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1、（新高考）2021 届高三入学调研试卷数数 学（一）学（一）注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形号码粘贴在答题卡上的指定位置。位封座2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。密4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。号不场第第卷卷考一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分
2、在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的订1已知集合A2,0,2,3，集合B x|2 x 0，则AB（）A2,3B2C(2,0)D2,0【答案】D装号证【解析】A2,0,2,3，B x|2 x 0，AB 2,0考准2设复数z i11i，则|z|（）只A0B2C22D1卷【答案】C名【解析】z i11i1i1i1i1212姓1i i(1i)(1i)i1i2 i2 22，|z|(2)(22)2此3将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（）A81种B256种C24种D36种【答案】D级班【解析】第一步
3、，将4名老师分成三组，其中一组2人，其他两组每组1人，不同的分法种数是C24 6种，第二步，分到三个班的不同分法有A33 6种，故不同的分配方案为66 36种4一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出男运动员的人数为（）A10B12C14D16【答案】D【解析】设抽取的男运动员的人数为x，则抽取的女运动员的人数为28 x，x5628 x42，解得x 165阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动 在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为 论小于某值的素数个数的论文并
4、提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为(x)xlnx的结论若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（）（素数即质数，lge 0.43429，计算结果取整数）A1089B1086C434D145【答案】B【解析】由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为(x)xlnx，则10000以内的素数的个数为(10000)100001000010000lgln100004ln10e4 2500lg e 0.43429250010866将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与
5、CD所成的角为（）A90B60C45D30【答案】B【解析】如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连结OM，ON，MN，则ON平行且等于1CD，MN平行且等于122AB，所以ONM或其补角即为所求的角因为平面ABC平面ACD，BO AC，所以BO平面ACD，所以BOOD，设正方形边长为2，OB OD 2，所以BD 2，则OM 12BD 1，所以ON MN OM 1，所以OMN是等边三角形，ONM 60所以直线AB与CD所成的角为607已知单位向量e e1，e e2分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量AC3e e1e e2，BD2e e16e e2，则平面四边形ABCD的
6、面积为（）A10B2 10C10D20【答案】C【解析】AC BD(3e e1e e2)(2e e16e e2)660，ACBD，又|AC|32(1)210，|BD|22622 10，平面四边形ABCD的面积12|AC|BD|12102 10108已知定义在R R上的函数f(x)满足f(2 x)f(x)0，当x 1时，f(x)x 2，则不等式f(x)0的解集为（）A(1,2)B(,0)C(0,2)D(,0)(1,2)【答案】D【解析】由已知f(2 x)f(x)0，即f(1 x)f(1 x)0，f(x)关于(1,0)中心对称，又当x 1时，f(x)x 2，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知
7、f(x)0的解集为(,0)(1,2)二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得3 3 分，有选错的得分，有选错的得0 0 分分9已知直线l1的方程为2x(5m)y 8，直线l2的方程为(3m)x 4y 5，若l1l2，则m（）A1B1C7D3【答案】AC【解析】因为l1l2，故24 (5m)(3m)，整理得到m28m7 0，解得m 1或m 710已知函数f(x)Asin(x)（A0
