1PF2的最大值为23(1)求椭圆C和抛物线M的标准方程；(2)过抛物线M上在第一象限内的一点N作抛物线M的切线，交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为G，过点N作垂直于x轴的直线，与直线OG交于点E，求证：点E在定直线上