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1、 数列的综合应用 考点对点练 保分必拿 考点一数列求和已知数列an 满足:当n且nN时,有anan()n则数列an 的前 项的和为()A B C D 在数列an 中,若a,a,ananan(nN),则该数列的前 项之和是()A B C D 数列an 的通项公式为anns i nn(nZ),前n项和为Sn,则S ()A B C D 已知等差数列an 中,aaa,a ,则数列anc o sn 的前 项的和为()A B C D 设Sn为数列an 的前n项和,Snn()nan,(nN),则数列Sn 的前项和为()A B C D 已知an l gnn(nN),若数列an 的前n项和Sn,则n已知数列an
2、 和bn 满足aaaanbn(nN),若数列an 为等比数列,且a,a,则数列bn()的前n项和Sn(全国高三课时练习(理)设数列an 满足a,且anann(nN),则数列an的前 项的和为 考点二数列的综合应用等比数列an 的首项为,公比不等于若a,a,a成等差数列,则数列an 前项的和为()A B C D 周髀算经 中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为 尺,前九个节气日影长之和为 尺,则小满日影长为()A 尺B 尺C 尺D 尺 九章算术 第三章“衰分”介绍比例分配问
3、题,“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例为“衰分比”如:已知A,B,C三人分配奖金的衰分比为,若A分得奖金 元,则B,C所分得奖金分别为 元和 元某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功,共获得单位奖励 元,若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金,且甲与丙共获得奖金 元,则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为()A ,元B ,元C ,元D ,元 已知“整 数 对”按 如 下 规 律 排 列:(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),则第 个“整数对”为()A(,)B(,)C(,)D(,)(多选)已知数列an,bn 满足ananbn,bnan
4、bn l nnn(nN),ab给出下列四个命题,其中的真命题是()A数例anbn 单调递增B数列anbn 单调递增C数an 从某项以后单调递增D数列bn 从某项以后单调递增 (北京卷,)在等差数列 an 中,a,a记Tnaaan(n,),则数列Tn()A有最大项,有最小项B有最大项,无最小项C无最大项,有最小项D无最大项,无最小项 已知数列an 满足a,n an(n)ann(n),且bnanc o sn,记Sn为数列bn 的前n项和,则S 已知函数f(x)axb的图象过点(,)和点(,),若数列an 的前n项和Snf(n),数列l o gan的前n项和为Tn,则使得Tn 成立的最小正整数n 已
5、知数列 an 的 前n项 和为Sn,且 满足:a,a,Snanan(nN),若不等式 Snan恒成立,则实数的取值范围是 素养提升练 高分必抢一、单项选择题若数列an 满足anan(nN),且a,则a ()A B C D 已知数列an 中,a,anan()nn(nN),则a ()A B C D 微点特训数学(新)2024届高考数学微点特训24 数列的综合应用数列an 中,an()nann,则数列an 前 项和等于()A B C D 若无穷数列an 的通项公式为annn,nN,则数列an 的项中()A有最小项,无最大项B有最大项,无最小项C既有最小项,也有最大项D既无最小项,也无最大项现有某种细
6、胞千个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由个细胞分裂成个细胞,按这种规律,小时后,细胞总数约为 ,小时后,细胞总数约为 ,问当细胞总数超过 个 时,所 需 时 间 至少 为(参 考数 据:l g ,l g )()A 小时B 小时C 小时D 小时已知数列满足a,anan,设数列l o g(an)的前n项和为Sn,若TnSSSn,则与T最接近的整数是()A B C D 已知等比数列an 的前n项和为Sn,若S,S,则数列n an 的前n项和为()A(n)nB (n)nC(n)nD(n)n大衍数列来源于 乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中
