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1、努力的你，未来可期!精品 2021 届四川省广安市邻水中学高三入学考试 数学（理）试卷 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分,共 60 分.）1.已知集合，则AB=（）A.2,4)B.1,2 C.2,4 D.(1,2 2.设，则复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在一次独立性检验中，得出列联表如下：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（）A.200 B.720 C.100 D.180 4.用秦九韶算法计算函数 f（x）=x42x2+x1，当 x=1 时的值，则 v3=（）A.2 B.1 C.0 D.1 5.九章算
2、术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设点 F 是抛物线 y2=2px的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点 A 作准线的垂线 AB，垂足为 B，射线 AF 交准线 l 于点 C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（）A.B.C.D.6.已知，且，则与的夹角为（）A.B.C.D.7.在ABC中，若则B等于（）A.30 B.30或 150 C.60 D.60或 120 8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）A.2 B.C.D.4 9.已知则 （）努力的
3、你，未来可期!精品 A B C D 10.已知F为椭圆的右焦点，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB的中点，则M到x轴的最大距离为（）A.B.C.D.11.已知双曲线的左、右焦点为F1、F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.12.若函数f(x)满足，且，则函数f(x)（）A.既无极大值又无极小值 B.有极小值无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.有极大值无极小值 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为_.14.设常数，如果的二项展开式中x
4、项的系数为-80，那么a=_.15.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，P为球O的球面上的动点，记三棱锥P-ABC的体积为，三棱锥O-ABC的体积为若的最大值为 3则球O的表面积为_ 16.已知函数，则_；若方程在区间2，4有三个不等实根，则实数的取值范围为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17(本大题 12 分).已知等差数列 na的前n项和为nS，53a，2335 SS.（1）求 na的通项公式；（2）设11nnnaab，求数列 nb的前n项和nT.18(本大题 12 分)为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，
5、某农科所记录了 5 组昼努力的你，未来可期!精品 夜温差与 100 颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5 温差x（C）10 11 13 12 8 发芽数y（颗）23 25 30 26 16 该所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求出线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验（1）若选取的是第 1 组与第 5 组的两组数据，请根据第 2 组至第 4 组的数据，求出y关于x的线性回归方程ybxa；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠
6、？（参考公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx）20(本大题 12 分)已知定圆:A22316xy,动圆M过点3,0B,且和圆A相切。（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）设不垂直于x轴的直线l与轨迹交于不同的两点P、Q,点4,0N若P、Q、N三点不共线,且ONPONQ 证明：动直线PQ经过定点。21.(本大题 12 分)已知函数 221xaxbxfxe(e为自然对数的底数).(1)若12a，求函数 fx的单调区间；(2)若 11f，且关于x的方程 1fx 在(0,1)内有解，求实数a的取值范围。22.(本大题 10 分)在极坐
7、标系中，已知曲线:cos()14C，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使2OPOQ.（1）求点P的轨迹1C的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线:3l yx 与（1）中的曲线1C相交于点E（异于点O），与曲线21222:22xtCyt（t为参数）相交于点F，求EF的值。努力的你，未来可期!精品 理科数学答案 1.D 努力的你，未来可期!精品 【分析】计算12Axx，14Bxx，再计算交集得到答案.【详解】|(1)(2)012Axxxxx，2|0log214Bxxxx，故1,2AB.故选：D.【点睛】本题考查了解不等式
8、，交集运算，意在考查学生的计算能力和应用能力.2.D 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式、复数的几何意义即可求得.【详解】解：因为13=3 12i zi，所以112 1+i zii，所以22 1+zi，即1+zi 所以1zi 在复平面对应的点(1,1)位于第四象限，故选：D【点睛】此题考查了复数的运算法则，共轭复数的定义，模的计算，复数的几何意义，考查了推理能力，属于基础题.3.B 【分析】列出2K的计算公式，依次代入各选项值，计算出2K与临界值比较可得【详解】由题意22(1180)(200180 800)380(800)(180)1000aaKaa，200a 时，22(
9、1180200)(200200 180 800)380(800200)(180200)1000K130.373.841，此时两个变量有关系，720a 时，22(1180720)(200 720 180 800)0380(800720)(180720)1000K，此时两个分类变量,A B没有关系 努力的你，未来可期!精品 故选：B【点睛】本题考查独立性检验的应用，解题关键是计算出2K，然后与临界值比较，如23.841K，则有95%的把握说A与B有关，如果26.635K，则有 99%的把握说A与B有关，当2K越小，把握性越小，可以认为是无关的 4.C 5.B 【分析】画出抛物线的图形，利用已知条件
