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1、第39讲 双曲线1双曲线的定义(1)平面内与两个定点，()的距离之差的绝对值为非零常数()的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点(2)集合，其中为常数且.当时，点的轨迹是双曲线；当时，点的轨迹是两条射线；当时，点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围或，或a，对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点，渐近线离心率，实、虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长的关系()题型一：双曲线定义1（全国高二课时练习）已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（
2、）ABCD【答案】B【详解】不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，由角平分线性质知：，根据双曲线的定义，从而，在中，为其中位线，故.故选：B.2（山西平城大同一中高二月考）若双曲线：的左右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）A26或6B26C6D28【答案】B【详解】因为双曲线方程为：，所以，则，又，所以点P在双曲线E上的左支上，由双曲线的定义得，解得，故选：B3（江苏海陵泰州中学高二月考）已知，分别是双曲线的左右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）A8BC16D【答案】C【详解】因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以.故选：C4（
3、全国）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线左支交于两点，且，那么的值是（ ）A21B30C27D15【答案】C【详解】由题意可知，两式相加得，即.故选：C5（浙江高三专题练习）如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）ABCD【答案】D【详解】设，由点为椭圆上的点，可得且，即，又由四边形为矩形，所以，即，联立方程组，解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，即，所以双曲线的离心率为.故选：D.6（全国）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）A9B5C8D4【答案】A【详解】设右焦点为，则，依题意，有，（当在线
4、段上时，取等号）故的最小值为9.故选：A.7（全国）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线【答案】C由题意，知，当时，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线故选：C.8（全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）A双曲线B射线C线段D双曲线的一支或射线【答案】D【详解】两个定点的距离为，当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；当，即时，点的轨迹为射线；不存在的情况综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线故选：D题型二：
5、双曲线标准方程1（全国）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）ABC1D或1【答案】D【详解】因为双曲线的焦点在横轴上，所以由题意可得：，故选：D2（全国）双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ）A2B4C5D8【答案】D【详解】由，知，所以左顶点与右焦点间的距离为故选：D.3（全国）方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】因为方程表示双曲线，所以，即，解得：.故选：A.4（山西临汾（理）若方程需表示双曲线，则的取值范围是（ ）A或BCD【答案】A【详解】若方程需表示双曲线，则，解得或.故选：A.5（全国）若方程1表示双曲线，则的取值范围是（ ）A(2，2)B(0，)C
6、0，)D(，22，)【答案】A【详解】由题意，方程1表示双曲线，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.6（福建龙岩高二期末）“”是“方程表示双曲线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若方程表示双曲线，则，得，则能推出，不能推出，“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A7（全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）ABCD【答案】C【详解】设双曲线的方程为：，半焦距为.则，则，故，所以双曲线的标准方程为故选：C.8（全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端
7、点为，且，则双曲线方程为（ ）ABCD【答案】C【详解】依题意，所以双曲线的方程为.故选：C9（全国高三专题练习（理）已知双曲线1（）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）A1Bx21C1Dx21【答案】A【详解】因为双曲线1（a0，b0）的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的标准方程为1.故选：A10（江西上高二中高二期末（理）已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】C【详解】由椭圆可得，所以，可得，所以椭圆的长轴端点为，焦点为所以双曲线的焦点为，顶点为设双曲线方程为，可得，所以，所以双曲线的方程为，
8、故选：C.题型三：离心率1（全国高二课时练习）已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以双曲线的离心率故选：C.2（广西高三开学考试（理）已知，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且；则的离心率为（ ）A1B2C3D4【答案】B【详解】.故选：B3（富宁县第一中学（文）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【详解】渐近线为，即，.，.故选：D4（贵溪市实验中学高三月考）已知双曲线：，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D4【答案】C【详解】双曲线方程，.故选：C.5（合
9、肥艺术中学 高二期中（理）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）ABCD【答案】C【详解】双曲线的一条渐近线方程为，离心率.故选：C.6（广东高州）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（ ）A1B4或1C3D4【答案】D【详解】显然，又，解得故选：D7（浙江省普陀中学高三开学考试）双曲线，则其离心率为（ ）ABC2D【答案】A【详解】由双曲线的方程为，可得， 离心率，故选：A.8（云南省南涧县第一中学（文）双曲线的离心率为（ ）AB3CD【答案】D【详解】因为，所以.故选：D9（全国高二课时练习）双曲线的离心率不大于的充要条件是（）ABCD【答案】B解：因为双曲线的离心率不大于，所
10、以解得：0m1故选：B10（浙江湖州高二期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率的值为（ ）AB2CD4【答案】C【详解】由题意知：，即，.故选：C题型四：焦点三角形1（赤峰二中高二期末（文）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于ABC6D10【答案】C【详解】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.2（全国高二课时练习）已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为()ABCD【答案】C【详解】.3（全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）A1B2C4D【答案】D【详解】设，
11、.由，的面积为，可得，由离心率为，可得，代入式，可得.故选：D.4（全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，则的周长的最小值为（ ）ABCD【答案】A【详解】设双曲线的左焦点为，则由题可知，的周长为当，三点共线时，最小，最小值为，的周长的最小值为故选：A5（湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【详解】设因为，且，所以，由双曲线的定义得：，因为，所以，解得，所以在中，即，解得，故选：D6（安徽省岳西县店前中学高二期末（文）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）A2BC4D【
12、答案】C【详解】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.7（安徽安庆高三月考（理）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）ABCD【答案】A【详解】，因为，所以，.故选：A8（河南高三开学考试（理）双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【详解】如图所示：由对称性可知，因为的周长为，所以，又，所以，因为为的中点，所以，则为等边三角形，所以，又因为，所以在中，所以，即双曲线的渐近线方程为故选：B9（浙江温州高二期末）设为双曲线：上的点，分别是双曲线的左，右焦点，则的面积为（ ）ABC30D15【答案】D【详解】解：由，得，则，所以，设，则，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以，得，所以，得，所以，所以，所以的面积为，故选：D10（新安县第一高级中学（文）如图，是双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】A【详解】设， ,，,由可得代入式化简得：,所以双曲线的渐近线方程为.故选：A