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1、第三章 圆锥曲线的方程 检测练习_一、单选题1已知双曲线：（，）的一条渐近线与直线的夹角为60，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为，则双曲线的标准方程为（）ABCD2已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为()ABCD3已知双曲线过点，渐近线为，则双曲线的方程为（）ABCD4椭圆与的（）A长轴的长相等B短轴的长相等C离心率相等D焦距相等5青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则
2、筷子的中点离桌面的距离为（）ABCD6三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题如图，在圆D中，为其一条弦，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T设双曲线T与弧的交点为E，则若T的方程为，则圆D的半径为（）AB1C2D7椭圆的焦距为2c，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）ABCD8已知双曲线1（a0，b0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF，则该双曲线离心率e的值为（）A2BC2D二、多选题9设若，则（）ABCD10已知双曲线的左、右焦点分别为，那么下
3、列说法中正确的有（）A若点在双曲线上，则B双曲线的焦点均在以为直径的圆上C双曲线上存在点，使得D双曲线上有8个点，使得是直角三角形11已知为双曲线上一点，令，下列为定值的是（）ABCD12已知是椭圆的两个焦点，点在上，则（）A的周长为6B的面积为C内切圆的半径为D三、填空题13设为椭圆：和双曲线：的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则 .14能说明“若，则方程表示的曲线为焦点在y轴上且渐近线方程为的双曲线”的一组m，n的值是 .15已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则 .16双曲线的焦距是 .四、解答题17为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点(1)求的值及的准线方
4、程；(2)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由18经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点(1)若直线的斜率是，求的值；(2)若是坐标原点，求的值19在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到的距离比它到直线的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线与曲线C交于A，B两点，记直线QA，QB的斜率分别为，求证：为定值.20已知，是曲线上任意一点，动点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线交于，两点，过原点与点的直线交直线于点，求证：.21如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的
5、距离比到B的距离远2 km现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用22已知双曲线的右焦点为，实轴长为.(1)求双曲线的标准方程;(2)过点 ，且斜率不为0的直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为，求直线的方程.参考答案：1A【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，根据题设有，即可求参数a、b，进而写出双曲线方程.【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为，而一条渐近线与直线的夹角为60，一条渐近线与轴的夹角为30，即，双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，即，而，即双曲线的标准方程
6、为.故选：A.2C【详解】.3D【分析】首先利用双曲线共渐近线方程为再代入点，求双曲线方程.【详解】由已知设双曲线的方程为将代入得，故双曲线方程为故选：D4D【分析】分别求出两个椭圆的长轴长，短轴长，焦距和离心率即可得到答案【详解】椭圆的焦点在上，则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的焦点在上，则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，所以两椭圆的焦距相等故选：D5B【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为，碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的
7、方程为，设，过中点作轴，由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.故选：B.6C【分析】由题设写出双曲线的方程,对比系数,求出即可获解【详解】由题知所以双曲线的方程为又由题设的方程为,所以,即设AB的中点为,则由.所以,即圆的半径为2故选：C7D【分析】由题可知交点的坐标为，代入椭圆方程可得，再由离心率公式可求得答案.【详解】解：由题可知交点的坐标为，代入椭圆方程可得，即，解得（舍去），离心率，故选：D.8B【分析】设左焦点为，根据对称性判断出四边形为矩形，根据，结合双曲线的定义，求得，由此求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为，画出图像如下图所示，由于直线过原点，故关于原
