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1、第28讲等差数列1、等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2、等差数列的四种判断方法定 义 法 勺+(或 者%-。1=(2 2)(是常数)0/是等差数列.(2)等差中项法：2 a“=%_ 1+%+|(2 2)(w N*)=%是等差数列.(3)通项公式：勺=p+q(P，4为常数)=%是等差数列.(4)前项和公式：Sn=/+8(4 8为常数)o an是等差数列.3、若等差数列%的公差为d,则d 0时%递 增;d 0时%递 减;d =0时 4是常数数列.4、对于任意数列%,%为 递
2、 增 数 列=。川一。“20；(。用 一0时，数列/严格递增)*为递减数列0。,用一。“K 0；(。川乙 0时，数列%严格递减)5、等差数列前项和公式：S,=峋*)；S“=叫+-(-1)0(1)若%0,1 0,5“有最大值,可由不等式组 八来确定；&+1 W 0an 0(2)若/06“有最小值,可由不等式组 八来确定(3)求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数，通过配方求最值题型一：等差数列通项公式11.（2 0 2 1 宁德市第九中学高二月考）已知等差数列 的前项和为S”，若 5 7=1 4,4 =1。，则 的公差为（）A.4 B.3 C.2 D.12.（2 0 2 1 全国
3、高二单元测试）在数列。中，q=1,+-3 =4 ，若=2 0 2 0,则=（）A.6 71 B.6 72 C.6 73 D.6 743.（2 0 2 1 江西南昌高三开学考试（理）设S,为数列 4 的前项和，若 q=，5%=54+2,则S$=（）A.B.C.1 0 D.5 5 54.（2 0 2 1 北京牛栏山一中）己知数列%中，=2,4+产,-2,则等 于（）A.-1 2 B.1 2 C.-1 6 I）.1 65.（2 0 2 1 庆阳第六中学高一期末）已知等差数列%的前项和为S“，若$3=1 2,%=1 0,则%的公差为（）A.4 B.3 C.2 D.1题型二：等差中项1.（2 0 2 1
4、 全国高二单元测试）在等差数列%中，生+以=1 8-4,则为+6=（）A.8 B.1 2 C.1 6 D.2 02.（2 0 2 1 北京房山）8,2的等差中项是（）A.5 B.4 C.5 D.43.（2 0 2 1 ,全国）等差数列1 +x,2+2 x,l +5 x,.的第四项等于（）A.1 0 B.6 C.8 D.1 24.（2 0 2 1 江西省铜鼓中学（文）已知%是等差数列，且 4+1是和4的等差中项，则 q 的公差为（A.1 B.2 C.-2 D.-1题型三：等差数列性质1.（2 0 2 1 四川省资中县第二中学（理）在等差数列%中，6=2,%+%=1 0,则%=（）A.1 4 B.
5、1 2 C.1 0 D.82.（2 0 2 1 西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列%中，若生+4=1 ，牝=9,则 须=（）A.2 0 B.2 4 C.2 7 D.2 93.（2 0 2 1 全国高二课时练习）设。是等差数列，且 4 +。2 +。3 =+。3+。4 =2 ,则 应+四+仆 二（）A.5 B.6 C.1 6 D.3 24.（2 0 2 1 贵州大学附属中学高一月考）等差数列也 的前?（m w N+）项和为3 0,前2 加项和为1 0 0,则前3 加项和 为（）A.1 3 0 B.1 70 C.2 1 0 D.2 6 05.（2 0 2 1 宁德市第九中学高二月考）已知等差
6、数列%满足2 =7,4 =3,工是数列%的前项和，则使S“取最大值的自然数是（）A.4 B.5 C.6 D.726.（2021 新蔡县第一高级中学高二月考（文）已知等差数列 a,色,的 前 项 和 分 别 为%，若楙=若，则=（）aA 31 34 c 35 n 37A.B.C.D.17 17 16 167.（2021 江西九江一中高一期末）已知两个等差数到 4 和 ,的前项和分别为S”和（,，且 率=上 三，则*=+1%（）A.3 B.4 C.5 D.68.（2021 江西省莲花中学高一月考）S“是等差数列 勺 的前项和，且凡。5 9 9.则S,0，&+%0,%+%0,则使数列%的前项和，0,
