2021北京交大附中高二(上)期中数学(教师版).pdf

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1、2021北京交大附中高二(上)期中数学一、选 择 题(本大题共1 0 小题,每小题4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(4 分)在空间直角坐标系中,A(2,1,3),3(3,2,1),则 荏=()2.3.A.(1 ,1,-2)B.(-1 ,-1,2)(4 分)棱长为。的正四面体的表面积为(卜殍(4 分)平面a 的一个法向量为(1 ,2,0),C.C.(5,3,4)D.D.(6,2,3)平面分的一个法向量为(2 ,-1,0),则平面a 与平面尸的位置关B.冬 产)44系是(A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定4.(4 分)在四面体中,点 P 为棱

2、BC的中点.设 函=d,OB =b,O C =c,那么向量而用基底,)b,1 可表示为(A.2 2 2B.-a+-b+-c2 21 -1C.c i H b 4c2 2D.-a+-b+-c2 2 25.(4 分)如图,将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个几何体,则这个几何体某顶点到其相对面的距离是()A.B.C.B D.也3 3 3 36.(4 分)设c,6 是两个不同的平面,是直线且机u a,/是,匕/月”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.(4 分)如图,四棱锥P-/W C D 中,所有棱长均为2,O 是底面正方形/W

3、CQ中心,E 为 P C 中点,则直线OE与 直 线 所 成 角 为()C.45 D.908.(4 分)如图,在长方体A 3 8-A B C R 中,然=4。=2,AB=3,E,F 分别为棱C Q 的中点,过班 的平面a 与直线G E 平行,则平面a 截该长方体所得截面的面积为()A.3 B.3 0 C.3 4 D.369.(4 分)九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖腌”.在如图所示的四棱锥尸-他 8 中,PO_L平面A B C D,底面ABC。是正方形,且PD=C D,点E,尸分别为P C,尸。的中点,则图中的鳖膈有()BA.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个10.

4、(4 分)在卜列命题中:存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等;存在一条直线与正方体的6 个面所成的角都相等;存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等;存在一个平面与正方体的6 个面所成较小的二面角都相等.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填 空 题(本大题共5 小题,每小题4 分,共 20分,把答案填在题中横线上)11.(4 分)一个圆柱的母线长为3,底面半径为1,则圆柱的侧面积是.12.(4 分)已知向量1=(1,0,-1),写出一个与向量垂 直 的 非 零 向 量 的 坐 标.13.(4 分)如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥

5、的底面圆上的点P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处.若该小虫爬行的最短路程为4 0,则圆锥底面圆的半径等于.14.(4 分)已知向量a,5 满足|刈=|6|=1,且 a,5 的夹角为巴,o 为平面直角坐标系的原点,点A、B 满足30 A=2a+b,OB=3d-b,贝 UAOA8的 面 积 为.15.(4 分)如图所示,正方体夕。的棱长为1,E、F 分别是棱4 T,C C 的中点,过直线E,产的平面分别与棱8 8,D D 交于-M、N ,设=x e(0,l),给出以下四个命题:四 边 形 尸为平行四边形;若四边形MEN厂面积S=/.(X),x e(0,1),则/(x)有最小值:若四棱锥4-

6、例*尸的体积V=p(x),x e(0,l),则 p(x)是常函数;四边形MENF周长L=f(x),1 是单调函数;若多面体用JC-MM 的体积V=/?(x),x e(1,1),则/z(x)为单调函数.其中正确的命题序号是.三、解答题(本大题共4小题,每小题15分,共6 0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(1 5分)如 图,三棱柱A 8 C-A 4 G中,底面,AB =A C,。是8 c的中点.(I)求证:8 C L平面A A。;(N)若 4 4 c =90。,B C =A,D=4,求三棱柱 A B C-A,4G 的体积.17.(1 5分)已知直三棱柱A 8 C-A B C中,

