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1、第*章自由曲线与曲面第*小节 B样条曲线曲面一、B样条曲线定义Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数，构造了B样条曲线，B样条曲线特点：1、B样条曲线比Bezier曲线更贴近控制多边形；2、曲线更光滑（很容易产生C2连续性）；3、曲线的次数可根据需要指定，不像Bezier曲线的次数是由控制点的个数来确定。4、除此之外，B样条曲线的突出优点是增加了对曲线的局部修改功能，因为B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。给定m+n+1个控制点Pi（i0，1，2，m+n），可以定义m+1段n次的参数曲线 B样条曲线的定义（3-1）为n次B样条基函数，其形式
2、为（0t1，k=0,1,2,，n）（3-2）其中，在工程实际中，二次B样条曲线和三次B样条曲线应用得较为广泛 二次B样条曲线的n2，k0，1，2。控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，二次B样条曲线是二次多项式。二、二次B样条曲线 1.矩阵表示（3-3）因此，二次B样条曲线的分段参数表达式为（i0，1，2，m）对于i0段曲线，写成矩阵形式为 t0，1（3-4）2.几何性质起点p(0)位于P0P1边的中点处，且其切矢量P1P0沿P0P1边的走向；终点p(1)位于P1P2边的中点处，且其切矢量P2P1沿P1P2边的走向；P(1/2)正是P(0)、P1、P(1)这三点所构成的三角形的中线P1Pm的
3、中点，而且p(1/2)处的切线平行于两个端点的连线p(0)p(1)。第i段二次B样条曲线段及其控制多边形 这样，三个顶点P0P1P2确定一段二次B样条曲线，该段曲线是一段抛物线。一般情况下，B样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前二个控制点有关，终点只与后二个控制点有关。第i段二次B样条曲线段及其控制多边形 三、三次三、三次B B样条曲线样条曲线 1.1.1.1.矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示 三次B样条曲线的n3，k0，1，2，3。控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，三次B样条曲线是三次多项式。因此，三次B样条曲线的分段参数表达式为（i0，1，2，m）对于i0段曲线，写成矩阵形式为
4、（3-6）t0，1 2.2.几何性质几何性质曲线的起点p(0)：u位于P0P1P2底边P0P2的中线上，且距P1点三分之一处。u切矢量p(0)平行于P0P1P2的底边P0P2，且长度为其二分之一。u二阶导数p”(0)沿着中线P1Pm方向，长度等于中线的两倍。曲线终点p(1)：（与起点类似可知）这样，四个顶点P0P1P2P3确定一段三次B样条曲线。从图中还可以看出：一般情况下，B样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前三个控制点有关，终点只与后三个控制点有关。实际上，B样条曲线都具有这种控制点的邻近影响性，这正是B样条曲线局部可调整性好的原因。第i段三次B样条曲线控制多边形 第*章自由曲线与曲面第*
5、小节 B样条曲线曲面主讲：符立梅一、B样条曲线的性质 1.1.1.1.连续性连续性连续性连续性 控制点PiPi+1Pi+2确定第i段二次B样条曲线，Pi+1Pi+2Pi+3确定第i1段二次B样条曲线，第i1段曲线的起点切矢量Pi+2Pi+1沿Pi+1Pi+2边的走向，和第i段二次B样条曲线的终点切矢量相等，两段B样条曲线实现自然连接，但二次B样条曲线只能达到C1连续性。二次B样条曲线的连续性 三次B样条曲线的连续性 控制点PiPi+1Pi+2Pi+3确定第i段三次B样条曲线，如果再添加一个顶点Pi+4，则Pi+1Pi+2Pi+3Pi+4可以确定第i+1段三次B样条曲线，而且第i+1段三次B样条
6、曲线的起点切矢量、二阶导数和第i段三次B样条曲线的终点切矢量和二阶导数相等，两段B样条曲线实现自然连接，三次B样条曲线可以达到C2连续性。一般而言，n次B样条曲线具有n-1阶导数的连续性。结论：B样条曲线不同于Bezier曲线整体生成，它是分段生成的，B样条曲线各段之间自然连接。给定m+n+1个控制点，可以定义m+1段n次的B样条曲线。对于如下图所示二次（n2）B样条曲线，由7段曲线组成，需要9个控制点：对于如下图所示三次（n3）B样条曲线，由6段组成，需要9个控制点：二次B样条曲线能达到C1连续性 三次B样条曲线可达到C2连续性 2.局部性质 在B样条曲线中，每段B样条曲线受n+1个控制点影
7、响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分曲线形状保持不变。在工程设计中经常需要对曲线进行局部修改，B样条曲线能很好地满足这一要求，这就是B样条曲线受欢迎的原因之一。三次B样条曲线局部顶点修改二、构造特殊的三次B样条曲线的技巧 1.1.1.1.二重顶点二重顶点二重顶点二重顶点2.2.2.2.三重顶点三重顶点三重顶点三重顶点3.3.3.3.三顶点共线三顶点共线三顶点共线三顶点共线4.4.4.4.四顶点共线四顶点共线四顶点共线四顶点共线 三次B样条曲线绘制树叶 三、三、B B样条曲面样条曲面 B样条曲面是B样条曲线的二维推广，给定(m1)(n+1)个控制点Pi,j(i=0,1,m；
8、j=0,1,n)，张量积形式的B样条曲面的表达式为（u，v）0，10，1(3-9)式中，Pi,j（i0，1，m；j0，1，n）是（m+1）（n+1）个控制点。是B样条基函数。1.B1.B1.B1.B样条曲面的定义样条曲面的定义样条曲面的定义样条曲面的定义 7.5.2 7.5.2 7.5.2 7.5.2 双三次双三次双三次双三次B B B B样条曲面的定义样条曲面的定义样条曲面的定义样条曲面的定义（u，v）0，10，1(3-10)展开式有（3-11）将式（3-11）代入式（3-10）得到令 则有 双三次B样条曲面是由三次B样条曲线交织而成。曲面生成时可以先固定u,变化v得到一簇三次B样条曲线；然
9、后固定v，变化u得到另一簇三次B样条曲线。与三次B样条曲线相似，双三次B样条曲面一般情况下不通过控制网格的任何顶点。16个控制点的双三次B样条曲面 给定次数的Bezier曲面的控制点个数是确定的。如果要描述复杂的曲面形状，只能升高曲面的次数或者用多张Bezier曲面片拼接起来表示，这在实际应用中会增大计算量并且使算法变得复杂。B样条曲面可以较好地解决这个问题，对于给定的曲面次数，B样条曲面的控制点数目可以根据曲面的形状来自由决定，而且可以保持曲面处处光滑，因此B样条曲面在曲面造型方面具有更大的灵活性。双三次B样条曲面的优点是极为自然地解决了曲面片之间地连接问题，例如，只要将控制网格沿某一个方向延伸一排，就可以决定另一个曲面片，此时曲面片理所当然地保证二者之间达到了C2连续性。四、双三次B样条曲面的连续性 给定空间控制网格顶点Pi,j（i0，p；j0，q；p4，q4），构造双三次B样条曲面。控制点矩阵为 因为双三次B样条曲面的控制顶点矩阵是44的，所以需要将Pi,j控制顶点矩阵进行分块。双三次B样条曲面的分块顶点矩阵为（3-12）式中，r=0，p+1-4；s=0，q+1-4。例例3-1 3-1 已知pq5，空间控制网格Pi,j共有36个顶点，请计算其分块矩阵。分块矩阵共有9个 36个控制点的双三次B样条曲面双三次B样条曲面绘制的花瓶