2024届新高考数学小题微点特训13 导数的应用含答案.pdf

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1、 导数的应用 考点对点练 保分必拿 考点一利用导数研究函数的单调性函数f(x)xe l nx的单调递增区间为()A(,)B(,)C(,)和(,)D R已知f(x)xmxx在(,)单调递减,则m的取值范围为()A,B(,)C,D(,)已知函数f(x)xc o sx,则不等式f(x)f(x)的解集是()A,()B,()C(,),()D,()(,)(多选)已知函数f(x)x,g(x)xa x(其中aR)对于不相等的实数x,x,设mf(x)f(x)xx,ng(x)g(x)xx,下列说法正确的是()A对于任意不相等的实数x,x,都有m;B对于任意的a及任意不相等的实数x,x,都有n;C对于任意的a,存在

2、不相等的实数x,x,使得mn;D对于任意的a,存在不相等的实数x,x,使得mn已知f(x)是定义在(,)上的函数,f(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)(x)f(x),则下列结论中正确的是()Af(x)恒成立Bf(x)恒成立Cf()D当x(,)时,f(x);当时x(,),f(x)若函数f(x)(xa x)ex在R上单调递增,则a的取值范围是已知函数f(x)(xb)l nxx(bR)若存在x,使得f(x)xf(x),则实数b的取值范围是 考点二导数与函数的图象设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x处取得极小值,则函数yx f(x)的图象可能是()(多选)已知函数f(x

3、)的定义域为,部分函数值如表,f(x)的导函数yf(x)的图象如图下列关于函数f(x)的性质,正确的有()xf(x)A函数f(x)在,是减函数B如果当x,t 时,f(x)的最大值是,那么t的最大值为C函数yf(x)a有个零点,则aD函数f(x)在x取得极大值 已知函数yf(x)(xR)的图象如图所示,则不等式x f(x)的解集为 考点二利用导数研究函数的极值与最值 若函数f(x)xa xx在x时取得极值,则a()A B C D 函数f(x)l nxxx在,上的最小值为()A l n B C l n D 已知函数f(x)ef(e)l nxxe(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A e

4、 B eC D l n 已知函数f(x)l nxx和g(x)xxm的图象上存在关于原点对称的点,则实数m的取值范围是()A(,l nB,l n)C(l n,l nD l n,)若x是函数f(x)(xa x)ex的极值点,则f(x)在,上的最小值为微点特训数学(新)2024高考数学微点特训13 导数的应用 素养提升练 高分必抢一、单项选择题设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f()和极小值f()B函数f(x)有极大值f()和极小值f()C函数f(x)有极大值f()和极小值f()D函数f(x)有极大值

5、f()和极小值f()已知函数f(x)exexx,则不等式f(m)f(m)的解集为()A(,),()B,()(,)C,()D,()设f(x)是函数yf(x)的导函数,f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象最有可能的是()已知函数f(x)exas i nx在区间,()上有极值,则实数a的取值范围是()A(,)B(,e)C(,e)D,e()若函数f(x)对任意的xR都有f(x)f(x)恒成立,则()A f(l n)f(l n)B f(l n)f(l n)C f(l n)f(l n)D f(l n)与f(l n)的大小不确定已知f(x)是R上可导的图象不间断的偶函数,导函数为f(x),且当x时,满足

6、f(x)x f(x),则不等式exf(x)f(x)的解集为()A,()B,()C(,)D(,)定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(x)f(x),且其导函数f(x)满足f(x)x,则当a,有()Af(a)f(l o ga)f()Bf(l o ga)f()f(a)Cf(a)f()f(l o ga)Df(l o ga)f(a)f()已知定义在(,)上的函数f(x),f(x)为其导函数,满足xf(x)f(x)l nxx,且f(e)e,若不等式f(x)a x对任意x(,)恒成立,则实数a的取值范围是()Ae,B(e,)C(e,)De,二、多项选择题材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现

7、行的高等数学与数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的,如函数f(x)xx(x),我们可以作变形:f(x)xxel nxxexl nxet(txl nx),所以f(x)可看作是由函数f(t)et和g(x)xl nx复合而成的,即f(x)xx(x)为初等函数根据以上材料,对于初等函数h(x)xx(x)的说法正确的是()A无极小值B有极小值C无极大值D有极大值ee 已知 定 义 在,)上 的 函 数f(x)的 导 函 数 为f(x),且f(),f(x)c o sxf(x)s i nx,则下列判断中正确

