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1、（新高考）2021届高三入学调研试卷数学（四）第I卷一、单项选择题：本 题 共8小题，每 小 题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=幻/一5尢 +6 0,则UN=（）7.张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-48 5年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布39 0尺，则该女子织布每日增加（）尺.A.B.xx3 C.xx2 D.1x|2 x z=-l +i,其中i为虚数单位，则复数Z =()A.1 +iB.1-i C.iD.-i3.己一
2、知 s.i n a =一2,3,贝!1c o s(2 a)=()A.j _9B1 c 69 3D石34.已知向量。=（匕3）,向量b=（l,4）,若a _ L方，则实数（)A.123B.-12 C.一43D.45.已知正方体与GR的 棱 长 为1,则 直 线 与 直 线AC所成角的余弦值为()A.2BT c iD.B26.已知双曲线X一2a2一 二=l（“0力 0）的一条渐近线平行于直线/：x +2y+5=0,则双b曲线的离心率为（)A.2R&o.-L.-2 2D.,2729318.根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4 位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1
3、位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）_6A.B._4C.D.32二、多项选择题：本 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 2 0 分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 3 分，有 选 错 的 得。分.9.Ke印 是一款具有社交属性的健身4尸 尸，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此,它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年 1 月至2
4、019年 11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步里程最小值出现在2 月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位数为5 月份对应的里程数D.1 月至5 月的月跑步里程相对于6 月至11月波动性更小1 0.已知函数/（x）=sin x+c o sx+卜 in x-cosx|,下列结论不正确的是（）兀A.函数图像关于x=一对称47 T 兀B.函 数 在 一二,二上单调递增4 4C.若|/（司）|+|/（工2）|=4,则%+%=5+2版（k w Z）D.函数/（x）的最小值为一21 1 .下列选项中正确的是（）A.不等式 +
5、而恒成立 B.存在实数a ,使得不等式。+_ 1 4 2成立aC.若a、人为正实数，则D .若 正 实 数x，y满 足x+2 y =l ,则a b2+4%y1 2 .在空间中，已 知 是 两 条 不 同 的 直 线，尸是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A.若a 人，且b 1/3,则a /B.若a，。，且。a,b/3,则C.若。与。相交，且,则a与尸相交D.若 a L b,且。a,b/p,则 a _ L/?第 H 卷三、填空题：本 大 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 2 0 分.1 3 .函数/（x）=l n x在点（1,0）的切线方程为.1 4 .二项式（2 x+l）7的展开
6、式中d的系数是.1 5 .若抛物线尸=4 x上的点M到焦点的距离为1 0,则M点到歹轴的距离是.1 6 .己知l g 3 =a,则l g 3 0 =（用。表示）；1 0 0“=.（用整数值表示）.四、解答题：本 大 题 共 6 个大题，共 7 0 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证明过程或演算步骤.1 3 11 7.(1 0分)从%二7 4。，c=-，%=-j-这三个条件中任选一个补充3 6 4+2 1+1b.到下面问题中.已知等差数列 4的公差为4,前项和为S,递减的等比数列 包 的公比为q.是方程2炉 5 x+2 =0的两个实数根，且8 3=9,q=24.(1)求 凡 和 “；(2
7、)若，求证：c,+c2+L +c“尸3。为正三角形，且PA =2 6.(1)证明：直线A B J _平面P BC；(2)若四棱锥P ABC D的体积为2，E是线段。的中点，求直线P E与平面P 8 C所成角的正弦值.2 0.(1 2)设“力=内3+版+为 奇 函 数，其 图 象 在 点 处 的 切 线 与 直 线x 6 y 7 =0垂直，导函数/(X)的最小值为一 1 2.(1)求a、b c的值；(2)求函数/(x)的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数“X)在-1,3 上的最大值与最小值.2 22 1.（1 2 分）已知椭圆C：与+4=1a2 b2（0）的一个焦点为产（右,0）,且该椭圆经
8、（1）求椭圆C 的方程；（2）过点/作直线/与椭圆C 交于不同的两点A、B，试问在x 轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.2 2.（1 2 分）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1 名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐
9、一化验，直至确定感染者.（i）采取逐一化验，求所需化验次数J的分布列及数学期望；（i i）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由.参*考*答*案 第I卷一、单项选择题：本 题 共8小题，每 小 题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案A 解析 由题意可得M =x|2 x 0,所以M UN=x|x 0,故选A.2.F答案Cf解析z =i =i,故选C.l +i3.f答案A2 1 解析c o s(-2 e z)=c o s2 =l-2 si n2 =1-2 x()2=,故选A.
