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1、第28讲 等差数列1、等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示2、等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列(2)等差中项法： ()是等差数列(3)通项公式：(为常数)是等差数列(4)前项和公式：(为常数)是等差数列3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.4、对于任意数列，为递增数列；（时，数列严格递增）为递减数列；（时，数列严格递减）5、等差数列前项和公式：；6、等差数列的前n项和Sn的性质（1）等差数列中依次项之和，,组成公差为的等差数列
2、(2)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则7、等差数列前项和的最值在等差数列中，（1）若有最大值,可由不等式组来确定；（2）若有最小值,可由不等式组来确定（3）求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数,通过配方求最值题型一：等差数列通项公式1（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）A4B3C2D1【答案】A【详解】由题设，解得.故选：A2（全国高二单元测试）在数列中，若，则（ ）A671B672C673D674【答案】D【详解】，数列是以1为首项，3为公差的等差数列，解得.故选：D.3（江西南昌高三开学考试（理）设为数列的前n项和，若，则（ ）AB
3、C10D【答案】C【详解】解：因为，所以有，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.故选：C.4（北京牛栏山一中）已知数列中，则等于（ ）A-12B12C-16D16【答案】A【详解】解：数列中，即，所以数列为等差数列，公差为，所以，所以故选：A5（庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）A4B3C2D1【答案】B【详解】由，得.又，所以.故选：B题型二：等差中项1（全国高二单元测试）在等差数列中，则（ ）A8B12C16D20【答案】B【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，则，所以.故选：B.2（北京房山）8，2的等差中项是（ ）A5B4C5D4
4、【答案】C【详解】8，2的等差中项为.故选：C3（全国）等差数列，的第四项等于()A10B6C8D12【答案】C【详解】解：由题意可得,(1x)(5x1)2(2x2)解得x1这个数列为2，4，6，8，故选C.4（江西省铜鼓中学（文）已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ）A1B2C-2D-1【答案】B【详解】设等差数列的公差为d.由已知条件，得，即，解得.故选B.题型三：等差数列性质1（四川省资中县第二中学（理）在等差数列中，则 =（ ）ABCD【答案】D【详解】由等差数列的性质有，则.故选：D2（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列中，若，则（ ）A20B24C27D29【答
5、案】D【详解】解：，所以，又，所以，所以，故选：D3（全国高二课时练习）设是等差数列，且，则（ ）A5B6C16D32【答案】B【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由.故选：B.4（贵州大学附属中学高一月考）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（ ）A130B170C210D260【答案】C【详解】为等差数列，成等差数列，即成等差数列，解得.故选：C.5（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前项和，则使取最大值的自然数是（ ）A4B5C6D7【答案】B【详解】设等差数列的公差为d，依题意，解得：，于是得，由得，因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从
6、第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使取最大值的自然数n是5.故选：B6（新蔡县第一高级中学高二月考（文）已知等差数列，的前项和分别为，若，则（ ）ABCD【答案】A【详解】，故选：A.7（江西九江一中高一期末）已知两个等差数到和的前项和分别为和，且，则=（ ）A3B4C5D6【答案】D【详解】依题意.故选：D8（江西省莲花中学高一月考）是等差数列的前项和，且则时，的最大值为（ ）A197B198C199D200【答案】B【详解】解：因为，即，所以，所以数列的公差，所以，故时，的最大值为198；故选：B9（青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列满足，当则当前项和取得最大值时的值是（ ）A5B6
