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1、第*章 自由曲线与曲面第*小节 NURBS曲线曲面一、NURBS方法提出 B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力，然而在表示与设计这些由二次曲面和平面构成的初等曲面时遇到很大麻烦，因为B样条曲线曲面包括其特例Bezier曲线曲面都不能精确的表示除抛物线面以外的二次曲线弧或曲面，而只能给出近似表示，如多段圆弧、椭圆弧、圆柱面、圆锥面、圆环面。为了精确表示二次曲线弧与二次曲面，改造现有的B样条方法，在保留他描述自由型形状长处的同时，充分扩充其统一表示二次曲线弧与二次曲面的能力。NURBS方法采用分子分母分别是参数多项式与多项式函数的分式表示，是有理的，相对而言前面介绍的均匀B样
2、条方法采用参数整多项式，称为非有理的。一、NURBS方法性质 NURBS非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline)，这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下七个特点：NURBS不仅可以表示自由曲线曲面，它还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线，所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的数学描述方法；NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线曲面形状；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质
3、及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面；计算稳定且快速。一、NURBS方法性质 NURBS为标准解析形状与自由型曲面提供了一个公共数学形式，且有明显的几何解释，易于理解与设计；NURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影下是不变的；NURBS有强有力的几何配套技术（包括插入节点细分消去、升阶、分裂等），可用于设计、分析与处理等各个环节。然而，NURBS也还存在一些缺点：需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。如用一个外切正方形作为控制多边形定义一个圆，至少需要7个控制顶点和10个节点。而传统表示只需给出圆心、半径和垂直于圆所在平面的法矢；权因子选取较敏感，容易导致很坏的参数化，甚
4、至毁掉曲面结构；在计算曲面与曲面交线时，特别难处理刚刚接触的情况。二、NURBS曲线方程有理分式表示 二、NURBS曲线方程有理基函数表示 上述用分式表示的NURBS曲线方程可被改写为图像等价形式：这里 称为 次有理基函数。它具有与 次规范B样条基函数 类似的性质：局部支撑性规范性可微性，如果分母不为零，在节点区间内无限次连续可微，在节点处 次连续可微，是该节点的重复度。二、NURBS曲线方程有理基函数表示 上述用分式表示的NURBS曲线方程可被改写为图像等价形式：这里 称为 次有理基函数。它具有与 次规范B样条基函数 类似的性质：若 ，则 若 ，则 若 ，则 若所有权因子 ，则 二、NURB
5、S曲线方程有理基函数表示 上述有理基函数性质导致下述NURBS曲线几何性质：局部性质：次NURBS曲线上参数为 的一点 至多与 个控制顶点及相联系的权因子 相关，；变差缩减性；强凸包性；仿射和透视变换下的不变性；在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性，或参数连续性。二、NURBS曲线方程齐次坐标表示 如果给定一组控制顶点 及相联系的权因子 ，次NURBS 曲线定义如下：（1）确定所给控制顶点 的带权控制点（2）用带权控制点 定义一条三维 次非有理B样条曲线：（3）将它投影到 平面上，所得透视像机位xy平面上一条 次NURBS 曲线：超平面上的投影。二、NURBS曲线方程等价表示比较 对3种等
6、价表示从权因子和基函数的差别及作用进行比较，权因子不随参数而变化，两者都通过对控制顶点的作用影响曲线：（1）由分式表示可知，当所有权因子取相同非零有限值时，约掉公因子NURBS曲线就变成非有理B样条，有理是因权因子引起的；（2）由有理基函数表示形式中，我们通过有理基函数性质清楚了解到NURBS曲线的性质；（3）齐次坐标表示告诉我们NURBS曲线是在高一维空间中的控制顶点的齐次坐标或带权控制顶点所定义的非有理B样条曲线在 三、权因子对NURBS曲线形状的影响次NURBS曲线方程可改写为：由有理基函数表示法可知：上式是关于 的有理线性函数，做参数变换，令当 时，得三、权因子对NURBS曲线形状的影
7、响当 时，得由有理基函数的规范性，当 ，得因此，上述改写后的NURBS曲线方程成为新参数 的线矢量方程特殊地，当 时，得点当 ，且为有限值时，得点现得到共线4个点 的交比若固定所有控制顶点及除 外的所有其它权因子不变，当 变化时，点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点 的一条直线。当 时，趋近与控制顶点 重合。若 增加，则曲线被拉向控制顶点 ；若 减小，则曲线被推离控制顶点 。若 增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点 外的其它相应控制顶点；若 减小，则相反。右图给出了权因子对NURBS曲线的影响示意图。三、权因子对NURBS曲线形状的影响第*章 自由曲线与曲面第*小节 NURBS曲
8、线曲面主讲：符立梅类似NURBS曲线，一张 次NURBS曲面的有理分式表示：一、NURBS曲面方程 1.有理分式表示这里控制顶点 呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网络。是与 联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子即 ，其余 且顺序 个权因子不同时为0。和 分别为 向 次和 向 次的规范B样条基函数。他们分别由 向和 向的节点矢量 和 按德布尔递推公式决定。类似NURBS曲线，一张 次NURBS曲面的有理基函数表示：一、NURBS曲面方程 2.有理基函数表示 注意到，它不是两个单变量函数的乘积，所以，一般地，NURBS曲面不是张量积曲面。类似NURBS曲线，一张 次NURBS曲面的齐次坐标表示：一、
9、NURBS曲面方程 3.齐次坐标表示其中 称为控制顶点 的带权控制顶点或齐次坐标。可见，带权控制顶点在高一维空间里定义了一张量积的非有理B样条曲面 。表示中心投影变换，投影中心取为齐次坐标原点。在 超平面上的投影（或称透视像）便定义了一张NURBS曲面。有理双变量基函数 具有与非有理样条基函数相类似的函数图形与解析性质：（）局部支撑性，当；（）规范性，；（）可微性，每个子矩形域内所有偏导数存在；（）极值，若，恒有一个极大值存在；（）是双变量B样条基函数的推广，即当所有 时，。二、NURBS曲面性质 有理B样条曲面具有与非有理B样条曲面相类似的性质，即NURBS曲线的大多数性质可直接推广到NURBS曲面：（）局部性质是NURBS曲线局部性质的推广；（）与非有理B样条曲面相同的凸包性；（）仿射与透视变换下的不变性；（）沿 向在重度为 的 节点处是 参数连续的，沿 向在重度为 的 节点处是 参数连续的（）NURBS曲面是非有理B样条曲面的合适推广。NURBS曲面不具备变差缩减性。二、NURBS曲面性质 至多影响到子矩形域上那部分曲面。固定两参数值 ，当依次取 为下列右端括号中不同值时，分别得到点：和 三、曲面权因子的几何意义