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1、1.1.1 空间向量及其线性运算NEW2023/07第 1 章空间向量与立体几何人教A 版2019选修第一册Topic.0101复习回顾 学习目标1.经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；3.掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；4.借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量。ABCD2、几何表示法:用有向线段表示。3、字母表示法：用小写字母a、b等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示。复习回顾：平面向量4、几类特殊的空间向量（3）相等向量：长
2、度相等且方向相同的向量（1）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0（2）单位向量：模长为1的的向量叫单位向量（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量，a的相反向量，记为a向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba(k0)ka(k0)k向量的数乘a首尾相接,首尾连共起点,对角线共起点,连终点,指向被减向量复习回顾：向量的线性运算加法交换律：加法结合律：数乘分配律：复习回顾：向量的线性运算首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：情境导入 这是一个做滑翔伞运动
3、的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.这需要进一步来认识空间中的向量各个力的大小怎么表示呢？Topic.0202空间向量的有关概念空间向量的有关概念起点终点 定义：既有大小又有方向的量。长度（模）向量的大小，记作表示几何表示法：有向线段符号表示法：任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量空间向量的有关概念ababOABTopic.0203空间向量的加减运算空间向量的加减运算a+babABbCOa-b(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.（2）空间向量加法运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(
4、b+c)；abca+b+c abca+b+c a+b b+c 空间向量的加减运算空间向量的加减运算对空间向量的加法、减法的说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加例1、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量 满足，则；（3）在正方体 中，必有；（4）若空间向量 满足，则；（5）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4CA BCDABCD例2Topic.0303空间向量的数乘运算(1)实数与向量的积与 平 面 向 量 一 样，实
5、 数 与 空 间 向 量a 的 乘 积a 仍 然 是 一 个 向 量，称 为 向 量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|_.当0 时，a 与 向 量a 方 向 相 同；当0 时，a 与 向 量a 方 向；当 0时，a 0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)_；(a b)_；(12)a _(拓展).相反|a|()a a b1a 2a空间向量的数乘运算例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量ABC DA1B1C1D1GMABE
6、CFD 例2.空间四边形ABCD 中,E、F 分别是BC、CD 边的中点,化简：(2)原式Topic.0404共线向量1.对任意两个空间向量a，b(b0)，a b 的充要条件是存在实数，使.2.如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a，则对于直线l 上任意一点P，可知 a，把与向量a 平行的非零向 量 称 为 直 线l 的，直 线l 上 任 意 一 点 都 可 以 由 直 线l 上 的 一 点 和 它的方向向量表示.a b方向向量共线向量3、点P 在直线l 上的充要条件典例1 M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD和 ABEF 都是平行四边形，反思感悟 向量共线的判
7、定及应用(1)判断或证明两向量 a，b(b0)共线，就是寻找实数，使 a b 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(2)判断或证明空间中的三点(如 P，A，B)共线的方法：是否存在实数，Topic.0506 共面向量1.向 量 与 平 面 平 行：如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线OA_ 或，那么称向量 a 平行于平面.2.共面向量平行于平面 在平面 内唯一p x a y b共面向量三个向量共面的充要条件：向量p 与不共线向量a，b 共面的充要条件是存在_ 的有序实数对(x，y)_(多选)对空间任一点 O 和不共线的三点 A，B，C，能得到P，A，B，C 四点共面的是（）BC 如图,已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F，G，H，使求证：E，F，G，H 四点 共面四点共面 有公共起点的三个向量共面分析：可以通过证明这四点构成的三个向量共面，来证明这四点共面.典例3证明:作业AMCGDB1、空间向量的定义及表示方法2、特殊的向量3、向量的加减法4、向量的数乘运算5、共线向量与共面向量课堂小结