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1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算教学设计一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.二、教学重难点1. 教学重点空间向量的线性运算和运算律.2. 教学难点共线向量定理及共面向量定理.三、教学过程（一）新课导入我们已经学过了平面向量，那么能否把平面向量推广到空间向量呢？我们先来看空间向量的概念和表示.（二）探索新知探究一 空间向量的概念及表示空间向量的定义：与平面向量一样，
2、在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a，b，c，表示.与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图1.1-1，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或.图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，.模为1的向量叫做单位向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a.如果表
3、示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图1.1-3，已知空间向量a，b，以任意点O为起点，作向量，我们就可以把它们平移到同一个平面内.问题1 平面向量与空间向量有什么区别与
4、联系？（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.探究二 空间向量的线性运算由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.下面我们把平面向量的线性运算推广到空间向量的线性运算.问题2 如图1.1-4和图1.1-5，计算.（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师总结）（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，.问题3 由此是否
5、能得出空间向量线性运算的运算律？（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）空间向量线性运算的运算律：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）分配律：.问题4 如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？在平行四边形ABCD中，；在平行四边形中，；在平行四边形中，；在平行四边形中，.故.一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换
6、相加向量的顺序，其和不变.探究三 共线向量及共面向量问题5 对任意两个空间向量a与b，如果，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，？共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a，b，的充要条件是存在实数，使.如图1.1-7，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.如图1.1-8，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直
7、线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.问题6 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？带着问题6来进行探究.问题7 对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a，b，如果，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，？可以发现，如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向
8、量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.（共面向量定理）例1 如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.证明：因为，所以.因为四边形ABCD是平行四边形，所以.因此由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面.（三）课堂练习1.下列命题：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是
9、异面直线，则这两个向量不是共面向量.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故错误；根据向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故错误.综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2.在平行六面体中，E，F，G，H，P，Q分别是的中点，则( )A.B.C.D.答案：A解析：观察平面六面体可知，向量平移后可以首尾相连，于是.故选A.3.已知空间向量a，b，且，则一定共线的三点是( ) A. A，B
10、，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D答案：A解析：，三点共线，故选A.4.已知三个向量a，b，c不共面，并且，向量p，q，r是否共面？答案：假设存在实数，使，则.a，b，c不共面，解得，即存在实数，使，p，q，r共面.（四）小结作业小结：1. 空间向量的概念；2. 空间向量的线性运算；3. 空间共线向量与共面向量.作业：四、板书设计1.1.1 空间向量及其线性运算1. 空间向量的相关概念：空间向量；模；零向量；单位向量；相反向量；共线向量（平行向量）；相等向量.2. 空间向量线性运算的运算律：（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律.3. 共线向量定理；共面向量定理.7学科网（北京）股份有限公司