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1、直线的方程直线的方程1.直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则_就是这条直线的方向向量.2.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_与直线l_的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角的取值范围为_.x轴正向向上01803.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k_(90).(2)过两点的直线的斜率公式正切值tan 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，其斜率k_.4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_不含直线xx0斜截式_不含垂直于x轴的直线两点式 _不含
2、直线xx1 和直线yy1截距式_不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_平面直角坐标系内的直线都适用yy0k(xx0)ykxbAxByC0(A2B20)1.直线的斜率k与倾斜角之间的关系009090900不存在k0牢记口诀：“斜率变化分两段，90是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.直线AxByC0(A2B20)的一个方向向量a(B，A).判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)直线的斜率越大，倾斜
3、角就越大.()(3)若直线的倾斜角为，则斜率为tan.()(4)直线ykx2恒过定点(0，2).()A.30 B.60 C.120 D.15060.2.已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90，则直线l的方程为A.xy1 B.xy1C.y1 D.x1因为直线l的倾斜角为90，所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，所以直线l的方程为x1.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_.3x2y0或xy5当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，0解得a5.所以直线方程为xy50.题型一直线的倾斜角与斜率思维升华跟踪训练1(1)若经过点P(1a,1a)和Q(
4、3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是_.(，2)(1，)(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_，_.3如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为，则tan 2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为45，直线OC的倾斜角为45，例2求符合下列条件的直线方程：题型二求直线的方程(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为ykx，又直线过点(2,1)，综上，所求直线方程为x2y0或x2y40.(3)直线过点(5,10
5、)，且原点到该直线的距离为5.当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x50，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy105k0.所求直线方程为3x4y250.综上，所求直线方程为x50或3x4y250.求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.跟踪训练2(1)已知ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为A.2xy120 B.2xy120C.2xy80
6、 D.2xy80(2)已知直线l的一个方向向量为n(2,3)，若l过点A(4,3)，则直线l的方程为方法一因为直线l的一个方向向量为n(2,3)，因为直线l的一个方向向量为n(2,3)，所以3(x4)2(y3)0，例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，求直线l的方程.题型三直线方程的综合应用方法一设直线l的方程为y1k(x2)(k0，b0，因为直线l过点M(2,1)，即x2y40.延伸探究1.在本例条件下，当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程.2.本例中，当|MA|MB|取得最小值时，求直线l的方程.即k1时取等号
7、.此时直线l的方程为xy30.(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.跟踪训练3(1)直线l的方程为(a1)xy3a0(aR)，直线l过定点_，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是_.直线l：(a1)xy3a0可化为a(x1)xy30，直线l过定点(1，4)，直线l可化为y(a1)xa3，又直线l不经过第三象限，(1，4)3，)(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为 坐 标 原 点.当|MA|2|MB|2取 得 最 小 值 时，则 直 线 l的 方 程 为_.xy20