8、，0，0|2）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A 2B 3Cf(x12)是奇函数Df(x12)是偶函数【答案】ABD【解析】由图可得f(x)sin(2x3)，所以 A、B 正确；f(x12)sin2(x12)3sin(2x63)sin(2x6)，故 C 错；f(x12)sin2(x12)3sin(2x63)sin(2x2)cos2x为偶函数，所以 D 正确11已知x,yR R，且5x7y5y7x，则（）A(1)x(1)yBx2 y233C3x 3yDlog1x log1y22【答案】AC【解析】函数y5x7x为增函数，5x7y5y7x，即5x7x5y7y，可得xy，A、C 正确12已
9、知函数f(x)x21，g(x)lnx，下列说法中不正确的是（）Af(x)，g(x)在点(1,0)处有相同的切线B对于任意x 0，f(x)g(x)恒成立Cf(x)，g(x)的图象有且只有一个交点Df(x)，g(x)的图象有且只有两个交点【答案】ABC【解析】因为f(x)2x，f(1)2，g(x)1x，g(1)1，所以f(x)，g(x)在点(1,0)处的切线不同，选项A 不正确；f(x)g(x)f(x)g(x)0，22(x2 f(x)g(x)2x12x 2)(x22)x1xx，因为x(0,22)，f(x)g(x)0；x(22,)，f(x)g(x)0；x 22，f(x)g(x)0，所以x 22时，f
10、(x)g(x)有最小值12(ln21)0，所以当x 0时，f(x)g(x)不恒成立，选项 B 不正确；由上可知，函数f(x)g(x)在(0,)上有且只有两个零点，所以f(x)，g(x)的图象有且只有两个交点第第卷卷三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共 2020 分分C:x29y213椭圆161的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，若AF2 BF210，则AB的值为【答案】6【解析】由题意可得AF2 BF2 AF1 BF110 AB 4a 16，解得AB 6，故答案为614已知等比数列an的首项为1，且a6a4 2(a
11、3a1)，则a1a2a3a7【答案】128【解析】设等比数列a的公比为q，则q3na6a4a a 2，所以a4 a1q3 2，31a1a2a3a a774 2712815已知二项式(2x1x)n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n，x3的系数为【答案】6，240【解析】二项展开式的第r1项的通项公式为Trr1 Cn(2x)nr(1x)r，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得C12n:Cn 2:5，解得n 6，所以Trr1 C(2x)nr(1x)r Cr26r(1)rx632rn6，令632r 3，解得r 2，所以x3的系数为C26262(1)2 24016如
12、图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、C1D1的中点，N是线段BC11上的点，且BN4BC1，若P、M分别为线段D1B、EF上的动点，则|PM|PN|的最小值为_【答案】6【解析】首先PM的最小值就是P到EF的距离连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF平面B1D1DB，故EFPG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一其次，连接BD，在线段BD上取点H，使BHBN，连接PH，则PHBPNB，从而PNPH，最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PMPN取得最小值，所求最小值为GH，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，G
13、H6四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共6 6 个大题，共个大题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2a24 23bc（1）求sin A的值；（2）若ABC的面积为2，且2sin B3sin C，求三角形ABC的周长【答案】（1）sin A13；（2）23 26【解析】（1）b2c2a22bccos A，2bccosA4 23bc，cosA2 23，在ABC中，sin A1cos2A13（2）ABC的面积为2，即112bcsin A6bc2，bc6 2，
14、又2sin B3sinC，由正弦定理得2b3c，b3 2，c2，则a2b2c22bccosA6，a6，ABC的周长为23 2618（12 分）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d0，且a2a340，a1a413，公比为q(0q1)的等比数列bn中，b1，b2，b3160,132,120,18,12（1）求数列an，bn的通项公式an，bn；（2）若数列cn满足cnanbn，求数列cn的前n项和Tn【答案】（1）an(3n1)2n3n1，b(1n2)2n 1；（2）Tn3(1124n)【解析】（1）由题意可得：等差数列a(a1d)(a12d)40a12n，2ad3，an3n1；13d13因
15、为等比数列bn中，b1，b2，b60,132,120,1318,12，0q1，b11所以b1112112，b28，b332，q1b(112n 1n24)n(12)4（2）c1nanbn3n1(12)2n，1n1)1(1)nTn(23n24n(3n1)221123(114n)419（12 分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多用y表示x月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据（1）求出y关于x的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以
