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1、4.2.1 等差数列的概念 第2课时等差数列的性质人教人教A A版（版（20192019）选择性必修第二册选择性必修第二册复习回顾复习回顾1.定义定义:如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项项起，每一项与它的前一项的的差差等于等于同一个常数同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个数列就叫做等差数列。2.通项公式通项公式:an=a1+(n-1)d 4.图象图象:直线上均匀排开的直线上均匀排开的一群一群离散离散的的点点.3.等差中项：等差中项：a,A,b成等差数列成等差数列 2A=a+b.an为等差数列为等差数列 5.等差数列的判断等差数列的判断an-an-1=d(n2)或或a
2、n+1-an=d(nN*).或或2an+1=an+an+2或或an=pn+q(p、q是常数)例例3 某公司购置了一台价值为某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经经验表明，每经过一年其价值会减少过一年其价值会减少d(d为正常数）万元为正常数）万元.已知这台设备的已知这台设备的使用年限为使用年限为10年，超过年，超过10年年，它的价值将低于购进价值，它的价值将低于购进价值的的5%，设备将报废，设备将报废.请确定请确定d的范围的范围.解解:设使用设使用n年后，这台设备的价值为年后，这台设
3、备的价值为an万元，则可得数列万元，则可得数列an.由已知条件，得由已知条件，得anan1d(n2)，数列数列an是一个公差为是一个公差为d的等差数列，且的等差数列，且a1220d.ana1(n1)(d)220nd.由题意，得由题意，得a10 2205=11，a11 m)证明证明：an=a1+(n-1)d am=a1+(m-1)d 由由-得，得，an-am=(n-m)d an=am+(n-m)d变形变形3.已知已知an是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.a1a3a5a7d7826.50.515.53.75151124课本课本P15同步导
4、练9页“初试身手”第3题和例23.3.在等差数列在等差数列 an 中，中，a3=2 2，d=6.56.5，求，求a7?性质性质2 2 已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，p,q,s,tN*,若若p+q=s+t，则，则ap+aq=as+at证明：设数列an的公差为d，则asata1(s1)da1(t1)d2a1(st2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d 2a1(pq2)d，因因为pqst，所以所以apaqasat.特别地，若m+n=2k，则am+an=2ak课本课本P17 例例5 思考思考 例例5是等差数列的一条性质，图是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形是它的一种情
5、形.你能从几何角度你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗解释等差数列的这一性质吗?nanOspqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)图图4.2-24.已知在等差数列已知在等差数列an中，中，a4a820，a7 12.求求a4.课本课本P15答案：答案：3 3解：解：变式2.已知等差数列an,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;解：由等差数列的性质解：由等差数列的性质,得得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是于是a5=14,故故a1+a9=2a5=28.练习练习作业作业5.在在
6、7和和21中插入中插入3个数，使这个数，使这5个数成等差数列个数成等差数列.课本课本P15 例例4 已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,d=8,在在an中每相邻两项之间都插入中每相邻两项之间都插入3个个数数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项的项?若是若是,它是它是an的第几项的第几项?若不是若不是,请说明理由请说明理由.例例4 已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2,d=8,在在an中每相邻两项之间都插入中每相邻两项之间都插入3个
7、数个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式的通项公式.(2)b29是不是数列是不是数列an的项的项?若是若是,它是它是an的第几项的第几项?若不是若不是,请说明理由请说明理由.等差数列的性质等差数列的性质性质性质3 3 已知等差数列已知等差数列an，bn，公差分别为，公差分别为d,d1,则有则有下标成等差数列的项下标成等差数列的项ak,ak+m,ak+2m,组成等差数列，组成等差数列，公差是公差是_；数列数列an+(,是常数是常数)是等差数列，公差是是等差数列，公差是_；数列数列anbn(,是常数是常数)是
8、是等差数列，公差是等差数列，公差是_.特别地，所有特别地，所有偶数项偶数项构成的数列构成的数列a2,a4,a6,公差是公差是_；所有所有奇数项奇数项构成的数列构成的数列a1,a3,a5,公差是公差是_.等差数列中依次k项之和，即a1+a2+ak，ak+1+ak+2+a2k，a2k+1+a2k+2+a3k,是等差数列，公差是_；md2 2d2 2ddk2ddd14.已知数列已知数列an,bn都是等差数列都是等差数列,公差分别为公差分别为d1,d2,数列数列cn满足满足cn=an+2bn.(1)数列数列cn是否是等差数列是否是等差数列?若是若是,证明你的结论证明你的结论;若不是若不是,请说明理由请
9、说明理由.(2)若若an,bn的公差都等于的公差都等于2,a1=b1=1,求数列求数列cn的通项公式的通项公式.课本课本P18性质应用 5.已知一个无穷等差数列已知一个无穷等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d.(1)将数列中的前将数列中的前m项去掉项去掉,其余各项组成一个新的数列其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列这个新数列是等差数列吗吗?如果是如果是,它的首项和公差分别是多少它的首项和公差分别是多少?(2)依次取出数列中的所有奇数项依次取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列组成一个新的数列,这个新数列是等差数列这个新数列是等差数列吗吗?如果是如果是,它的首项和公差分别
10、是多少它的首项和公差分别是多少?(3)依次取出数列中所有序号为依次取出数列中所有序号为7的倍数的项的倍数的项,组成一个新的数列组成一个新的数列,它是等差数列它是等差数列吗吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗你能根据得到的结论作出一个猜想吗?课本课本P18练习练习答案：答案：C.C.1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有排有15个座位，从第个座位，从第2排起每一排起每一排都比前一排多排都比前一排多2个座位个座位.你能用你能用an表示第表示第n排的座位数吗排的座位数吗?第第10排有多少个座位排有多少个座位?nanO15 6912151823 463课
11、本课本P173.在等差数列在等差数列an中，中，an=m，am=n，且，且n m，求，求am+n.课本课本P18观察归纳法：数列2 2n-1-1为：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，数列3 3n-2-2为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，观察可知，两个数列的公共项依次为：1，7，13，19，25，31，练习练习两个等差数列的公共项构成两个等差数列的公共项构成新的等差数列，且新数列的新的等差数列，且新数列的公差为原来两个数列公差的公差为原来两个数列公差的“最小公倍数最小公倍数”.”.等差数列的等差数列的等差数
12、列的等差数列的性质性质性质性质核心知识核心知识核心知识核心知识等 差 数 列 的 性等 差 数 列 的 性质质方法总结方法总结1 1.等 差 数 列 的 项等 差 数 列 的 项与 序 号 的 关 系，与 序 号 的 关 系，2.2.等 差 数 列 与等 差 数 列 与一 次 函 数 的 关 系一 次 函 数 的 关 系易错提醒易错提醒等 差 数 列 的等 差 数 列 的 项项与与 序 号序 号 的 关 系，的 关 系，以 及以 及 等 差 中 项等 差 中 项的 灵 活 运 用的 灵 活 运 用。核心素养核心素养数 学 抽 象：数 学 抽 象：等 差 数 列 与 一等 差 数 列 与 一次 函 数 的 关 系次 函 数 的 关 系数 学 运 算：数 学 运 算：求求 新 构 造新 构 造 等 差等 差数 列 的 通 项 公数 列 的 通 项 公式式小结提升