10、3 94.r答案B 解析由已知得a-b =l x%+3 x 4 =O ,.故选B.5.答案C 解析连接则。可知 A C 4是正三角形，兀 1/.c o s-c o s=,故选c.6.f答案D 解析由题知双曲线的一条渐近线方程为y =则一2 =-,，2 a 2.b2 c2-a2 2.1 V 5 加、比a2 a2 4 27.1答案Br解析由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为。“,首项6=5,5 3 0=3 90,可得5 x 3 0+也空d =3 90,解之得d =，故选B.2 2 98.F答案A 解析先从4个专家中选2个出来，看 成1个专家有C；=6种选法，再将捆绑后的专家分别派到3个县区，
11、共有A：=6种分法，故总共有6x 6=3 6种派法.其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有A；=6种，其概率为色=！，故选A.3 6 6二、多项选择题：本 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 2 0 分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 3 分，有 选 错 的 得 0 分.9.答案A C D 解析由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5
12、月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月 至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确，故选A C D.10.答案J B C DF 解析由题意可得/(x)=si n x +c o s+|si n x-c o s x|=2 c o s x,(si n x c o s x),z_,3 7U _,兀、2 c o s x,x G(2KH-,2KTI+)4 4兀 J 712 si n x,xe 2 kn+,2 kn H-4 4函数图象如下所示:0,故A不正确；当。为负数时，不等式成立.故B正确；a由基本不等式可知C正确；xy xy x y x y4 y x 1 1 y当 且
13、 仅 当 上=一，即=,y =2时取等号，故D正确，x y 2 4故选B C D.1 2.答案A C 解析 若aZ?，且a，a,b L/3,即两平面的法向量平行，则。方成立，故A正确；若。，尸，且。a,b/j3,则。与b互相平行或相交或异面，故B错误；若a,匕相交，且aJ _ a,h l j 3,即两平面的法向量相交，则a,夕相交成立，故C正确;若a lb,且。a,b/p,则a与4平行或相交，故D错误，故选A C.第n卷三、填空题：本 大 题 共4小题，每 小 题5分，共2 0分.1 3.答案y=x-l 解析_ f(x)=L,r(l)=l,因此切线方程为y =x-l.x1 4.答案2 8 0
14、解析展开式的第r+1项为=C；(2 x)7-，.r,故令7 -r =3,即厂=4，所以d的系数为C；2 3=2 8 0.1 5.答案9 解析抛物线J=4x的焦点F(1,0),准线为尤=一1,由到焦点的距离为1 0,可知M到准线的距离也为1 0,故M点到y轴的距离是9.1 6.答案1 +4,9 解析l g 30 =l g(1 0 x3)=I g l 0+l g 3=l+a,1 0 0 =1 0 2 a=1。2庾=1 0电9 =9 ,故答案为1 +。；9.四、解答题：本 大 题 共6个大 题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .答案(1)=2/z-l,bn=(1);(2)
15、证明见解析.J 1 d=21 d 解析(1)由方程2/-5+2 =0，解得尤=一或2,所以 2或 1 ,2 I?”由S 3=9 =3a2，解 得 =3，1 7 5 5当 d=3 ,q=2 时，%=。)+1 =耳，q=2 d=Q,4=W，等比数列 递增，舍去;当 d=2,g =L 时，a3=a2+d =5 9 a=a2-d=,/?,=,2 2等比数列 ,递减，符合题意,an=q+(-l)d=2 -1,bn=bxqnx=(g).(2)记 =C+C 2 H-卜 C，若选C=也=；(2-1)(9,则初吗+3 7+-.+(2 一 呜 严+(2 一 畛 ,；北=；1 (；)2 +3 )3+(2 -3)(；
16、)+(2 一 1)(，间,；r=才;+2(最 +:+!)一(2 一 ，I为 一3)一(2一1)()用=1符得证.3若选c.=-4 4+2(2”一1)(2 +3)4 2 n-l 2+3),3I1.3“1 1 1 1 1I=(1-1-1-F +n 4 5 3 7 5 9-I-2 n 3 2/2 +1 2-1 2+3、3八1)=(1 H-4 3 2 +1 2+311111)得证.1若选cn=一上+1b.-,；c ,2 +1-2 i i i w i*3+至+夕=-i-=1 一 万 cos2B=cos B-sin B-8 8TT故 sin 28+I 6=sin 26 cos+cos 28 sin 二V1
