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1、课课题题:空空间间向向量量及及其其线线性运算性运算数学选择性必修第一册第一章数学选择性必修第一册第一章1.11.1空间向量及其运算空间向量及其运算问题提出问题提出1.1.在平面中在平面中,什么叫向量？什么叫向量？既有大小又有方向的量叫做向量既有大小又有方向的量叫做向量.2.2.两两个个平平面面向向量量加加法法与与减减法法运运算算的法则分别是什么？的法则分别是什么？平行四边形法则平行四边形法则,三角形法则三角形法则.F F2 2F F1 1F F3 33 3.如如图图,一一块块质质量量为为5 50 00 0k kg g的的均均匀匀正正三三角角形形钢钢板板,在在它它的的顶顶点点处处分分别别受受力力
2、F F1 1、F F2 2、F F3 3,每每个个力力与与同同它它相相邻邻的的三三角角形形的的两两边边之之间间的的夹夹角角都都是是6 60 00 0,且且|F F1 1|F F2 2|F F3 3|.若若分分析析这这三三个个力力至至少少为为多多大大时时,才才能能提提起起这这块块钢钢板板,以以及及这这块块钢钢板板在在这这些些力力的的作作用用下下如如何何运运动动,需需要要有有空空间间向向量的知识才能解决量的知识才能解决.问题提出问题提出探究一：空间向量的有关概念探究一：空间向量的有关概念 思思考考1 1：平平面面内内既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量与与空空间间中中既既有有大大小小又又有有方
3、方向向的的量量有有本本质差别吗？如何定义质差别吗？如何定义空间向量空间向量？在空间在空间,具有大小和方向的量具有大小和方向的量.向量的表示：向量的表示：B BA A思思考考2 2：向向量量的的大大小小叫叫做做向向量量的的长长度度或或模模,在在空空间间中中,若若向向量量 的的起起点点为为A,A,终终点点为为B,B,则则向向量量 可可以以怎怎样样表表示示？其其模模怎怎样样表示？表示？模的表示模的表示:或或 思思考考3 3：在在空空间间向向量量中中,怎怎样样定定义义零零向向量量,单位向量单位向量,相反向量相反向量和和相等向量相等向量？零向量：零向量：模为模为0 0的向量；的向量；单位向量：单位向量：
4、模为模为1 1的向量；的向量；相反向量：相反向量：模相等且方向相反的向量；模相等且方向相反的向量；相等向量：相等向量：模相等且方向相同的向量模相等且方向相同的向量.探究一：空间向量的有关概念探究一：空间向量的有关概念 思思考考4 4：在在平平面面向向量量中中,若若两两个个向向量量可可以以平平移移到到同同一一条条直直线线上上,则则称称这这两两个个向向量量为为共共线线向向量量(或或平平行行向向量量).).在在空空间间向向量量中中,若若两两个个向向量量可可以以平平移移到到同同一一个个平平面面内内,则则称称这这两两个个向向量量为为共共面面向向量量.那那么么空空间间任任意意两两个个向向量量共共面面吗吗？
5、任意三个向量共面吗？任意三个向量共面吗？探究一：空间向量的有关概念探究一：空间向量的有关概念 探究一：空间向量的有关概念探究一：空间向量的有关概念 探究二：空间向量的加减运算探究二：空间向量的加减运算 思思考考1 1：对对于于两两个个平平面面向向量量,可可以以利利用用平平行行四四边边形形法法则则或或三三角角形形法法则则求求作作其其和和向向量量与与差差向向量量,如如果果空空间间向向量量 与与 所所在在直直线线异异面面,如如何何求求作作它它们们的的和和向向量量与与差向量？差向量？平行移动平行移动,首尾相连首尾相连,平行移动平行移动,首首相连首首相连,探究二：空间向量的加减运算探究二：空间向量的加减