7、0的最小正整数的值是（）A.8 B.9 C.1 0 D.1 12.（2 0 2 1 贵州贵阳一中高三月考（文）已知等差数列 a,的前项和为邑，且有的=-8,6=1,则S,的最小值 为（）4A.-40B.-3 9C.-3 8D.-1 43.（2 0 2 1 双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列 6,的通项公式为%=9-2，则其前项和S“的最大值为（）A.1 5 B.1 6 C.1 7 D.1 84.（2 0 2 1 河南高二月考（文）在等差数列 叫 中，出=-7,%+%+4 =3.（1）求”“的通项公式；（2）求 4 的前项和S,及S,的最小值.5.（2 0 2 1 全国）设等差数列%满足4
8、 =5,%0 =-9.（1）求”“的通项公式；（2）求 的前项和S,及使得S“最大的自然数”的值.6.（2 0 2 1 皮山县高级中学高一期中）已知等差数列 6 中，%为=T6,%+。6=0,求（1）求。”的通项公式；（2）q 的前项和S,.5题型六：已知S”和对关系1.（2 0 2 1 广西平果二中高一期中）已知5.是等差数列%的前w 项和，且,=-2 2 +1 5”.（1）求数列 见 的通项公式；（2）为何值时，S,取得最大值并求其最大值.4 52.（2 0 2 1 全国高二专题练习）设数列 4 的前项和为S,已知q=4,S=|/z2+|r t,.求数列 叫 的通项公式；3.（2 0 2
9、1 南 昌市豫章中学高三开学 考 试（理）已知数列也,的前项和为S“=/+g .求数列 6,的通项公式；4.（2 0 2 1 浑源县第七中学校高三模拟预测（理）已知数列%的前项和为5“，且满足S,-g a“+g =0,”eN*.求数列 对 的通项公式；65.(2 0 2 1 山东高三专题练习)已知正项数列 叫的前项和为S“，且见和，满足：S“=：(%+2)2(eN)求 4 O的通项公式；7第28讲等差数列1、等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母”表示.2、等差数列的四种判断方法(
10、1)定义法=(或 者%-。1=(2 2)(4 是常数)0%是等差数列.(2)等差中项法：2 an=an_t+an+l(n 2)(e N*)=是等差数列.(3)通项公式：=。+4(。，4 为 常 数)=%是等差数列.(4)前项和公式：S“=/2 +8 (4 8 为常数)=是等差数列.3、若等差数列 ,的公差为4 则d 0时 凡 递增；d 0 时，数列 ,严格递增)%为递减数列0%+a”K0；(%+4 0,”0,S“有最大值,可由不等式组 八来确定：口 川w oa.0(2)若为 0,5 有最小值,可由不等式组 八来确定(3)求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数，通过配方求最值题型
11、一：等差数列通项公式1.(2 0 2 1 宁德市第九中学高二月考)已知等差数列 对 的前项和为邑，若$7=1 4,4 =1 0,则 对 的公差为()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A8【详解】由题设,S7=7a.+2 W =1 4=1。,解得a=-1 0d=4故选：A2.（2 0 2 1 全国高二单元测试）在数列 4 中，q=l,an+l-3=an,若%=2 0 2 0,则”=（）A.671B.672C.673D.674【答案】I）【详解】卬=1，4+|-3=3,数列 4 是 以 1 为首项，3为公差的等差数列,，=%+(一 l)d =1+3 -1 )=2 0 2 0 ,解得n=674.
12、故选：D.3.（2 0 2 1 江西南昌高三开学考试（理）设S”为数列”“的前项和，若5%=5%+2,则S s=（A.生5D 46B.5C.1 0【答案】C【详解】解:因 为 5。用=5%+2,所以有。向=。”+|，即数列%是以1为首 项,以1为公差的等差数列,所以5 x 4 2S,=5a,+r f =6+1 0 x-=1 0.5 1 2 5故选：C.4.（2 0 2 1 北京牛栏山一中）已知数列“中，q=2,0 用=%-2,则等 于（）A.-1 2B.1 2C.-1 6D.1 6)【答案】A【详解】解：数列 4 中，4=2,an+=a-2 ,E|1 a+l-a=-2所以数列 “为等差数列，公
13、差为-2,所以%=-2 +4,所以 4=-2X8+4=T 2.故选：A.5.（2 0 2 1 庆阳第六中学高一期末）已知等差数列%的前项和为S ，若邑=1 2,%=1 0,则 4 的公差为（)A.4B.3C.2D.1【答案】B9【详解】由号=3（卬；&）=3 2 =2,得=4.又。4=1 0，所以=幺口=比 4=3.2 2故选：B题型二：等差中项1.（2021全 国高二单元测试）在等差数列“中，a2+a6=18-a,0,则为+6=（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【详解】由题意，数列%为等差数列，结合等差数列的性质得，生+%+%。=3 6=1 8,贝!6=6,所以/+。8 =6