10、转化求解P，即可得到抛物线的标准方程，得到答案【详解】由题意可知，抛物线的图形如图：AB3，BC3 3，可得22AC33 36，所以CAB60，ABF是正三角形，并且F是AC的中点，所以AB3，则3P2，所以抛物线方程为：2y3x 故选 B 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中合理应用抛物线的定义，合理计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题 6.B 【分析】()aab，可得2()|10aabaa ba b ，根据cos,|a ba bab，即可求得答案.努力的你，未来可期!精品【详解】()aab 2()|10a
11、abaa ba b 得1a b 又|1a，|2b 1cos,2|a ba bab，,3a b.故选：B【点睛】本题主要考查了根据向量数量积求向量夹角，解题关键是掌握向量数量积公式，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7.D 【分析】由正弦定理，求得sinsinbBAa，再由ab，且(0,180)B，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sinsinabAB，即2 33sinsinsin3022bBAa，又由ab，且(0,180)B，所以60B 或120B，故选 D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推
12、理与运算能力，属于基础题.8.C 【分析】根据三视图可得直观图四棱锥PABCD，结合图形，即可得到最长的侧棱为PB，根据勾股定理即可求出PB的长【详解】根据三视图可得直观图四棱锥PABCD，如图：努力的你，未来可期!精品 底面是一个直角梯形，ADAB，/ADBC，4AD,2ABBCPO,且 PO底面ABCD，所以22222 2PAPDPC，222222222222 3PBPOOBPOOAAB，该四棱锥最长侧棱长为2 3.故选:C【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运算求解能力.9.B 10.C 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标为2,0，设直线
13、l：x 2ty，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求出12yy的表达式，即得到弦AB的中点纵坐标122223yytt，所以 M 到 x 轴的距离为223tt，根据基本不等式即可求出【详解】因为226,2ab，所以椭圆的右焦点坐标为2,0 设 1122,A x yB x y，直线l：x 2ty，（显然当直线斜率为 0 时，不可能最大），与椭圆方程联立得，223420tyty，所以12243tyyt，即弦AB的中点M纵坐标为122223yytt，所以 M 到 x 轴的距离为223tt 努力的你，未来可期!精品 当0t 时，222233332 3tttt，故 M 到 x 轴的最大距离为33 故选：C【
14、点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，韦达定理以及基本不等式的应用，属于中档题 11.A 【分析】根据题意,画出双曲线及几何关系.由几何关系可得1POF的三条边,结合余弦定理求得1cosPOF,即可得2POF.进而求得2tanPOF,即可得双曲线C的渐近线方程.【详解】根据双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点为12,F F O为原点,以12FF为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P,如下图所示:则11,33FOOPc F POPc 所以在1POF中,由余弦定理可得 2221111cos2OPOFPFPOFOPOF 2223122cccc c 所以123POF 则23POF
15、 所以2tantan33POF 努力的你，未来可期!精品 则渐近线方程为3yx 故选:A【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,余弦定理在解三角形中的应用,双曲线中渐近线方程的求法,属于中档题.12.A 【分析】对已知式子进行整理可得 lnf xxxx，从而可知 lnf xxc，结合11fee可求出 1ln1f xxe，求出导数即可求出极值.【详解】解：因为0 x ，则 2lnxfxf xf xxxxx，所以 lnf xxc，c为常数，则111ln1fcceee，所以11ce，则 1ln1f xxe，所以 10fxx无解，所以函数既无极大值又无极小值.故选:A.【点睛】本题考查了导数的运算，考查了
16、函数极值的求解.本题的难点是对函数的解析式的求解.本题的关键是对已知式子进行变形整理.13.3 由线性约束条件画出可行域(如图所示)由 zx2y，得 y12x12z，12z 的几何意义是直线 y12x12z 在 y 轴上的截距，要使 z 最小，需使12z 最小，易知当直线 y12x12z 过点 A(1,1)时，z 最小，最小值为 3.14.2 努力的你，未来可期!精品【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【详解】52axx的二项展开式的通项公式：5210 3155rrrrrrraTCxa C xx，令1031r，解得3r.33580a C ，解得2a.故答案为：-2.【点睛】本小题主要考查
17、根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.15.649 【分析】先求出ABC 的外接圆半径，根据题意确定12VV的最大值取法，再根据12VV的最大值为 3，解得球半径，最后根据球的表面积公式得结果.【详解】如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O，半径为 r，则1OO 平面 ABC 设球 O 的半径为 R，1OOd，则24 32sinsin603ACrABC，即2 33r 121313P ABCABCP ABCABChShVVdd S 所以当 P，O，1O三点共线时，12max3VRdVd，即2Rd 努力的你，未来可期!精品 由222Rdr，得2169R，所以球 O 的表面积26449SR 故答
18、案为：649【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.16.81；11,2 【分析】（1）利用函数的递推关系式，代入 11f xx 即可求解.（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围.【详解】（1）由11,2,0()2(2),0,xxf xf xx ，则 323 2212 21 24141 04fffff ，4log 25643381 答案：81（2）作出函数 f x在区间2,4上的图象，如图所示，设yxa，由图象可知要使方程()f xxa在区间2,4有3个不等实根，则直线yxa应位于1l与2l之间或直线3l的位置，所以实数