17、5 73 7 1 375+7-X X=668-2 8 2 1619.答案（1）证明见解析；（2）2叵21 解析（I）-A B A D，且.AB=AD=2，80=2收，又P8D为正三角形，所以PB=PD=BD=2，又.AB=2，PA=2 g，所以 ABLPB，又AB，AD，BC/AD,/.ABA.BC,PB1 BC=B,所以A 3,平面PBC.（2）设点P到平面ABC。的距离为/z,则/.c o=；x-x（l+2）x2 x/i=/z,依题可得%=2,以A为原点，直线A3、分别为X轴，y轴，建立空间直角坐标系,分别求出各点的坐标和向量方,由（1）可 知 平 面 心C,故 向 量 而 是 平 面 依
18、C的一个法向量,则向量屋与向量而所成的角或其补角与直线PE与平面PBC所成的角互余.则 A（0,0,0）,B（2,0,0）,（0,2,0）,C（2,l,0）,则设 P（x,y,2）,x2+y2+4=12由 PA=20，PB=PD=2yf2 可得/+（，-2丫+4=8,（x-2）2+y2+4=8解得x=2,y=2,即尸（2 2 2）,所以E=,又由 可知，丽=（2,0,0）是平面P3C的一个法向量,/.cos-1x2_ _ _ 22 回二 一 V21-212xJ（-1）2（-2）2所以直线PE与平面BBC所成角的正弦值为2叵2120.r答案（1）a=2,b=-12,c=0；（2）见解析.解析.（
19、X）为奇函数，./（一6=一力,即一6U?bx+c=ax3 b x-c，c=0，Q/（x）=3方2十人的最小值为一 12，.b=12,又直线x 6y 7=0的斜率为3，因 此/（l）=3a+匕=-6,6故。=2,。=一12,c=0 .(2)/(X)=2X3-12X,r(x)=6%2-12=6(%-0)(x+夜)，列表如下:X口,-应）(-衣 五(应,+)/(x)+0-0+/(x)极大极小Z所以函数/（X）的单调递增区间为（F,和（&,+）,/（x）的极大值为/（一夜）=8 0,极小值为/（&）=-8 0,又/（-1）=10,/=18,所以当X=后 时，“X）取得最小值为_8&；当x=3时，“X
20、）取得最大值18.2 1.1答案（1）一+y2=：（2）存在，。-,0.4I 3）f解析（1）法1:待定系数法由题意可得02=3=。2 _ ,又因为点尸（由,;）在椭圆上，得.+2=1，联立解得a2=4 f b?=1,2所以椭圆C的方程为+y2=l.4法2：定义法设另一个焦点为片（-6,0）,则耳FP为直角三角形，由勾股定理得|耳P|=J；+1 2=g,所以2a=|PF|+|P用=4,即a=2,由 =片 一c2,得=1，r2所以椭圆C的方程为三+y 2 =1.（2）当直线/为非轴时，可设直线/的方程为x+m y-百=0,与椭圆C联立,整理得（4+m2）,2 _ 2y/3my-1=0.由/+4（
21、4+加2）=16（加2+1）0,设A（x，x）,B（x2,y2）,定点Q,0）（且，A%/工超），则由韦达定理可得y+%=2缴，,=一1 4+m-4+加直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,8。的斜率互为相反数,所 以 士:+B y =0,即得X（%T）+%（FT）=0,AI I 人）I又%+/V _ g =0,+my2-5/3=0,得 玉=6一纱1,%=6 -my2，所以 乂（6 _加_0+%（6 _切 _ 0=0,整理得（百 一f）（y+%）一2四，1%=（），从而可得/他一2加,1*=0,即 2 M 4-G）=（）,所以当/=迪，即。（,o时，直线QA与直线。8恰关于x轴对称成立
22、；3I 3 J473）特别地，当直线/为x轴时，Q,0也符合题意，（4百1综上，存在x轴上的定点。-y-,0 ,满足直线。4与直线QB恰关于x轴对称.22.答案 J（1）；（2）（i）分布列见解析，E（）=y ；（ii）按（3,3）分 2 组，E（7）=|.Q按（2,2,2）分 3 组，0）=1解析（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有C：=20种方法,抽取3名中有感染者的抽法共有C；C；=10种方法,C2 1 0 1所以抽到感染者的概率P =崇=77=彳.C：2 0 2（2）（i）按逐一化验法，J的可能取值是1,2,3,4,5,C-C 1 彳=5表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不
23、检验可确定第6个样本为阳性）分布列如下：12345P6662 _613（i i）平均分组混合化验，6个样本可按（3,3）平均分成2组或者按（2,2,2）分成3组.如果按（3,3）分2组，所需化验次数为，的可能取值是2,3,P（=2）c；C；C；C r x +L x L=C；C；C；C；1 D/Q C；C；C；C；C；C；一，P（7=3）=xyJ-4-=Ja v 7 C1 A2 C1 A223分布列如下:23P12331?E（）=2X+3X83如果按（2,2,2）分3组，所需化验次数为b，6的可能取值是2,3,P（5=2）=4 x4+斗、斗,/I fr【厂 1 Oj j y 7 八 C C C C 2P（=3）=寻才x l +m x 才x l =a分布列如下:s23p_323E=2X +3X2=)3 3 3