14、=1 2.故 选:B.2.（2021北京房山。8,2的等差中项是（）A.5 B.4 C.5 D.4【答案】C【详解】Q I 78,2的等差中项 为 手 =5.2故选：C3.（2021全国）等差数列1 +x,2 +2 x ,l +5 x,.的第四项等于（）A.10 B.6 C.8 D.12【答案】C【详解】解：由题意可得,（l+x）+（5 x+l）=2（2 x+2）解得x=l二这个数列为2,4,6,8,.故选C.4.（2021江西省铜鼓中学（文）已知 见 是等差数列，且 叼+1 是和小的等差中项，则%的公差为（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】B【详解】设等差数列 对 的公差为d.由已
15、知条件，得“1+4 4 =2（%+1），即 q+（q+3 d）=2（q+l）,解得 d=2.10故选B.题型三：等差数列性质1.（2 0 2 1 四川省资中县第二中学（理）在等差数列 4 中，6=2,/+。5=1 0，则=（）A.1 4 B.1 2 C.1 0 D.8【答案】D【详解】由等差数列的性质有q +%=%+%=10，则%=8.故选：D2.（2 0 2 1 西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列 勺 中，若生+6 =1 0,牝=9,则囚。=（）A.2 0 B.2 4 C.2 7 D.2 9【答案】D【详解】解：%+“6=2。4=1，所以。4=5,又%=9,所以-“4=4,所以=%+
16、5 =9 +2 0 =2 9 ,故选：D3.（2 0 2 1 全 国高二课时练习）设。“是等差数列，且 4 +%+“3=1，。2+。3+“4=2 ,贝 1。6+%+。8=（）A.5 B.6 C.1 6 D.3 2【答案】B【详解】设等差数列 叫 的公差为d,因为 q +%+%=1，2+%+%=2 ,可得 3 d=（。2+。3+4 4）-（+。2+。3）=1，解得=又由。6+。7+8=（4 +出+3）+1 5 =1 +1 5 X J =6.故选：B.4.（2 0 2 1 贵州大学附属中学高一月考）等差数列%的前，meN j 项和为3 0,前2,项和为1 0 0,则前3 m 项和 为（）A.1 3
17、 0 B.1 70 C.2 1 0 D.2 60【答案】C【详解】.4为等差数列，殷 同/-旬 .-%,成等差数列，即3 0,70,S31n-1 0。成等差数列,3 0+S3 m-1 0 0-70 x 2,11解得S 3 加=2 1 0.故选：C.5.（2 0 2 1 宁德市第九中学高二月考）已知等差数列 勺 满足。2 =7,%=3,S,是数列 叫 的前项和，则使5,取最大值的自然数 是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【详解】设等差数列“,的公差为4 依题意，：工，解得：4=9,d =-2,于是得4=9 +（-1）（-2）=-2 +1 1,由%0 得,n 5,因此，数列%是递减等差
18、数列，其前5 项均为正，从第6 项开始为负，则其前5项和最大，所以使5,取最大值的自然数是5.故选：B6.（2 0 2 1 新蔡县第一高级中学高二月考（文）已知等差数列%,a 的前项和分别为S“，7；若则 詈=（）AA.3 1 DB.3 4 八C.3 5 nD.3 71 7 1 7 1 6 1 6【答案】A【详解】1 5/、gg la,4 +45，万 +*一 县=2 x 1 5+1 =3 1工=至=+九=；（&+如）=%=回2 F故选：A.7.（2 0 2 1 江西九江一中高一期末）已知两个等差数到。“和 也 的前项和分别为S.和且，=表 孑，则 年=（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】
19、D【详解】依题事山I ）总上4 2 bs 伪+a|+3 T,9+1故选：D8.（2 0 2 1 江西省莲花中学高一月考）S,是等差数列。“的前项和，且工。（）599.则5“0 时，的最12大 值 为（）A.197 B.198 C.199 D.200【答案】B【详解】解:因为 SJM ,即 S 0 c-S 98=40（,+。99 c 0 ,S|0 G-$99=60 0 0,所以。99 0,所以$=型 止 域=9/。0,九$=198（.+a.=198ahM,+%）0,故S.0,%+%0，as +ag0,即。6 0，又由。5+。8 =%+%，为 0,%+如 0,则使数列 4 的前项和S,0,%+。8