8、的是()Af()f()Bfl n()Cf()f()Df()f()三、填空题 若函数f(x)k x l nx在区间(,)单调递增,则k的取值范围是;若函数f(x)在区间(,)内不单调,则k的取值范围是 已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f(x),满足f(x),f(),则不等式x f(x)xx的解集为 真题体验练 实战抢分(全国乙卷,)设a,若xa为函数f(x)a(xa)(xb)的极大值点,则()AabBabCa baDa ba(新高考卷,)函数f(x)|x|l nx的最小值为微点特训数学(新)B 由题得y(x)exa,所以y|xaa,所以a,所以f(x)xex,所以f()e,所以切点为(,

9、),将(,)代入切线方程得b,ab C 设公切线与函数f(x),g(x)分别切于点A(x,y),B(x,y),则过A,B的切线分别为:yxa()x l nx、yxxx,两切线重合,则有:l nxxxex代入xax得:exxa,构造函数:h(x)exx,h(x)xex,h()x,h(x),x,h(x),x,h(x),x,h(x)欲合题意,只须ah()a B 对于,f(x)f(x)xxx(x)xx,f xx(),满足f(x)f(x)xxf xx(),故为恒均变函数;对于,f(x)f(x)xxx x (x x)xx(xx)(xx)(xx)xxxx,f xx()xx()xx,满 足f(x)f(x)xx

10、f xx(),故为恒均变函数;对于,当x,x时,f(x)f(x)xxexexxxe,f xx()exx e e 即 此 时f(x)f(x)xxf xx(),故不为恒均变函数;对于,当x,x 时,f(x)f(x)xxc o sxc o sxxx,f xx()s i nxx()s i n,即此时f(x)f(x)xxf xx(),故不为恒均变函数 A C 对A,f(x)x(x)(x)x(x)x(x),故A正确,对B,f(x)ex ex,故B错,对C,f(x)(x)(x)(x)x所 以C正 确,对D,f(x)s i n x()s i n x(),故D错 A C 由题意得,曲线具有可平行性的条件是方程y

11、 a(a是导数值)至少有两个根 A由y xa(x且a),即xa,此方程有两个不同的根,符合题意;B由y x知,当y 时,x的取值唯一,只有,不符合题意;C由y c o sx和三角函数的周期性知,c o sxa(a)的解有无穷多个,符合题意;D由y xx(x),令xxa,则有x(a)x,当时解唯一,不符合题意 因 为h(x)xc o sx,所 以l i mxxc o sxl i mx x s i nx l i mx c o sx c o s 故答案为:由yf(x)xax(a),则f(x)xax(a),所以f()a(a),则在点(,a)处的切线方程为:y(a)(a)(x),即(a)xya,当y时,

12、xaa,当x时,ya,则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积:Saa|a|(a)a(a)(a)a(a)a (a)a ,当且仅当(a)a,即a时,等号成立 真题体验练 实战抢分 D用取极限的方法快速得到答案,注意到x时切线为y,x时切线为y,因此切线的交点位于第一象限,且在曲线yex的下方,故选D xy由 题y(x)(x)(x)(x),所以在点(,)处的切线的斜率k,故切线方程为y(x),即xy(,)在f(x)ex,xex,x中,f(x)ex,xex,x,f(x)f(x)exx;xx,|AM|BN|ex|x|ex|x|ex且x,ex(,),即|AM|BN|(,)微点特训 导数的应用考点对点练 保分

13、必拿 A 函数定义域为(,),f(x)ex,故单调增区间是(,)Cf(x)xmxx,f(x)xm x,要使函数f(x)在(,)单调递减,则f(x)在x(,)上恒成立,即xm x在x(,)上恒 成 立,则:f()f(),即:mm,解 得:m,则m的取值范围为,C 因为函数的定义域为R,f(x)(x)c o s(x)x c o sxf(x),所以函数f(x)为偶函数,当x时,f(x)x s i nx,f(x)c o sx,所 以f(x)x s i nx在,)单调递增,所以f(x)f(),所以函数f(x)在,单调递增,再根据函数是偶函数,所以函数f(x)在,)单调递增,在(,)上单调递减所以f(x)

14、f(x)等价于|x|x|,整理得:xx解得:x或x A D 对于A,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m,则A正确;对于B,由二次函数的单调性可得g(x)在(,a)递减,在(a,)递增,则n不恒成立,则B错误;对于C,若mn,可得f(x)f(x)g(x)g(x),即为g(x)f(x)g(x)f(x),设h(x)xa xx,则应有h(x)h(x),而h(x)xaxl n,当a,h(x)小于,h(x)单调递减,则C错误;对于D,若mn,可得f(x)f(x)g(x)g(x),即 为f(x)g(x)f(x)g(x),设h(x)xa xx,则应有h(x)h(x),而h(x)xaxl n,对于