6、运算 思思考考2 2：如如果果空空间间三三个个向向量量 ,不不共面共面,如何求作它们的和向量？如何求作它们的和向量？首尾相接首尾连首尾相接首尾连折线法则折线法则思思考考3 3：如如图图，在在平平行行六六面面体体(底底面面是是 平平 行行 四四 边边 形形 的的 四四 棱棱 柱柱)ABCD)ABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,向向量量 表表示示哪个向量？哪个向量？B BA AC CD DB B1 1A A1 1C C1 1D D1 1探究二：空间向量的加减运算探究二：空间向量的加减运算 平行六面体法则平行六面体法则探究二：空间向量的加减运算探究二：空间向量的加减运算 思
7、考思考4 4：对于空间向量对于空间向量 ,向量向量 与与 相等吗？相等吗？交换律：交换律：平行移动平行移动,首尾相连首尾相连,结合律结合律:相反向量相反向量 相等向量相等向量探究二：空间向量的加减运算探究二：空间向量的加减运算 思思考考5 5：如如图图，设设 ，则则 与与 分分别别等等于于哪哪个个向向量量？由此得到什么结论？由此得到什么结论？思思考考6 6：若若 或或 ,则则向向量量 与与的关系分别是什么？的关系分别是什么？O OA AB BC C理论迁移理论迁移例例1 1 在在平平行行六六面面体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,化化简下列各式：简下列各式
8、：B BA AC CD DB B1 1A A1 1C C1 1D D1 1例例2 2 在在三三棱棱锥锥O OABCABC中中,点点M M是是ABCABC的重心的重心,求证：求证：D DO OA AB BC CM M理论迁移理论迁移探究三：数乘运算的含义探究三：数乘运算的含义 大小大小:;方向方向:0 0时同向时同向,0 0时反向时反向,0 0时时 思思考考1 1：在在平平面面向向量量中中,实实数数 与与向向量量 的的乘乘积积 还还是是一一个个向向量量,称称为为向向量量的的数数乘乘运运算算,其其中中向向量量 与与 的的大大小和方向有什么关系？小和方向有什么关系？探究三：数乘运算的含义探究三：数乘
9、运算的含义 在在 空空 间间 向向 量量 中中,数数乘乘运运算算的的定定义义及及法法则则同同样样适适用用.思思考考2 2：在在平平面面向向量量中中,设设 ,为为实实数数,则则 ,分分别别等等于于什么？什么？探究四：共线向量的概念与定理探究四：共线向量的概念与定理 思思考考1 1：如如果果表表示示空空间间向向量量的的有有向向线线段段所所在在的的直直线线互互相相平平行行或或重重合合,则则这这些些向向量量叫叫做做共共线线向向量量或或平平行行向向量量,如如果果空空间间向向量量 是是一一组组平平行行向向量量,那那么么表表示示这这三三个个向向量量的的有有向向线线段段所所在在的的直直线线的的位位置置关关系系
10、有有哪哪几种可能？几种可能？探究四：共线向量的概念与定理探究四：共线向量的概念与定理 若若 ,则则 与与 有有什什么么位位置置关关系系？反之成立吗？反之成立吗？思思 考考2 2：对对空空间间任任意意两两个个向向量量 ,若若 ,则则 ,反之不成立反之不成立.存在实数存在实数,使使 .的充要条件是什么？的充要条件是什么？思考思考3 3：对空间两个向量对空间两个向量 ,lP P探究四：共线向量的概念与定理探究四：共线向量的概念与定理 存在实数存在实数t,t,使使 t t A A思思考考4 4：如如图图,已已知知点点A A和和非非零零向向量量 ,若若直直线线l经经过过点点A A且且平平行行于于向向量量