19、 a 的取值范围为20a 或1a.所以，112a 或11a 故答案为：11,2 【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档努力的你，未来可期!精品 题.17.已知等差数列 na的前n项和为nS，53a，2335 SS.（）求 na的通项公式；（）设11nnnaab，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan；（2）21nnTn 考点：基本量法求等差数列的通项公式，裂项相消法求和 18为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某农科所记录了 5 组昼夜温差与 100颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5 温差
20、x（C）10 11 13 12 8 发芽数y（颗）23 25 30 26 16 该所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求出线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验（1）若选取的是第 1 组与第 5 组的两组数据，请根据第 2 组至第 4 组的数据，求出y关于x的线性回归方程ybxa；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx）【答案】（1）
21、532yx；（2）（1）中所得的回归直线方程可靠 努力的你，未来可期!精品【解析】（1）由题意：11 13 12123x，253026273y，31112233322221231()()()()()()()()()()()()iiiiixxyyxxyyxxyyxxyybxxxxxxxx 222(11 12)(2527)(13 12)(3027)(12 12)(2627)5(11 12)(13 12)(12 12)2 5271232aybx，故回归直线方程为：532yx（2）当10 x 时，5103222y，|2223|12，当8x 时，583172y ，|17 16|12，（1）中所得的回归直
22、线方程可靠 考点：回归直线方程的求解及应用【方法点晴】本题主要考查了统计的应用问题，其中解答中涉及到回归直线方程的求解、最小二乘法的应用、以及回归直线方程的应用等知识点的综合考查，试题比较基础，但运算量较大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中准确预算是解答本题的关键 19.如图，直三棱柱CBAABC中，5 BCAC，6 ABAA，ED,分别为AB和BB上的点，且EBBEDBAD.（）求证：当1时，CEBA；（）当为何值时，三棱锥CDEA 的体积最小，并求出最小体积.【命题意图】本题主要考查空间中线面位置关系的判断与证明及几何体体积的计算意在考查逻辑推
23、理能力及空间想象能力.努力的你，未来可期!精品（）设xBE.则xEBxDBxAD6,6,由已知可得C到平面DEA的距离即为ABC的边AB所对的高 4)2(22ABACh.hSSSSVVEBADBEDAAAABBDEACCDEA)(31四边形)60(27)3(32)366(32)6(3)6(213363122xxxxhxxxx.当3x.即1时.CDEAV 有最小值 18.(12 分）20已知定圆:A22316xy,动圆M过点3,0B,且和圆A相切（）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（）设不垂直于x轴的直线l与轨迹交于不同的两点P、Q,点4,0N若P、Q、N三点不共线,且ONPONQ 证明：动直线PQ
24、经过定点【命题意图】本题考查椭圆的定义与性质、圆圆位置关系、直线与椭圆位置关系，难题.（II）设直线l的方程为(0)ykxb b，联立2244xyykxb，消去y得：22222(14)8440,16(41)kxkbxbkb，设1122(,),(,)P x kxb Q x kxb，则 2121222844,1 41 4kbbxxx xkk 7 分 于是12121212112(4)()844(4)(4)PNQNkxbkxbkx xkb xxbkkxxxx，由ONPONQ 知0PNQNkk 努力的你，未来可期!精品 即 21212224482(4)()82(4)81414bkbkx xkb xxbk
25、kbbkk 3222288328801414kkk bkbbkk,得bk,216(31)0k.故动直线l的方程为ykxk,过定点(1 0)，.12 分 21.已知函数 221xaxbxfxe(e为自然对数的底数).()若12a，求函数 fx的单调区间；()若 11f，且关于x的方程 1fx 在(0,1)内有解，求实数a的取值范围.【答案】()0b 时，fx的单调递减区间为,；0b 时，fx的单调递增区间为1,1b，递减区间为,1,1,b；0b 时，fx的单调递增区间为1,1-b，递减区间为,1,1,b()实数a的取值范围是2 1,22e.()由 11f得21,12abe bea，由 11f得2
26、1xeaxbx，设 21xg xeaxbx，则 g x在0,1内有零点.设0 x为 g x在0,1内的一个零点，则由努力的你，未来可期!精品 00,10gg知 g x在区间00，x和01，x上不可能单调递增，也不可能单调递减，设 h xgx，则 h x在区间00，x和01，x上均有零点，即 h x在0,1上至少有两个零点，4,4xxgxeaxb hxea.考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要考查函数单调性和单调区间的求解和判断，综合性较强，属难题.解题时利用函数单调性的性质以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线:
27、cos()14C，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使2OPOQ.（）求点P的轨迹1C的极坐标方程；（）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线:3l yx 努力的你，未来可期!精品 与（）中的曲线1C相交于点E（异于点O），与曲线21222:22xtCyt（t为参数）相交于点F，求EF的值.【答案】（1）cossin（2）31EF【解析】()设(),)PQ，则2 又221144cos,cos+2cos+4cossin为所求C1的极坐标方程 ()C2的极坐标方程为1()2cossin,把23代入 C2得13122，把3 代入 C1得23122 1231EF.考点：参数方程，极坐标.