7、的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题该数列从第一项起依次是,记该数列为an,则aaaa ()A B C D 二、多项选择题(多选)设an 是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意nN,均有ankan,则称an 是间隔递增数列,k是an 的间隔数,下列说法正确的是()A公比大于的等比数列一定是间隔递增数列B已知annn,则an 是间隔递增数列C已知ann()n,则an 是间隔递增数列且最小间隔数是D已知annt n ,若an 是间隔递增数列且最小间隔数是,则 t 在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入
8、此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列将数列,进行构造,第次得到数列,;第次得到数列,;第n(nN)次得到数列,x,x,x,xk,;记an xxxk,数列an 的前n项为Sn,则()AknBananCan(nn)DSn(nn)三、填空题 今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨时 分有人进入公园,接下来的第一个 分钟内有人进去人出来,第二个 分钟内有人进去人出来,第三个 分钟内有 人进去人出来,第四个 分钟内有 人进去人出来,按照这种规律进行下去,到上午 时 分公园内的人数是 对于数列an,若m,nN(mn),都有anamn
9、mt(t为常数)成立,则称数列an 具有性质P(t)若数列an 的 通 项 公 式 为annan,且 具 有 性 质P(),则实数a的取值范围是 真题体验练 实战抢分(北京卷,)数列an 是递增的整数数列,且a,aaaan ,则n的最大值为()A B C D (新高考卷,)设正整数naaakkakk,其中ai,记(n)aaak,则()A(n)(n)B(n)(n)C(n)(n)D(n)n(新高考卷,)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为 d m d m的长方形纸,对折次共可以得到 d m d m,d md m两种规格的图形,它们的面积之和S d m,对折
10、次共可以得到d m d m,d md m,d md m三种规格的图形,它们的面积之和S d m,以此类推,则对折次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么nkSk d m 微点特训数学(新)SS,m Sn S,a(q)q a(q)q,ma(q)qna(q)q,(qq)(q),解 得q或nmq或 C,成公比为的等比数列,),因为等 比 数 列 中 每 一 项 都 不 为 零,所 以,s i n,s i n,s i n也成等比数列,s i ns i ns i n,即s i ns i ns i n,把选项中的值代入以上等式进行检验,得到,合题意,故选C D 设等比数列an 的 公比 为q,
11、若aa,则aaq,q,q,aa或aa,故A不正确;若aa,则aqa,所以aaaqaqq(aqa),当q时,aa;当q时,aa,故B不成立若a,a,则aaaaa|a|,当且仅当aa,即q时取等号;若a,a,则aa (a)(a)aaa|a|,当且仅当aa,即q时取等号,故C不正确;因为aaaq()(aq)a,当且仅当aq()(aq),即q时取等号,故D正确 B 由题意,ana qn,则bna(qn)qa qa qnq,得cnaq()naqq(qn)qa q(q)qaqna qn(q),要 使 cn 为 等比 数列,必有a q(q)qaq,得aq,aq,故选B Cn时,因为anSnSn,所以SnSn
12、SnSn,所以SnSn,所以Sn是等差数列,A正确;Sa,S,公差d,所以Sn(n),所 以Snn,B正 确;a不 适 合ann(n),C错误;Snn,数列n是等比数列,D正确 A C D 设等比数列的公比为q,则aaaqaq,当a,q时,aaa,故A不正确;aaaq()(aq)a,aaa当且仅当aa时取等号,故B正确;若aa,则aaq,q,q,aa或aa,故C不正确;若aa,则aqa,aaaq(q),其正负由q的符号确定,故D不正确 A B D 因为ananan(n),所以anananan(anan),又aa,所以anan 是等比数列,A正确;同理ananananananan(anan),而
13、aa,所以anan 是等比数列,B正确;若ann()n,则a(),但a,C错;由Aanan 是等比数列,且公比为,因此数列aa,aa,aa,仍然是等比数列,公比为,所以S(aa)(aa)(a a)()(),D正确 由 题 意 得Sn()n()()n,当n为奇数时,Snn,故Sn单调递减,可得Sn;当n为偶数时,Snn,故Sn单调递增,可得Sn所以Sn,且Sn设tSn,则f(t)tt在,和,(上均单调 递 增所 以f(t)m i nf(),f(t)m a xf(),即SnSn的最大值为,最小值为的比值为,故SnSn的最大值与最小值的比值为 n 因为aann,所以a,若a,那aaa矛盾,若a,那么