7、AA8C为等腰直角三角形,N84C=90。,S.AB=AA.,D,E,F分别为81A,CXC ,8 c的中点.(I)求证:直线E/平面ABC;(I D求直线期与平面A砂 所 成角的大小.18.(1 5分)如 图,三角形A 8C和梯形AC所 所 在的平面互相垂直,A B Y B C,A F L A C,A F/C E且A F =2CE,G 是线段班 上一点,AB=A F =BC=2.(I)当G8=G/时,求证:EG平面A8C;(I I )求二面角 3/一A的余弦值;(I I I)是否存在点G,满 足 平 面A E G?并说明理由.1 9.(1 5分)首 项 为0的无穷数列%同时满足下面两个条件:

8、1 4+%1=;,9.(I)请直接写出的所有可能值;(I I )记=4 n,若以%对 任 意 成 立,求?的通项公式;(I I I)对于给定的正整数3 求4+4+处的最大值.2021北京交大附中高二(上)期中数学参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4 分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.【分析】由空间向量的坐标运算直接求解即可.【解答】解:因为A(2,1,3),8(3,2,1),所以 A 月=(3,2,1)-(2,1,3)=(1,1,-2).故选:A.【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.2.【分析】正四面体的四个面都

9、是正三角形,且每个面的面积为且a?,由此即可求得答案.4【解答】解:棱长为。的正四面体的四个面都是正三角形,且每个面的面积为工储.且=正。2,2 2 4正四面体的表面积为4 x3/=+a1.4故选:D.【点评】本题考查正四面体的表面积求法,属于基础题.3.【分析】由数量积的运算可得数量积为0,可得法向量垂直,故平面垂直【解答】解:由题意可得(1,2,0).(2,-1,0)=lx 2-2 x l+0 x0=0,故两个平面的法向量垂直,故平面a 和平面P的位置关系为垂直,故选:C.【点评】本题考查平面的法向量,涉及平面与平面的位置关系,属基础题.4.【分析】先根据点尸为棱3 C 的中点,则0 户=

10、;(0 月+觉),然后利用空间向量的基本定理,用b,5 表示向量A户即可.【解答】解:.点P 为棱3 c 的中点,O P=(O B+O C),AP=OP-OA=(OB+OC)-OA,又,/OA=a,OB=h,OC=c,:.AP=-(O B+OC)-OA=-a +-b +-c .2 2 2故选:B.【点评】本题主要考查空间向量的基本定理,以及向量的中点公式要求熟练掌握,同时考查了转化的思想,属于基础题.5.【分析】由题意画出折叠后的几何体,可知几何体为棱长是1 的正四面体,求出正四面体的高得答案.【解答】解:由题意可知,折叠后的几何体满足A、3、C 重合,且几何体为棱长是1 的正四面体,如图:则

11、各顶点到其相对面的距离相等,取底面瓦6 的中心为O,连接4 9,则 AOJ平面E R J,连接召。并延长,角FG于D,.三角形EFG是边长为1的等边三角形,出可一点/,:.E O=-E D=,3 3则 AO邛 一 件 f邛.即这个几何体某顶点到其相对面的距离是远.3故选:A.【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题.6.【分析】机/尸并得不到a/,根据面面平行的判定定理,只有a 内的两相交直线都平行于/?,而a/尸,并且根u a,显然能得到?/,这样即可找出正确选项.【解答】解:,w u a,?/得不到。/夕,因为a,可能相交,只要m

12、 和 a,4 的交线平行即可得到,“/;a/,iu a ,叱和 没有公共点,:.加/月,即a 尸能得到?/;“m U p”是“a /a 的必要不充分条件.故选:B.【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念.7.【分析】可连接AC,O P,由已知条件便知这三直线两两垂直,从而可分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可设棱长为2,从而可求出图形中一些点的坐标,据向量夹角的余弦公式便可求出【解答】解:根据条件知,P 点在底面ABCD的射影为O,连接AC,BD,P O,则0 3,OC,OP三直线两两垂

13、直,从而分别以这三直线为x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系:设棱长为 2,则:0(0,0,0),C(0,夜,0),PP(0,0,扬,E(0,当 孝)A(0,-V2,0),B(立,0,0),D(-V2,0,0).南=(0,农,立),5=(-夜,0,-夜),2 2COS=OEPDOEPD_2r.O E 与 P 所成角为60。.故选:B.z.【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量求异面直线所成角的方法,能求空间点的坐标,向量夹角的余弦的坐标公式,弄清异面直线的方向向量的夹角和异面直线所成角的关系.8.【分析】由过所的平面a 与直线C E 平行,得平面a 是 矩 形 由 此 能 求 出

