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1、 第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动初赛试卷详解（五年级组）时间 ：80 分钟 总分：120 分一、选择题（每题 1 分）1、世界数学最高奖是（ C ）。它于 1932 年在第九届国际数学家大会上设立，于 1936 年首次颁奖，是数学家的最高荣誉奖。A、诺贝尔数学奖 B、拉马努金奖C、菲尔兹奖2、他是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一。他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，被誉为“几何之父”。在牛津大学自然历史博物馆还保留着他的石像，他是（ A ）。A、欧几里得 B、丢番图 C、毕达哥拉斯此题曾在 ICS 五年级 ICS 课件中小机灵杯智力故事中出现过3、对圆周率的研究最早发源于（ A
2、）。A、中国 B、罗马C、希腊4、“”号是由英国人（ B ）发明的。A、狄摩根B、列科尔德C、奥特雷德此题曾在 ICS 五年级 ICS 课件中小机灵杯智力故事中出现过5、古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指。等到 10 根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在数学中的（ C ）。A、出入相补原理B、等差数列求和C、十进制计数法二、填空题（每题 8 分）6、已知：(11.2 -1.2)W4 +51.20.1 =9.1，那么=W。【考点】代数 解方程分析】此题较容易，计算仔细即可。【解析】(11.2 -1.2 W)4 +51.2 = 91(11.2 -1.2W)4 = 39.811.
3、2 -1.2 W= 9.95.2 W=1.251W=1.2 1.25W= 0.967、分母是两位数、分子是 1，且能化成有限小数的分数有个。【考点】数论 分数性质分析】此题略有难度，需要考生掌握能化为有限小数的分数的性质。解析】一个最简分数，若能化为最简分数，那么它的分母只能含有质因子 2、5，而分母为两位数，分子是1 的分数显然是最简分数所以这些分数的分母分解质因数后应该形如2a5b123、当b = 0时，a 可取 4 到 6，共 3 种、当b =1时，a 可取 1 到 4，共 4 种、当b = 2 时，a 可取 0 到 1，共 2 种当b 3时，2a 5b 53 99综上，共3 + 4 +
4、2 = 9 个。8、五年级一班有 40 名学生，在数学考试中，成绩排在前 8 名的同学平均分比全班的平均分高 3 分，其他同学的平均分比前 8 名同学的平均分低 分。 【考点】组合 平均数应用题分析】此题略有难度，常规的移多补少可以解决，利用方程设而不求更为简单，但需要考生对代数运算较为熟练。【解析】法一：由于前 8 名同学的平均分比全班平均分高 3 分，可推知他们为其他同学提供了38 = 24 分，如果没有这 24 分，其他同学的平均分会比全班的平均分下降4 (40-8) = 0.75 ，所以其他同学的平均分比前 8 名同学的平均分低 3.75 分。2法二：设前 8 名学生平均分为 x，则全
5、班平均分为x -3 ，设其他同学的平均分为 y可列得方程：8x+ 32y = 40(x -3)解得：32x- 32y =120 x- y = 3.75即其他同学的平均分比前 8 名同学的平均分低 3.75 分。9、将 2013 加上一个正整数，使和能被 11 和 13 整除，加的整数尽可能小，那么加的正整数是。【考点】数论 整除余数问题分析】此题较简单，求出2013 除以 11、13 公倍数的余数即可很快解出答案。【解析】11,13 =143，能被 11 和 13 整除，即能被 143 整除。 2013143 =14L11，所以最小需要加上143-11=132。或者，比 2013 大的 143
6、 的倍数最小为 14315 = 2145 ，所以最小需要加上2145 - 2013 =132。10、在小于 10000 的正整数中，交换一个数最高位上与最低位上的数字，得到一个新数，且新数是原数的 1.2 倍，满足上述条件的所有数的总和是考点】数论 位值原理分析】此题较难，需要考生熟练掌握位值原理。【解析】由于新数是原数的 1.2 倍，设原数为N ，则有1.2N 是整数，于是N 的个位必为 0或 5，而若 N 的个位为 0，则交换 N 的最高位与最低位，得到的数一定会变小，不可能是 N 的 1.2 倍，所以 N 的个位一定为 5一、一位数中显然没有二、两位数中，不妨设原数为a5 ，由题意，有5