20、=5+。6 ，/.4 0，%=6 +4 0。，S 9 o,$0,使数列M，的前项和S“0,S1 8 O,则q+4 7 0，得。9 0，而S 8 0，所以。1+%8 0，即出+。0 0,所以q（）0；若 S17 c。,得出 0,所以+6 0，所以。8 0；若$=0,则 +%7=0,得。9=0.13所以数列 可 各项中取值为正数的有8 项或9 项,故选：A.题型四：等差数列前项和1.（2021 全国高二课时练习）在等差数列 q 中，若$0=1 2 0,则为+囚。的 值 是（）A.12 B.24C.36 D.48【答案】B【详解】由瓯=竺 出 产，付 S,n 120=24,故选：B2.（2021 全
21、国高二课时练习）已知公差不为0 的等差数列 4 满足S,为数列 ,的前项和，则称二号的 值 为（）A.-2 B.-3 C.2 1）.3【答案】B【详解】设公差d 不为0 的等差数列 对 满足则（q+2dy=%（q+3d）,整理可得 q =T d N 0.则S7-S5 _ 6 +%_ 2q+1 Id _ 3d S3 4+%2%+7 d-d故选：B.3.（2021 全国高二专题练习）已知“,为等差数列且q=l,6+%=2 4,5.为其前项的和，贝峪 =（）A.176 B.182 C.188 1）.192【答案】D【详解】=4=1,a4+an=24,224+3d+q+12d=2+15d=24 d ,
22、c I I,16x15 22 s r=lx 16H-=192,16 2 15故选：D.4.（2021 全国高二课时练习）己知等差数列%满足：。3 =7，%+%=2 6,%的前项和为S“.求 及 S“；n【答案】句,=2+1,S i 5+2）；罚.14【详解】(1)设等差数列仿)的首项为当，公差为&由于 国=7,必+备=2 6,.司 +24=7,2a+10d=26,解得当=3,d=2.:%=2+1,$=(+2).5.(2021 广西南宁高一月考)记S,为等差数列%的前项和，已知q=-7,S3=-15.求公差d 及 4 的通项公式：【答案】(1)d=2,%=2-9：【详解】(1)设 与 的公差为，
23、由题意得3q+3d=7 5.由 =-7 得=2.所以 q,的 通 项 公 式 为%=2-9.6.(2021 全 国高二课时练 习)已知等差数列 ,中，6=1,a,-a2=i.(1)求数列%的通项公式;(2)求数列%的前项和S.【答案】(1)an=n.(2)=也.【详解】(1)因为等差数列。中，首项为4=1，公差为=%-%=1，所 以 其 通 项 公 式 为=1+(-1)=;(2)由(1)可得，数列 对 的前项和S,=(4；%)=岑11.7.(2021 全 国高二单元测试)已知 对 是等差数列，其中 =3 1,公差”=-8,(1)求%的通项公式.(2)求数列%前项和.【答案】(1)=39-8；(
24、2)S,=35-42.【详解】(1).对 是等差数列，口q=31,d=-8,=31+(n-l)x(-8)=39-8/J；G (q+a“)+39-&?)2(/)d=-=-=JJ7-4?.2 2题型五：等差数列前项和s“最大(小)问题1.(2021 全 国高二课时练 习)设等差数列 a,的前项和为S,若=3，S“S g=3,则使a“0 的最小正整数的值是()15A.8B.9C.1 0D.1 1【答案】C【详解】设等差数列 aj 的公差为d,由 W=3,得 au+a)+/=3,即 3a9=3,解得国产1,于是得囱+9小1,而 ai a8=3庐3,即 庐 1,则有句=-8,从而得等差数列E,的通项公式
25、为：a.=-9+，由-9+0 得 9,而是正整数，则m i n =1 0，所以使斗 0的最小正整数n的值是1 0.故选：C2.(2 0 2 1 贵州贵阳一中高三月考(文)己知等差数列 4 的前项和为S”，且有。3=-8,4 =1，则S”的最小值 为()A.-40 B.-39 C.-38 1).-1 4【答案】A【详解】因为 的=-8,ab=,所以=3,a=-1 4,所以 a“=3-1 7,17由。“=3-1 740 得所以前5项和最小，S5=5q+l d=-70 +30 =-40 .故选：A3.(2 0 2 1 双峰县第一中学高三开学考 试)已知等差数列 q 的通项公式为4=9-2，则其前项和