14、平 面 a 截该正方体所得截面的面积.【解答】解:在 A B 8-A B C R 中,E,F 分别是棱A4,C Q 的中点,.过B F的平面a 与直线G E 平行,又 AFUCE,平面a是平面ABF,取。R 中点G,连结G F,AG,.平面a 截该正方体所得截面为矩形A B=3,BF=.平面a 截该正方体所得截面的面积为S矩囱诋=3下.【点评】本题考查平面截正方体所得平面面积的求法,考查线面平行的判定定理、线面平行的判定定理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.9.【分析】根据条件找出四个面都为直角三角形的四面体即可.【解答】解:底面/WC,:.PDVDC,P D Y B C,又 四 边 形

15、 为 正 方 形,.BCrCD,.8C_L平面PC。,B C r P C,四面体P/)8C是一个鳖膈,.)Eu平面,:.BCVDE,.P D =C D,点 E是 PC 的中点,:.DE1.PC,PCQ BC=C,O E,平面 PBC,可知四面体E B C D的四个面都是直角三角形,即四面体E B 8是一个鳖腌,同理可得,四面体以班)和都是鳖脯.故选:C.【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质,考查了空间想象能力和逻辑推理能力,属中档题.10【分析】作出正方体,然后由正方体的几何性质以及线线角、线面角、二面角的定义分析判断即可.【解答】解:作出正方体如图所示,存在一条直线A C与正方体的12

16、条棱所成的角都相等,故选项正确;存在一条直线AC,与正方体的6个面所成的角都相等,故选项正确;存在一个平面4片 与 正 方 体 的12条棱所成的角都相等,故选项正确;存 在 一 个 平 面 与正方体的6个面所成较小的二面角都相等,故选项正确.故选:D.【点评】本题考查了空间角的理解与应用,主要考查了线线角、线面角、二面角的定义的应用,正方体几何性质的应用,考查了逻辑推理能力与空间想象能力,属于中档题.二、填空题(本大题共5 小题,每小题4 分,共 20分,把答案填在题中横线上)11 【分析】利用圆柱的侧面积公式求解即可.【解答】解:因为圆柱的母线长为3,底面半径为1,所以圆柱的侧面积为2 x

17、7 x lx 3 =6zr.故答案为:6万.【点评】本题考查了圆柱的侧面展开图的理解与应用,考查了逻辑推理能力,属于基础题.12.【分析】根据题意,设要求向量为比,沅=(x,y,z),由空间向量数量积的计算公式可得x、y 的关系,由此分析可得答案.【解答】解:根据题意,设要求向量为而,沆=(x,y,z),则有比d=x-y =0,必有x=y,则向量所可以为(1,0,1),故答案为:(1,0,1),(答案不唯一).【点评】本题考查空间向量数量积的应用,注意空间向量数量积的计算公式,属于基础题.13【分析】直接利用圆锥的展开面小虫的爬行的最小距离即4 5 的长,最后利用弧长公式的应用求出半径的长.【

18、解答】解:根据圆锥的侧面展开图:得知:04=08=4,AB=4&,所以。4?+08、A B,故 NAOB=工,设圆锥的底面半径为r,利用4 x 工=2%r,解得/=L2故答案为:1.【点评】本题考查的知识要点:圆锥的底面半径的求法,展开图的弧长和底面周长的关系,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.1 4.【分析】由向量的运算能求出|西|而|和 方.砺,代入夹角公式得c o s N B Q A,利用三角函数知识能求出s i n N B O A,由此利用.Q4B的面积S=g|丽|丽h s i n N B O A ,能求出结果.【解答】解:向量值 ,5满足|d|=|6 1=1,且