7、5a =1.2a50 + a =1.2(10a +5)11a = 44a = 4所以两位数中满足条件的数为 45三、三位数中，不妨设原数为ab5 ，由题意，有5ba =1.2ab5500 +10b + a =1.2(100a +10b +5)119a +2b = 494由于 a,b只能在 0 到 9 中选取，且a 不为 0a = 4所以仅有一组解b = 9所以三位数中满足条件的数为 495四、四位数中，不妨设原数为abc5，由题意，有 5bca =1.2abc55000 +100b +10c + a =1.2(1000a +100b+10c+5)1199a +20b +2c = 4994由于
8、a,b,c 只能在 0 到 9 中选取，且a 不为 0a = 4所以仅有一组解b = 9c = 9所以三位数中满足条件的数为 4995综上，所以满足条件的数的总和为45 + 495+ 4995 =553511、从三位数 100、101、102、 、699、700 中任意取出 n 个不同的数，使得总能找到其中三个数，它们的数字和相同。那么 n 的最小值是考点】组合 抽屉原理。【分析】中等难度，以数字和为抽屉，很快可以求出解，但需要注意有部分抽屉中只有一个数。【解析】在 100 到 700 中，数字和最小的数为 100，它的数字和为 1，且其中数字和为 1 的数仅有 1 个；数字和最大的数为 69
9、9，它的数字和为 24，且其中数字和为 24 的数仅有 1 个。剩下的数的数字和为 2 到 23 这 22 种数字和中的其中一个，且 2 到 23 的每种数字和至少都有 2 个数。所以 n 的最小值是1+1+2 22 +1 = 47 。12、右图是一个由数字组成的三角形，它的组成有着一定的规律，第 9 行从左往右第 7 个数是。【考点】组合 找规律【分析】中等难度题，表内规律较为容易，需要注意每一行的 0。【解析】发现，除了第一行以外，所有奇数行的第一个数为 0，以后的每个数为前一个数加上前一个数右上方的数。所有偶数行的最后一个数为 0，以后的每个数为后一个数加上后一个数左上方的数。根据以上规
10、律可以写出下表： 11120011052024551410016160163246566161272 2721226102562241780272544800 12021024 1324 1385 1385第 9 行从左往右的第 7 个数是 1324。13、李老师与小马、小陆、小周三位学生先后从学校出发走同一条路去电影院，三位同学的步行速度相等，李老师的步行速度是学生的 1.5 倍。现在李老师距学校 235 米，小马距学校 87 米，小陆距学校 59 米，小周距学校 26 米，当他们再行米时，李老师距学校的距离刚好是三位学生距学校的距离和。【考点】组合 列方程解应用题【分析】此题较简单，列方程
11、解较为容易。解析】设学生再行x 米时，李老师距学校的距离刚好是三位学生距学校的距离和。此时，李老师又行了1.5x 米。列得方程：235 +1.5x = 87 + x +59 + x +26 + x x = 42即学生再行 42 米时，李老师距学校的距离刚好是三位学生距学校的距离和。14、从 23、65、35、96、18、82、70 这七个数中任意取出若干个数相加，其中和是 11 的整数倍的取法有 种。考点】数论 整除余数问题【分析】中等难度题，先求出这 7 个数除以 11 的余数，然后分类讨论即可。【解析】一些数的和为 11 的整数倍，那么它们除以 11 的余数之和也应是 11 的倍数。这 7
12、 个数除以 11 的余数依次为 1、10、2、8、7、5、4因此，本题实质为从 1、2、4、5、7、8、10 中取出若干个数相加，和是 11 的倍数有多少种取法123456、取 2 个数，有（1、10）（4、7），共 2 种、取 3 个数，有（1、2、8）（2、4、5）（4、8、10）（5、7、10），共 4 种、取 4 个数，有（1、4、7、10）（2、5、7、8），共 2 种、取 5 个数，有（1、2、4、5、10）（1、2、4、7、8），共 2 种、取 6 个数，有（1、2、5、7、8、10），共 1 种、取 7 个数，有 0 种综上，共有2 + 4 + 2 +2 +1 =11种。15、