26、的最大值为()A.1 5 B.1 6 C.1 7 D.1 8【答案】B【详解】当 时，1 W 44,可得 S&最大，54=笔 上 D=1 6.故选：B4.(2 0 2 1 河南高二月考(文)在等差数列。中，生 =-7,牝+%+%=3.(1)求%的通项公式；(2)求%的前项和S,及 S”的最小值.【答案】(1)a=2 -1 3；(2)S=n2-i2 n,-36.【详解】(1)设 ,的公差为d,j%=q +2 d=-7,根 据 题 意 得 3 1+%+=3q+1&/=3,16解得a=-U9d=2所以 a,=-l l +2(-l)=2-1 3.(2)根据等差数列的前项和公式得S“=-1 1 +如 二
27、D x2=2-2“2则当 =6时，S”取得最小值-36.5.(20 21 全国)设等差数列%满足%=5,%。=一9(1)求“的通项公式;(2)求。”的前项和S,及使得S”最大的自然数的值.【答案】(1)a=1 1-2/7,n e N；(2)&二一(巾5)2+25,炉5.【详解】解(1)由%=0+(/ri)d及？=5,团0=-9,得a+2d=5a+9d=-9解得q=9d=2所以数列 4 的通项公式为-3-1 1-2/7,n e；v.(2)由(1 )知，5尸 司 十2色6 1 0/7-/?2.2因为 =-(/?-5)?+25,所以当犷5时，S,取得最大值.6.(20 21 皮山县高级中学高一期中)
28、已知等差数列。中，%=T 6,aA+ab=0,求(1)求 a j的通项公式;(2)4的前项和S”.【答案】(1)。=1 0-2 或=2-1 0 ；(2)S =(-9)或S“二 一 (一9).【详解】解：(1)设%的公差为d,因为=-1 6 ,&+必=0 =%+%，解得%=4,%=-4或%=_4,a7=4.所以q+2d=4a,+6d=-4,或q+2d=-4q+64=4解得q=-8d=2尸2或所以=8-2(n-l)=1 0-2n,或勺=-8+2(九-1)=2-1 0 .(2)由(1)可得:二8或a1=-8d=217所以 s“=-8 +(；x 2=(-9),或 S,=8 +。；X(-2)=-n(n-
29、9).题型六：已知S”和耳关系1.(20 21 广西平果二中高一期中)已知5“是等差数列%的前项和，且J=-22+1 5.(1)求数列 七 的通项公式；(2)为何值时，S,取得最大值并求其最大值.【答案】(1)。“=1 7-4；(2)n=4时取得最大值28.【详解】(1)由题意可知:S=-2 n2+l 5 n,当 =1 时，f l,=-2+1 5=1 3,当2 时，=S-5 _I=-22+1 5 n-2(n-l)2+I 5(n-1)=1 7-4,当 =1 时，显然成立，.数列 4 的通项公式勺=1 7-4”；1 5 925(2)S=-2 n2+5n=-2(n-)2+,由 e N*，则=4 时，
30、S“取得最大值28,.当为4 时，S,取得最大值，最大值28.2.(20 21 全 国高二专题练习)设数列 对 的前项和为s，已知q=4,S=|n2+|/7,e N,.求数列 的通项公式；【答案】&=3+1；【详解】当 2 2 时，a=S-S,T=|2+|n-1(M-1)2-1 )=多 +1 ,当 =1 时，=3x1 +1 =4 也成立，综上所述，=3/7 +1.3.(20 21 南 昌市豫章中学高三开学 考 试(理)已知数列。“的前项和为S“=2+；.求数列MJ的通项公式；【答案】(1)%=2“-；(eN*)【详解】(1)解：由S“=2+；可得，=5,=|,当 *2 时，an=S“-S._
31、=2+；_(_ )-=2-；,式子对n=1 也成立.故数列%的通项公式为。“=2-1,(n e/V)4.(20 21 浑源县第七中学校高三模拟预测(理)已知数列 勺 的前项和为5“，且满足S,-g a“+m =0,”eN*.18求数列 q,的通项公式；【答案】(1)=4；【详解】/、4 4(1);数 列%满足S一=0 ,w N*,4 4，令 小 1,贝 IJS 1+=0 ,解得 =4.4 4当 心 2 时，s 5%+=o,则%=S“fl=(一 排 I 4%二数列%是首项为4,公比为4 的等比数列，则其通项公式为凡=4.5.(20 21 山东高三专题练习)已知正项数列 叫 的 前”项和为5“，且可和S.满足：5.=以 4“+2)2().求。“O的通项公式；案答117 7，TT I时2=GN1-8+:J,42=17当 2 2 且N CN*时，S i=g（q i +2）O.a“=S“-S”T =1&+2）2-9 4 i+2）2,o o整理可得：（%+a,T）（a,-%T）=4（4,+-）,；%，=4，数列 对 以 2 为首项，4 为公差的等差数列,/.an=2 +4（N-l）=4a-2（,?eN*）.19