19、&,的夹角为三,3O为平面直角坐标系的原点,点 A、3满足O X =2d +b,O B =3 a-b,;|=J(24+5)2=,4片+4小5 +庐=,4+4 x g +l =V 7 ,I O B|=y1a-b)2=yl9 a2-6 a-b+b2=OAOB=(2a +办(3。-6)=6下+痴-川=6+-1 =2 21 1c o s Z B O A =O A B 5 1 1OAJ(OB V 7.V 7 1 4s i n Z B O A=Jl-()2=,V 1 4 1 4的面积 S=-OAJOB|.s i n Z B O A2 1 4 4故 答 案 沏 孚【点评】本题考查三角形面积的求法,是中档题,

20、解题题时要认真审题,注意向量的模、数量积、三角函数等知识点的合理运用.1 5【分析】利用面面平行的性质可以判断命题的正确与否;对于命题要在命题的基础上得到四边形E/W7 V为菱形,从而能得出正误;命题采用分割法.得到同底的两个三棱锥;命题将周长的函数解析式求出来进行判断;命题因为E,尸是中点,所以平面ME NF平分正方体.【解答】解:.平面A DZ 7 A,/平面B C C 0.:.EN/NF.同理可证四边形M E N F为平行四边形.故正确.-.-M E=M F.,平行四边形用EN尸为菱形.,四边形MEN/面 积 S=/(x)=g.E Q M N.当“为 9的中点时即x=;时,M N最短,此

21、时面积最小.故正确.连结M、A N、A M ,则四棱锥被分割成两个小的三棱锥,它们都以AE尸为底,以M、N 分别为顶点的两个小棱锥.又因为三解形田的面积是一个常数,M、N 到平面田 的 距离之和是个常数,所以四棱锥A-M ENF的体积为常数.故正确.E M=M F =J l+(g_x)2=/_ x +:.二.四边形A ffiN f周长L=/(x)=4 jx 2-x +:,在 0,1 上不单调.故错误.;多面体ABC AffiNF的体积V=(x)=g 匕BCOT BC,”=g 为常数.故错误.故答案为:【点评】本题考查面面平行的性质、分割法求体积和用代数法求周长及函数的单调性,知识点较多,综合性

22、较强.三、解答题(本大题共4 小题,每小题15分,共 60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.【分析】(I)推导出3CJ_A),A A J-B C,由此能证明5C_L平面(II)推导出 AO=;BC=2,AB=A C =2y/2.由 AA_L底面 A B C,得 例=J jD2-5=依-展=2后,由此能求出三棱柱A B C-A A G 的体积.【解答】证明:(I)因为。是 3 c 的中点,AB=AC,所以 3 c _L AD.因为AA_L底面ABC,B C u平面ABC,所以 A A _L B C,又因为所以 BCJ平面 A 4 3._(3 分)解:(II)因为Nfi4c=90。

23、,BC=A =4,。是 3 c 的中点,所以 AO=1BC=2,AB=AC=2 梃.2因为44_1_底面48。,所以A4,=4 0 2 _ 仞2=依-啜=28.所以三棱柱A 8C-A 筋G 的体积:V=S枷cA A=;x2应X2&X2/=8 6.(6 分)【点评】本题考查线面垂直的证明,考查三棱柱的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.17【分析】(/)根据直线与平面平行的判定定理可知,只要在平面A8C里面找到一条直线与DE平行即可,过上构造平行四边形,使其与平面ABC相交,则可得上 与交线平行,所以进一步可得Q E/平面

24、4 3 C;()如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 型,令 43=4=4,求出平面的法向量与直线的方向向量用向量法求解即可.【解答】(/)证明:设 的 中 点 为 G,连接G,CG,则 D G/A 4,且。G=A 4 1,又 E C/4 4,且 EC=A4(,所以 ZXV/EC且 QG=EC,所以四边形QGCE为平行四边形,.-.D E/G C,又 DEtABC,GC 仁面 A8C./平面 A8C;()解:如图建立空间直角坐标系O-型,令48=例=4,贝lj4(0,0,0),E(0,4,2),5(2,2,0),8(4,0,0),B,(4,0,4),0(2,0,2),BtF=(-2,2,