14、aaa成立,若a,那aaaa矛盾,所以ab,当aananan,所以bnanananbn,即bnbn,数列bn 是首项为,公 比 为的 等 比 数 列,所 以 前n项 和 为b(qn)q()n 真题体验练 实战抢分A若an 是等比数列,则连续n项的和也成等比数列,所以有S,SS,SS也成等比数列,所以有(SS)S(SS)()(S)S,故选A微点特训 数列的综合应用考点对点练 保分必拿 A 当n且nN时,有anan()n可得aa,aa,aa,a a ,则数列an 的前 项的和为:(aa)(aa)(a a )C 因为a,a,an an an(nN),所以a,a,a,a,a,a,a,所以an 是周期为
15、的周期数列,因为 ,所以S ()()故选C Ca,a,a,a,考虑到ys i nn的周期为,所以S ()()D 设an 的公差为d,则有a da d,a d ,解得a,d,所以an n,设bnanc o sn,则bbac o s ac o s ,bbac o s ac o s ,所以数列anc o sn 的前 项的和为(bb)(bb)(b b )(b b )故选D微点特训数学(新)BSnn()nan,n时,Sa,即aa,a,由已知Sn()nann,n时,anSnSn()nann()nann()nan()nann(),()式中n为偶数时,ananann,ann,此时n为奇数,n为奇数时ann()
16、式中n为奇数时,ananann,ann an,即an n()nn,此时n为偶数,n为偶数时,ann,ann,n为奇数n,n为偶数,由Sn()nann,得n为奇数时,Snnn,n为偶数时,Snnn,数 列 Sn的 前项 和 为()()()()因为an l gnn l g(n)l gn,所以Snaaaan(l g l g)(l g l g)(l gl g)l g(n)l gn l g(n),因此n ,即n nn 因为an 为等比数列,且a,a ,所以公比qaa ,所以an n,所以aaaan n nn(n),因为aaaanbn,所以bnn(n)所以bnn(n)nn()所以bn()的 前n项 和Sn
17、bbbbnnn()n()nn 数列an 满足a,且anann(nN),当n时,an(anan)(aa)ann(n)当n时,上式也成立,ann(n)ann(n)nn()数列an的前n项的和Sn()()nn()n()nn 数列an的前 项的和为 故答案为 B 设等比数列an 的公比为q,由a,a,a成等差数列,得aaa,即aq aqa,所以qq,解得q(q舍去)所以数列an 的前项的和S()()B 设各节气日影长依次成等差数列an,Sn是其前n项和,则S(aa)a ,所以a,由题知aaaa ,所以a ,所以公差daa,所以a ad,故选B B 设“衰 分 比”为q,甲 获 得 的 奖 金 为a,则
18、aa(q)a(q)a(q)aa(q),解得q,a ,故a(q)C 设“整数对”为(m,n)(m,nN),由已知可知点列的排列规律是mn的和从开始,依次是,其中m依次增大当mn时只有个(,);当mn时有个(,),(,);当mn时有个(,),(,),(,);当mn 时有 个(,),(,),(,);其上面共有 ()个数对所以第 个“整数对”为(,),第 个“整数对”为(,)B C D 因为ananbn,bnanbn l nnn,所以anbnanbn l nnn,当n时,abab l n,所以abab,所以A错误;anbn(anbn)l nnn,anbn l n(n)(anbn l nn),所以anb
19、n l nn 是等比数列,anbn(ab)n l nn,所以B正确;ananbnan l nn(ab)n,故an an l nn(ab)n ,C正确;因为bnbnanbn l nnn,所以bnbn l n(n)l nn(ab)n,根据指数函数性质,知数 列从 某 一 项 以 后 单 调 递 增,所 以D正 确,故B C D B 由题意可知,等差数列的公差daa,则其通项公式为:ana(n)d(n)n,注意到aaaaaaa,且由T可知Ti(i,iN)由TiTiai(i,iN)可知数列Tn 不存在最小项,由于a,a,a,a,a,a,故数列Tn 中的正项只有有限项:T,T 故数列Tn 中存在最大项,
20、且最大项为T n an(n)ann(n),annann,数列ann是公差与首项都为的等差数列ann(n),可得annbnanc o sn,bnnc o sn,令nk,kN,则bk(k)c o s(k)(k),kN,同理可得bk(k),kN,bk(k),kNbkbkbk(k)(k)(k)k,kN,则S()微点特训数学(新)函数f(x)axb的图象过点(,)和点(,),可得ab,ab,解 得a,b;数列an 的前n项和Snf(n)n,可知a,q,ann,l o gann,数 列l o gan的前n项和为T nn(n),Tn,即nn ,可得n(n 舍去)使得Tn 成立的最小正整数n (,)由题知,当
21、n时,有Snanan,Snanan,两式相减得anan,又a,a,a,均有anan对任意nN成立,an n,Snn,anSn n 恒成立只需 n 的最 大 值,当n时,右 式 取 得 最 大 值,素养提升练 高分必抢 B 由anan(nN),则anan(nN),即anan,所以数列an 是以为首项,为公差的等差数列,所以ana(n)d(n)n,所以a D 由题意,数列an 中,a,anan()nn(nN),则aa,aa,aa,a a ,各式相加,可得a a ()()()()()()(),所以a a B 因为an()nann,所以aa,aa,aa,aa,aa,aa,a a ,a a ,所以aa,