13、如图，一张矩形纸片沿直线 AC 折叠，顶点 B 落在 F 处，第二次过点 F 再沿直线 DE折叠，使折痕 DEAC，若 AB5，BC3，则梯形 ACDE 的面积为。 DCFBEA【考点】几何共边定理学而思比对】五年级暑假第 10 讲等积变形与鸟头模型分析】中等难度题，先等积变形，然后使用共边定理即可。解析】如下图，由于 ACDE，所以 SDACF = SDACD = SDACE显然， SDACF = SDACB【SDACB = SDACD = SDACEEA = AB ， BC = CD1SDBDE = 2SDABD = 4SDABC = 4 5 3 =3021SACDE = SDBDE -
14、SDABC = 30 - 53 = 22.52DCFBEA16、一个九位数所包含的数码恰好是 1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个，且这个九位数的任意两个相邻数码所组成的两位数都可以表示为两个一位数的乘积。这个九位数是。【考点】组合简易推理分析】中等难度题，先求出这 7 个数除以 11 的余数，然后分类讨论即可。解析】由于 99 = 81，所以两个一位数的乘积无法表示一个大于 81 的数，所以在 这个九【位数中，数字 9 后面不能再有数字，所以数字 9 一定在个位，而且数字 8 的后面一定是 1由于89 = 72 ，而79 = 63 70 ，88 = 64 70，所以数字 7 的后面一定
15、是 2由于 17、37、47、67 均为质数，57 = 319，77 = 711，所以 17、37、47、57、67、77 都无法表示为两个一位数的乘积，而 2 又必须在 7 的后面，所以 27 无法出现，所以在这个九位数中，7 的前面不能再有数字，所以数字 7 一定在首位由于 19、29、59、79 均为质数，而39 = 313，69 = 323 ，所以 19、29、39、59、69、79 都无法表示为两个一位数的乘积，所以数字 9 的前面必须是 4由于38 = 2 19 ，58 = 229 ，68 = 22 17 ，18、48、78 无法出现，所以数字 8的前面必须是 2所以这个九位数一定
16、以 7281 开头，以 49 结尾还剩下的 3、5、6 中，5、6 均可接在 1 后面若 1 后填 5，则此时 3 不能填在 5 后面，所以 5 后面必须填 6，此时 6 后面填 3，但34 = 217 不符合要求 所以 1 后面要填 6，此时 5 不能填在 6 后面，所以 6 后面必须填 3，此时 3 后面填，整个九位数为 728163549，经验证符合要求。5综上，所求九位数为 728163549。三、解答题（请写出必要的解题步骤）（第 17 题，12 分 第 18 题，15 分）137、商店以每个 30 元的批发价购进一批足球，按每个 45 元的零售价卖出，当卖到还剩下0 个足球时，已获
17、利 1500 元，请问商店购进足球多少个？【考点】组合经济问题学而思比对】五年级秋季第 13 讲列方程解应用题分析】中等难度题，可用算术法，也可用方程解。解析】法一：当剩下 30 个足球都卖出后，商店共获利1500 +3045 = 2850 元。【每个足球获利 15 元，所以共购进2850 (45-30) =190 个足球。法二：设购进足球x 个。依题意，有45(x -30) =30x +1500 x =19018、有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵。如果在队列中再增加 120 或从队列中减去 120 人，都能组成一个正方形方阵，那么原长方形方阵中共有多少名学生？考点】数论平方差公式学而
18、思比对】五年级秋季第 8 讲完全平方数分析】此题较难，需要考生看出两个完全平方数的差为 240。解析】设原长方形方阵共有x 名学生，【+=2x 120 a再设 x-120 = b2有a2 -b2 = 240(a + b)(a - b) = 240而240 = 1240 = 2120 = 380 = 4 60 = 548=640 = 830 =1024 =1220 =1516由于学生能组成一个八列的长方形方阵，8 x 8 x +120 8 a2 4 a同理，4 b4 a + b ， 4 a - ba + b = 60 a + b = 20或a - b = 4a - b =12a = 32a =16b = 28 或 b = 4x = 904x =136所以，原长方形方阵有 904 名学生或有 136 名学生。更多历年真题，敬请关注唯课数学公众号vclassedu