15、任意的a,h(x)大恒大于或小于,即h(x)在定义域上有增有减,则D微点特训数学(新)正确,故选A D A 设g(x)(x)f(x),所以g(x)f(x)(x)f(x),所以函数g(x)在R上单调递增,又因为g(),所以x时,g(x),x时,g(x),所以x时,(x)f(x),所以f(x);所以x时,(x)f(x),所以f(x)所以f(x)恒成立故答案为A,f(x)exx(a)xa,由于ex恒成立且x系数为正,f(x)在R上单调等价于x(a)xa恒成立(a)(a),a,即a的取值范围是,()令g(x)x f(x),x,则g(x)f(x)x f(x)在x,上有解,所以x(xb),所以bxx在x,

16、上有解,设h(x)xx,x,所以bh(x)m a x,因为h(x)xx在,上为增函数,所以h(x)m a xh()所以b即实数b的取值范围是,()C 由题意,函数f(x)在x处取得极小值,可得f(),且函数f(x)在左侧附近为减函数,在x右侧附近为增函数,即当x时,f(x),当x时,f(x),从而当x时,yxf(x),当x时,yx f(x),当x时,yx f(x),对照选项可知只有C符合题意 A C 由导函数yf(x)的图像可知,f(x)在,上单调递增,在,上单调递减,在,上单调递增,在,上单调递减;故A正确;B如果当x,t 时,f(x)的最大值是,由函数单调性可知:t的最大值为,故B错;C函

17、数yf(x)a有个零点,即yf(x)图像与ya有个交点,由f(x)的定义域为,且f()f(),f()f()取得最大值为,所以a时,有两个交点,因此a;故C正确;D因为函数f(x)在,上单调递增,所以x处不可能取得极值,故D错,()(,)由yf(x)的图象可知f(x)在(,)和(,)上单调递增,在,()上单调递减,所以f(x)的解集为,()(,),f(x)的 解 集 为,(),由x f(x)得f(x)x或f(x)x,所 以x f(x)的 解 集 为,()(,)D 因为f(x)xa xx,所以f(x)xa x,又函数f(x)xa xx在x时取得极值,所以f()a,解得a Bf(x)xx(x)(x)

18、x,当x,()时,f(x),f(x),f(x)单调递增,当x,()时,f(x),f(x)单 调 递 减,所 以x,(),f(x)单调递增,x,(),f(x)单调递减,函数的最小值在f()l nl n ,f()中取得,l n ,所以最小值为 D 由题意知f(x)ef(e)xe,所以f(e)ef(e)ee,f(e)e,所 以f(x)xe,令f(x),得x e,所以f(x)在(,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(e)l n(e)l n,选D D 由题意可知f(x)g(x)有解,即方程l nxxxxm有解,即m l nxx有解设h(x)l nxx(x),则h(x)xxxx

19、,h(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,当x时,h(x)取得最小值h()l n h(x)的值域为 l n,)m的取值范围是 l n,)e f(x)(xa)ex(xa x)exexx(a)xa,则f()e(a),解得a,所以f(x)(xx)ex,则f(x)ex(xx)ex(x)(x)令f(x),得x或x;令f(x),得x所以f(x)在,)上单调递减;在(,上单调递增所以f(x)m i nf()e 素养提升练 高分必抢 D 由题图象可知,当x时,y(x)f(x),所以此时f(x),函数递增;当x时,y(x)f(x),所以此时,f(x),函数递减,当x时,y(x)f(x),此时f(x),函

20、数递减;当x时,y(x)f(x),此时f(x),函数递增,所以函数f(x)有极大值f()和极小值f()Af(x)exexxf(x),f(x)是偶函数,f(x)exexx,设g(x)exexx,则,g(x)exexexex,所以g(x)是增函数,x时,g(x)g(),即x时,f(x),所以在,)上,f(x)是增函数又f(x)是偶函数,所以不等式f(m)f(m)化为f(|m|)f(|m|),所以|m|m|,解得m或m C 从f(x)的图象可以看出当x(,),f(x),f(x)在(,)上为增函数;当x(,)时,f(x),f(x)在(,)上为减函数;当x(,)时,f(x),f(x)在(,)上为增函数,

21、符合的图象是C Df(x)exac o sx,由题意exac o sx在,()上有解,即aexc o sx在,()上有解,记g(x)exc o sx,g(x)ex(c o sxs i nx)c o sx,当x,()时,g(x),g(x)单调递增,g(),g()ec o s e,所以a e C 令g(x)f(x)ex,则g(x)f(x)f(x)ex,因为对任意xR都有f(x)f(x),所以g(x),即g(x)在R上单调递增,又l n l n,所以g(l n)g(l n),即f(l n)el nf(l n)el n,即f(l n)f(l n)B 由题意:不等式exf(x)f(x)可化为:f(x)f