8、点对称，关于原点对称，由于，所以四边形为矩形，对角线相互平分.由于，故，故可设，根据双曲线的定义可知.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的对称性，考查双曲线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9BCD【分析】根据方程表示的曲线或函数的单调性可得正确的选项。【详解】根据题意，于是该方程对应的图象是双曲线的一部分，如图因此的取值位于双曲线在点O处的切线斜率和双曲线的渐近线斜率之间考虑到双曲线在点O处的切线方程，其斜率为因此备注 因为本题选项特殊，也可以直接通过放缩得到，因为，而在上单调道增，所以10BD【分析】对于A，举例判断即可，对于B，设和的半焦距分别为，
9、再由双曲线的性质可得，再由以为直径的圆的方程可得结论，对于C，结合双曲线的定义求解判断，对于D，以为直径的圆与双曲线有4个交点，过、分别作轴的垂线，与双曲线有4个交点，从而可得结论【详解】对于A，若为双曲线的一个顶点，如，则，故A错误；对于B，设曲线的半焦距为，则，双曲线的半焦距为，则，双曲线的焦点坐标为，以为直径的圆的方程为，点，适合上式，故B正确；对于C，若双曲线上存在点，使得，由，两式联立可得或，故C错误；对于D，以为直径的圆与双曲线有4个交点，过、分别作轴的垂线，与双曲线有4个交点，可得双曲线上有8个点，使得是直角三角形，故D正确故选：BD11AC【分析】设第二象限点，由题设得且，进而
10、可判断各选项是否为定值.【详解】不妨设在第二象限，可得，即，而，为定值，A正确；由倍角正切公式及，可得，不为定值，B排除；，而，故为定值，C正确；由C知：不为定值， D排除；故选：AC.12BC【分析】根据焦点三角形的性质，即可求解AC,即可结合余弦定理，以及面积公式即可求解BD.【详解】由可得，A选项：周长为，所以A错误；B选项：由余弦定理可得，故所以，所以B正确；C选项：，所以，所以C正确；D选项：，所以，所以，所以，所以D错误.故选：BC13/【分析】先求出F点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点坐标，运用两点距离公式即可.【详解】对于椭圆M， ；联立方程 ，解得 ，因为在第一象限，
11、，；故答案为： .14（答案不唯一）【分析】依题意设双曲线的方程为，即可得到、，再取特殊值即可；【详解】解：设焦点在y轴上且渐近线方程为的双曲线的方程为，即，所以，不妨令，所以；故答案为：（答案不唯一）151【分析】根据双曲线的渐近线方程建立方程可得答案.【详解】解：双曲线的焦点在x轴上，即.双曲线的两条渐近线互相垂直，即，解得（负值舍去）.故答案为：1.1610【分析】根据双曲线方程求解出的值，即可求解出焦距.【详解】因为，所以，所以焦距为，故答案为：.17(1)(2)是定值；【分析】（1）将点代入抛物线方程求的值，利用抛物线方程求准线方程；（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理
12、，直线与对称可知，直线与斜率互为相反数，可证明直线AB斜率为定值.【详解】（1）根据题意可得，得，故所求抛物线方程为，抛物线的准线方程为（2）由题意不妨设直线的方程为，联立抛物线方程可得，消去得：，由韦达定理得，直线与关于对称，且，即，即，由韦达定理得，所以直线的斜率为定值18(1)(2)【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解；（2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解；【详解】（1）抛物的焦点是，直线方程是，与，联立得：，解得，所以（2）当垂直于轴时，当不垂直于轴时，设，代入得，所以，从而故，综上19(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线的定义即可求得答案；（2）设直线A
13、B的方程为斜截式，进而代入曲线C的方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.【详解】（1）由题意，点P到的距离等于它到直线的距离，点P的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，动点P的轨迹C的方程为.（2）显然，直线AB的斜率存在，设其方程为，由得，故为定值2.20（1）；（2）详见解析.【分析】（1）设，由推出代入方程即可求解点的轨迹的方程；（2）直线的斜率存在，其方程可设为，设，联立，利用韦达定理，转化求解斜率，推出结果即可【详解】解：（1）设，由得：，则，即，因为点B为曲线上任意一点，故，代入得.所以点的轨迹的方程是（2）依题意得，直线的斜率存在，其方程可设为，设，联立得，所以，.因为直
14、线的方程为，且是直线与直线的交点，所以的坐标为.根据抛物线的定义等于点到准线的距离，由于在准线上，所以要证明，只需证明垂直准线，即证轴因为的纵坐标.所以轴成立，所以成立【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求解等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养21万元【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据可求解.【详解】如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，连接AM，AC因为，所以点M的轨迹是双曲线的右支因为，当M，A，C三点共线时等号成立，又总费用为万元，所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元22(1)(2)或【分析】（1）焦点坐标和实轴长得到，再结合得到，即可得到双曲线方程；（2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，根据点到直线的距离公式得到点到直线的距离，然后利用三角形面积公式列方程，解方程即可.【详解】（1）由题意得，则，所以双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为，联立得，令，解得且，则，设点到直线的距离为，则，所以，解得或0（舍去），即，所以直线的方程为或.学科网（北京）股份有限公司