16、上的学生的百分比是多少?参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ybxa其中，nnx)(yiy)xiyinx yb(xii 1i 1nn(x2，aybxix)2x2inxi 1i 1【答案】（1）y0.08x0.22；（2）78%【解析】（1）由表格数据可得x3，y0.46，nxiyi5xybi 1n0.08，aybx0.460.08 30.22，x25x2ii 1故y关于x的回归直线方程为y0.08x0.22（2）由（1）知y0.08x0.22，令x7，解得y0.7878%20（12 分）在三棱锥P ABC中，PB平面ABC，AB BC，AB PB 2，BC 2 3，E、G分别为PC、PA
17、的中点（1）求证：平面BCG 平面PAC；（2）假设在线段AC上存在一点N，使PN BE，求ANNC的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE与平面PBN所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）ANNC1212；（3）7【解析】（1）因为PB平面ABC，BC 平面ABC，所以PB BC，又AB BC，ABBP B，所以BC 平面PAB，则BC PA，又AB PB 2，PAB为等腰直角三角形，G为PA的中点，所以BG PA，又BGBC B，所以PA平面BCG，因PA平面PAC，则有平面BCG 平面PAC（2）分别以BA，BC，BP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，那么A(2,0,0)，C(
18、0,2 3,0)，P(0,0,2)，BE (0,3,1)，因此AC (2,2 3,0)，PA(2,0,2)，设AN AC (2,2 3,0)，那么PN (22,2 3,2)，由PN BE，得PN BE 0，解得13，因此AN 13AC，因此AN1NC2（3）由（2）知PN (4,2 333,2)，设平面PBN的法向量为n n (x,y,z)，2z 0则n nPN 0，n nBP 0，即4，3x2 33y 2z 0令x 3，得y 2，z 0，因此n n (3,2,0)，设直线BE与平面PBN所成角为BEn n，那么sin2 321BE n n2 7721（12 分）已知函数f(x)lnxaxx（
19、1）若a1，求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（2）若任意的x(1,x2)，xf(x)ex2恒成立，请求出a的取值范围1【答案】（1）yx1；（2）ae2112ln2【解析】（1）因为a1，所以f(x)11xx21，f(1)1，f(1)2，所以切线方程为yx1（2）不等式xf(x)exx2，对任意的x(12,)恒成立，即aexxlnx对任意的x(12,)恒成立令v(x)exxln x，则v(x)exln x1，令(x)exln x1，则(x)ex1x，易知(x)在(12,)上单调递增，1因为(12)e220，(1)e10，所以存在唯一的x0(12,1)，使得(x0)0，即ex01x
20、0，则x0ln x00当x(12,x0)时，(x)单调递减，当x(x0,)时，(x)单调递增则(x)在xx0处取得最小值，且最小值为(x0)ex0ln x101xx012 x100 x110，0所以v(x)0，即v(x)在(12,)上单调递增，1所以ae212ln1222（12 分）如图，设抛物线方程为x2 2py(p 0)，M为直线y 2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点C，D，记SEABS，问是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由MCD【答案】
21、（1）(0,2 p)；（2）是定值，SEABS 2MCD（1）y x2【解析】x2p，yp，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，过A点的切线方程为y x221x1x2pp(x x)，过B点的切线方程为y 22px21p(x x2)，联立这两个方程可得xx2 x1M2，yx1x2M2p，又ky2 y1x2ABxxx1，故直线AB的方程为y x21px2 x12p(x x1)，212p2化简得(x1 x2)x2pyx1x20，令x 0，y x1x22p，又yx1x2M2p 2p，y 2p，直线AB过(0,2 p)点（2）由（1）得xx2x xEx xMx12，同理可得x 12，x 2ECD2，|
22、x1 x|ACxxE x|x x1 xEC121xE x1CExE xCE2CM|x x|，|xE x1|，MC|x1 x2x2 xE2x1 xE2|x2 xEEDxDxE2 xxE2xE|ACCM|CEED|，同理|MDDB|xE x1x|，|AC|EC|DM2 x|，ECMEDDB设|ACCM|ECED|DMDB|t，记SMCE S，则SACEtS，同理，SSSMAB|MA|MB|t 1 t 1(t MDEt，SSBDEt2，S|MC|MD|1t1)2t，MCD于是S(t 1)2(t 1)2S(t 1)3MABtSMCDt(S t)t2S，SEAB SMABSMCDSACESBDE2(t 1)t 1S，SMCDS，ttSEAB 2SMCD维权维权 声明声明