22、(x)ex,两 边 同 乘 以e(x)得:e(x)f(x)exf(x),令h(x)exf(x),易知该函数为偶函数,因为h(x)exf(x)x f(x),f(x)x f(x),所以h(x),(x),所以h(x)在(,)上是单调增函数,又因为h(x)为偶函数,故(x)x,解得:x 微点特训数学(新)B 因为f(x)f(x),所以函数f(x)的对称轴为x,因为f(x)x,所以当x时,x,f(x),函数f(x)为增函数,因为a,所以l o gaa,f(l o ga)f()f(a)Dxf(x)f(x)l nxx,f(x)l nxxC(C为常数),f(e)l ne eC,f(e)e,eeC,解得C,f(

23、x)l nxx,f(x)xl nx(x),不等式f(x)a x对任意x(,)恒成立,xl nxa x对任意x(,)恒成立,即axl nx对任意x(,)恒成立,令g(x)xl nx,则g(x)l nx(l nx),令g(x)l nx(l nx),解得xe,xe时,g(x),g(x)在(,e)上单调递增;xe时,g(x),g(x)在(e,)上单调递减,当xe时,g(x)取 得 极 大 值,也 是 最 大 值,g(x)m a xg(e)el nee,ae,实数a的取值范围是e,)A D 根据材料知:h(x)xxel nxxexl nx,所以h(x)exl nxxl nx()exl nxxl nxx(

24、)xexl nx(l nx),令h(x)得xe,当xe时,h(x),此时函数h(x)单调递增;当xe时,h(x),此时函数h(x)单调递减所以h(x)有极大值且为h(e)ee,无极小值 C D 令g(x)f(x)c o sx,x,),则g(x)f(x)c o sxf(x)s i nxc o sx,因为f(x)c o sxf(x)s i nx,所 以g(x)f(x)c o sxf(x)s i nxc o sx在,)上恒成立,因此函数g(x)f(x)c o sx在,)上单调递减,因此g()g(),即f()c o sf(),故A错;又f(),所以g()f()c o s,所以g(x)f(x)c o s

25、x在,)上 恒 成 立,因 为l n,),所 以fl n(),故B错;又g()g(),所 以f()c o sf()c o s,即f()f(),故C正确;又g()g(),所以f()c o sf()c o s,即f()f(),故D正确,)(,)若f(x)k xl nx在区间(,)单调递增,所以f(x)kx在(,)上恒成立,即kx在(,)上恒成立,又x时,x,所以k;若函数f(x)在区间(,)内不单调,则方程f(x)kx在区间(,)有解,因为x时,x,因此只需k(,)(,)构造函数g(x)f(x)x,则g(x)f(x),即函数g(x)在R上为增函数,且g()f()当x时,由x f(x)xx可得f(x

26、)(x),即f(x)(x),即g(x)g(),可得x,解得x,此时x;当x时,由x f(x)xx可得f(x)(x),即f(x)(x)即g(x)g(),可得x,解得x,此时x综上所述,不等式x f(x)xx的解集为(,)(,)真题体验练 实战抢分 D 当a,f(x)大致图像如下图左所示,易得ba当a,f(x)大致图像如下图右所示,易得ab综上所述,得a ba,故答案选D x时f(x)x l nx,f(x)x(x)x,当x时,f(x);当x时,f(x),故f(x)m i nf();x时,f(x)x l nx,f(x)x(x)x,此时f(x)x l nx为减函数,f(x)m i nf()l n综上:

27、f(x)m i nf()微点特训 导数的综合应用考点对点练 保分必拿 C 设f(x)xxx,f(x)x x(x)(x),由此可知函数的极大值为f(),极小值为f(),所以方程xxx 的实根个数为个 Ca时,不符合题意a时,f(x)a xx令f(x),得x或xa若a,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意则a,由图象结合f()知,此时必有fa(),即aaa,化简得a又a,所以a A 依题意f(x)eaeaexx,令teaea eaeaf(x)texx,f(x)tex,令f(x),解 得xl nt,故 函 数f(x)在,l nt()上递减,在l nt,()上递增,函数在x l nt处取得极小值也即是最小值,fl nt()tt l nt l nt,由于t,故l nt,也即是函数f(x)的最小值为正数,故函数f(x)没有零点故选A C 令g(x)xx,h(x)al nx,则g(x)xx,h(x)ax(a,x)因为函数f(x)有唯一零点x,所以函数g(x),h(x)的 图 象有 唯一 一个 交 点,即微点特训数学(新)