7、C7D8【答案】B【详解】由题意，等差数列满足，根据等差数列的性质，可得，即，又由，可得，所以当前项和取得最大值时的值是.故选：B.10（安徽（文）在等差数列中，已知，则使数列的前项和成立时n的最小值为（ ）A6B7C9D10【答案】D【详解】，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，故选：D.11（赛罕内蒙古师大附中）等差数列中，则数列各项中取值为正数的有（ ）A8项或9项B7项或8项C17项或18项D16项或17项【答案】A【详解】若，则，得，而，所以，即，所以；若，得，而，所以，即，所以；若，则，得.所以数列各项中取值为正数的有8项或9项，故选：A.题型四：等差数列前项和1（全国高二课
8、时练习）在等差数列中，若，则的值是（ ）A12B24C36D48【答案】B【详解】由S10=，得a1+a10=，故选：B2（全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）ABC2D3【答案】B【详解】设公差不为0的等差数列满足，则，整理可得则故选：B3（全国高二专题练习）已知为等差数列且，为其前项的和，则（ ）A176B182C188D192【答案】D【详解】，故选：D.4（全国高二课时练习）已知等差数列满足：，的前项和为求及；【答案】（1）an2n1，Snn(n2)；（2）【详解】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，a12d7
9、，2a110d26，解得a13，d2an2n1，Snn(n2)5（广西南宁高一月考）记为等差数列的前项和，已知，.求公差及的通项公式；【答案】（1），；【详解】（1）设的公差为，由题意得.由得.所以的通项公式为.6（全国高二课时练习）已知等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为等差数列中，首项为，公差为，所以其通项公式为；（2）由（1）可得，数列的前项和.7（全国高二单元测试）已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式. （2）求数列前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）是等差数列，且，；（2）.题型五：等差数列前项和最
10、大（小）问题1（全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是（ ）A8B9C10D11【答案】C【详解】设等差数列an的公差为d，由S11-S8=3，得a11+a10+a9=3，即3a10=3，解得a10=1，于是得a1+9d=1，而a11-a8=3d=3，即d=1，则有a1=-8，从而得等差数列an的通项公式为：an=-9+n，由-9+n0得n9，而n是正整数，则，所以使an0的最小正整数n的值是10.故选：C2（贵州贵阳一中高三月考（文）已知等差数列的前项和为，且有，则的最小值为（ ）A-40B-39C-38D-14【答案】A【详解】因为，所以，所以，由得，所以前项和
11、最小，.故选：A3（双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（ ）A15B16C17D18【答案】B【详解】当时，可得最大，.故选：B4（河南高二月考（文）在等差数列中，.（1）求的通项公式;（2）求的前项和及的最小值.【答案】（1）；（2），-36.【详解】（1）设的公差为，根据题意得解得，所以.（2）根据等差数列的前项和公式得则当时，取得最小值.5（全国）设等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的自然数的值.【答案】（1）an=11-2n，nN*；（2）Sn=-（n-5）2+25，n=5.【详解】解（1）由an=a1+（n-1）d及
12、a3=5，a10=-9，得解得所以数列an的通项公式为an=11-2n，nN*.（2）由（1）知，Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-（n-5）2+25，所以当n=5时，Sn取得最大值.6（皮山县高级中学高一期中）已知等差数列中，求（1）求的通项公式；（2）的前项和.【答案】（1）或；（2）或【详解】解：（1）设的公差为，因为，解得，或，所以，或， 解得或所以，或（2）由（1）可得：或，所以，或题型六：已知和关系1（广西平果二中高一期中）已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.【详解】（1）由题
13、意可知：，当时，当时，当时，显然成立，数列的通项公式；（2），由，则时，取得最大值28，当为4时，取得最大值，最大值282（全国高二专题练习）设数列的前项和为，已知，.求数列的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）当时，当时，也成立，综上所述，.3（南昌市豫章中学高三开学考试（理）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；【答案】（1）【详解】(1)解：由可得，,当时，,式子对也成立.故数列的通项公式为，4（浑源县第七中学校高三模拟预测（理）已知数列的前项和为，且满足.求数列的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）数列满足，令n=1，则，解得.当n2时，则，.数列是首项为4，公比为4的等比数列，则其通项公式为.5（山东高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）当时，解得：，当且时，整理可得：，数列以2为首项，4为公差的等差数列，.