22、aa,a a ,所以从第一项开始,依次取个相邻奇数项的和都等于,从第二项开始,依次取个相邻偶数项的和构成以为首项,以 为公差的等差数列,以上式子相加可得,S aaa(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)(a a),故选B Cannnel nnn,令f(x)l nxx,则f(x)l nxx,易知f(x)在(,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,故有aa,aa,又,故a为最大项,当n时,l nnn,此时ane,故a是最小项 C 记第n个小时后细胞个数为an,则anananan,a ,an 是等比数列,an ()n()n,由an()n ,得()n,nl g,nl gl g l g C 由题意,a
23、n an(an),所以an an,所以an 为以a为首项,为公比的等比数列,所以an(a)nn,因此l o g(an)n,数列l o g(an)的前n项和为Snn(n),Snn(n)nn(),TnSSSn nn()n()所以T所以与T最接近的整数是 D 设等比数列an 的公比为q,易知q,所以由题设得Sa(q)qSa(q)q,两式相除得q,解得q,进而可得a,所以anaqnn,所以n annn设数列n an 的前n项和为Tn,则Tnnn,Tnnn,两式作差得Tnn nn n nn(n)n,故Tn(n)n B 奇数项分别为,即,ann(n为 正 奇 数),annnn(n为大于的奇数),aaaa
24、B C D A B D 由题意可知,第次得到数列,此时k第次得到数列,此时k第次得到数列,此时k第次得到数列,此时k 第n次得到数列,x,x,x,xk,此时kn所以kn,故A项正确;结合A项中列出的数列可得:a a a a ann(nN)用等比数列求和可得an(n)则an(n)nn,又an(n)nn所以anan,故B项正确;由B项分析可知an(n)(n)即an(nn),故C项错误Snaaaann()n(n)nnn(nn),故D项正确 设每个 分钟进去的人数构成数列an,则a,a,a,a,a,ann(n)设数列an 的前n项和为Sn,依题意,只需求S()()()微点特训数学(新)()()()()
25、,)由题意知,数列通项公式为annan,且 数列具有性质P(),anamnmnan()mam()nm,nan()mam()nm n nan()m mam()nm恒成立,数列n nan为单调递增数列,(n)(n)an n nan()恒成立,即an(n)(n),由数轴标根法作图(图略)可得:最大值在n,或上取得,当n时,n(n)(n),当n时,n(n)(n),当n时,n(n)(n),当n时,n(n)(n),故a 真题体验练 实战抢分 C 要想n最大,前面的项应该越小越好,前 项和为 超过了 ,故n的最大值为,如,选C A C D 考查新定义问题,主要是二进制各位数字和的运算,属于偏难的题目设naa
26、akak,则naakak,(n)(n)aaak,A正确;取n,()(),B不正确;naakak,naakak,(n)(n)(n),C正确;比较容易的判断是D选项,n可以看成数列,n的前n项和,翻译成二进制数就是(n个),所以各位数字和(n)n,正确;nn()对折次有 ,共种,面积和为S d m,对折次有 ,共种,面积和为S d m对折n次有n种类型,Sn n(n),因此nkSk nn(),nkSk nnnn(),因此nkSk nnn()nn(),所以nkSk nn()d m微点特训 空间几何体及其表面积和体积考点对点练 保分必拿 B 对于A,如图()符合条件但却不是棱柱;对于B,在图()所示的
27、正方体中,三棱锥BB C D的三个侧面都是直角三角形,故B正确对于C,如图(),其侧棱不相交于一点,故不是棱台对于D,如图(),以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥 B 当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为等腰三角形,此时()符合条件;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为双曲线的一支,此时()符合条件;故截面图形可能是()()AA OA O ,在R t A O B中,A B(),同理A C,又由题意可知,B C,所以A B C是等边三角形,故选A A 如图,正六边形是正六棱锥的底面时,等腰三角形是正六棱锥在的侧面,设侧棱S AS Bb,底面边长A Ba,底面内切圆半径O Cr,A S B,则O A B是等边三角形,ras i n a,侧面S A B中,abs i n,r bs i n,即br s i n s i nrhh 如下图所示:球心到截面圆的距离为Rh,由勾股定理可得(Rh)rR,化简得rhR h,解得Rrhh 微点特训数学(新)