11、 所所在在直直线线,则则向向量量 叫叫做做直直线线l的的方方向向向向量量,那那么么点点P P在直线在直线l上的充要条件是什么？上的充要条件是什么？与与 、的的关关系系如如何何？上上述述结结论论可可作作怎样的变式？怎样的变式？思思考考5 5：对对空空间间任任意意一一点点O O,向向量量O OB B若若 ,则则点点P P、A A、B B共共线线的的充要条件是充要条件是x xy y1 1；点点P P为为ABAB的中点的充要条件是的中点的充要条件是 探究四：共线向量的概念与定理探究四：共线向量的概念与定理 思思考考6 6：在在直直线线l上上取取 ,则则向向量量式式 可可作作哪哪些些变变形形？你你能能从
12、从中发现什么结论吗？中发现什么结论吗？lA AP PO O探究五：共面向量的概念与定理探究五：共面向量的概念与定理 O OA AO OA A思思考考1 1：已已知知平平面面和和向向量量 ,作作 ,如如果果直直线线OAOA平平行行于于或或在在内内,则则称称向向量量 平平行行于于平平面面,记记作作 .一一组组空空间间向量可以都与平面向量可以都与平面平行吗？平行吗？思思考考2 2：平平行行于于同同一一平平面面的的向向量量,叫叫做做共共面面向向量量,空空间间任任意意两两个个向向量量一一定定共共面吗？任意三个向量一定共面吗？面吗？任意三个向量一定共面吗？探究五：共面向量的概念与定理探究五：共面向量的概念
13、与定理 探究五：共面向量的概念与定理探究五：共面向量的概念与定理 思思考考3 3：如如果果两两个个向向量量 不不共共线线,若若向向量量 与与 共共面面,由由平平面面向向量量基基本本定定理理知知,存存在在实实数数对对(x,y),(x,y),使使 .反反之成立吗？由此可得什么结论？之成立吗？由此可得什么结论？若若向向量量 不不共共线线,则则向向量量 与与 共共面面的的充充要要条条件件是是:存存在在惟惟一一的的有有序序实实数数对对(x,y),(x,y),使使 .A AP PB BC C思思考考4 4：空空间间一一点点P P位位于于平平面面ABCABC内内的的充要条件是什么？充要条件是什么？探究五：共
14、面向量的概念与定理探究五：共面向量的概念与定理 存在有序实数对存在有序实数对(x,y),(x,y),使使 O OA AP PB BC C思思考考5 5：对对空空间间任任一一点点O,O,上上述述向向量量式式可可变变形形为为 ,进进一一步变形可得什么结论？步变形可得什么结论？探究五：共面向量的概念与定理探究五：共面向量的概念与定理 对对空空间间任任一一点点O O和和不不共共线线三三点点A A、B B、C,C,若若 ,则则点点P P在在平平面面ABCABC内内的的充充要要条条件件是是x xy yz z1.1.探究五：共面向量的概念与定理探究五：共面向量的概念与定理 O OA AP PB BC C理论
15、迁移理论迁移例例 在在空空间间四四边边形形ABCDABCD中中,E,E、F F分分别别是是ABAB、CDCD的的中中点点,求求证证:向向量量 与与 、共面共面.A AB BC CD DE EF F法法一一:利利用用空空间间向向量量共共面面的的定定义义,证证三三个个向向量量可平移至同一平面内可平移至同一平面内.法法二二:利利用用空空间间三三个个向向量量共共面面定定理理,证证 可可用用另两个向量表示另两个向量表示.G G课堂小结课堂小结1.1.空空间间向向量量与与平平面面向向量量的的区区别别在在于于表表示示空空间间向向量量的的有有向向线线段段不不一一定定共共面面,而表示平面向量的有向线段一定共面而表示平面向量的有向线段一定共面.2.2.任任意意两两个个空空间间向向量量可可以以通通过过平平移移使使其其共共面面,因因此此,两两个个空空间间向向量量的的和和差差运运算算实实质质是是平平面面向向量量的的和和差差运运算算,多多个个空空间间向向量量的的和和差差运运算算可可以以转转化化为为若若干干个平面向量的和差运算来解决个平面向量的和差运算来解决.P P5 5练习：练习：2 2，4 4，5 5.作业布置作业布置