25、-4),=(2,-2,-2),A尸=(2,2,0),.丽 丽=0,BFAF=Q ,:.BFEF,BJF A.AF,v AFEF=F,二 8/_1_平面 AEF.平面A砂的一个法向量为4/=(-2,2,-4).又 AB;=(4,0,4),设直线AB、与平面AEF所成角为0,._ 一 AB;BF 66斤 D I sin Q=rnc w R F=A R、=-=-,AB;|B 尸【点评】本小题主要考查空间线面关系,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,属于中档题.18【分析】(I)当G3=G尸时,根据线面平行的判定定理即可证明E G/平面ABC;(I I

26、)建立空间直角坐标系,利用向量法即可求二面角E-B F-A的余弦值;(I l l)根据线面垂直的判定定理和性质定理,建立条件关系即可得到结论.【解答】(I)证明:取中点。,连接GO,CD,又G B =G F ,所以A尸=2GD.因为AEC 且 AF=2 C E,所以G平行且等于CE,四边形GZX石是平行四边形,所以C/EG因为EG仁平面ABC,Cu平面ABC所以E G/平面ABC.(H)解:因为平面ABC_L平面A C E F,平面A B C C 平面ACEF=AC,且 A尸_L A C,所以4F_L平面ABC,所以 AF BC因为B C _L/W,所以8 c d.平面W.如图,以A 为原点,

27、建立空间直角坐标系A-乎.则 F(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),E2,2,1),BC=(0,2,0)是平面 ABE 的一个法向量.设平面尸的法向量万=(x,y,z),贝_ 9 i令 y=1,则 z=-2,x=-2,所以万=(-2,1,-2),所以 cos=/=-2-J4+1 +4 3由题知二面角E-M-A 为钝角,所以二面角E-8 F-A 的余弦值为-.3(III)解:因 为 丽 通=(-2,0,2)-(2,2,1)=一 20片0,所 以 防 与 AE不垂直,所以不存在点G 满足所,平面AEG.【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算,建立空间直角坐标系,利用

28、向量法是解决本题的关键.1 9 【分析】(I )直接利用赋值法求出结果.(I I)利用假设法和分析法求出数列的通项公式.(I I I)利用上步的结论和分类讨论思想求出结果.【解答】解:(I )%的值可以取一2,0,-6(I I)因为a=%,,因为勿 白山对任意eM成立,所以 2 为单调递增数列,即数列 4 的偶数项见,出,每,出”是单调递增数列根据条件%=-1,4=0所以当见”.0 对 .2 成立下面我们证明“数列 4 中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列 aj中存在4 ,4”同时为非负数因为 l q+i 1=,若 aM-ai=i,则有 a,*=q +i.i -,与条件矛盾若 4+|-a:=

29、-i,则有4 =a,+|+i.i ,与条件矛盾所以假设错误,即数列“中相邻两项不可能同时为非负数此时见”.0 对.2 成立,所以当 .2 时,为1,向,即。2,1 生“,2+l a2 n所以=2 -1 ,=-(2 n-2)所 以 “-a2 n_,)+(a2,I-a2 n.2)=l即%,其中.2即仇-1=1,其中.2又 4 =4=1,h2=a4=0所以 2是以4=-1,公差为1的等差数列,所以 a=-1+(-1)=-2(I I I)t己 S*=4+%+%+.+a*_ 1+a 由(H)的证明知,an,。向不能都为非负数当册.0,则4+i 0,7 1根据 1%+1 一%1=,得到。+1=4一,所以4

30、 1+4用=2%-倭 电 n-1当。用.0,则4 0根据1 4 +1 一。1=,得到%=4+1 一,所以q +%=2%+1 -磁2七三一-n 0所以,总有an+a,”,0成立当为奇数时,1 4-。+1 1=,故,。t,。”的奇偶性不同,则-1当为偶数时,川+%,0当 k 为奇数时,S f.=4 +(%+%)+(4 _ +&.)”0L _ 1 b 考虑数列:0,-1,1,-2,2,一幺,2 2可以验证,所给的数列满足条件,且&=0所以l的最大值为0当 k 为偶数时,Sk=(4 +劣)+(%_ +c”)考虑数列:0,-1,1,一2,2,,-匕,勺 心,2 2 2可以验证,所给的数列满足条件,且&=-?所以既的最大值为【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,分类讨论思想在求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

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