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1、2021北京工大附中高二(上)期中数 学命题人：谢 辉 审 核 人：肖志军(考试时间120分钟，总 分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.若直线经过4(1,0),3(4,3)两点，则直线A8的倾斜角为A.30 B.45 C.602.已知点A(x,1,2)和点3(2,3,4),且4用=2#,则实数x的值是A.6或一2 B.6或2 C.3或-43.过 点 且 垂 直 于/：x-2y+l=0的直线方程为D.120D.一3或4A.x+2y+l=0 B.2x+y 1 =0 C.x 2y 3=0D.2 x-y +3=04.已知双
2、曲线的下、上焦点分别为片(0,-3),6(0,3),P是双曲线上一点且归周一|户曰=4,则双曲线的标准方程为A.2 2_匕4 5B.C.2 2匕-=14 52 2D.2 1-2=15 45.点A为圆(x-l+y2=i上的动点，总是圆的切线，|/训=1,则点P的轨迹方程是A.(x-1)2+j2=4 B.(X+产=2 C.(x+l)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=26.2 2椭圆=+2Ta2 b2=l(a Z?0)的中心O与一个焦点厂及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形F B O,则椭圆的离心率是A.C.D.V222B.O1 7.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知尸
3、A=a，PB=b PC=c，PE=-P Df则 丽=1-1 r J L -B.Q+Z?+C2 2 2D.一 1 一 3 -a b+c28.若椭圆C：7+F=1满足=Q+C,则该椭圆的离心率6 =,5RVio41 +亚29 .设。：相小+利尸=i表示的是椭圆；q-,m0,n0 ,则P是4成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件1 0 .正方体AAAA-用 与&6t的棱长为1,则集合 x|x =砥硒,i,j G 1,2,3,4)中元素的个数为A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共3 0分)2 21 1 .已知椭圆会+着
4、=1的左右焦点分别为，乃，过点片的直线/交椭圆于“，N两点，则的周长为1 2.已知平面a和平面”的法向量分别为2 =(1/,2),b=(x,-2,3),且 近W，则=.1 3.直线x +2 y-5 =0与 圆/+,2 =6交于点A,B两点，则线段A 8的长.1 4.如图，在直三棱柱A B C-ARC中，A B A C=90 ,蝴=A片=A C =4,点E是棱C&上一点，且 屋=?，则CE 3异面直线48与A E所 成 角 的 余 弦 值 为.1 5 .北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2 兀
5、与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3 个面角，每个面角是四，所以正四面体在各顶点的曲率为37T2 兀一3 x -=兀，故其总曲率为4 兀，则四棱锥的总曲率为31 6 .如图，在正方体A B C。-A B C i 9 中，M，N 分别是棱AB，B 片 的中点，点 在 对 角 线 上 运 动.当4 p P M N的面积取得最小值时，则A C三、解答题(本大题共5 个小题，共 7 0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .(本小题满分15分)已
6、知圆 C:x)+y 2-6x-8 y+21=0,直线/过点 A(l,0).(I )求圆C的圆心坐标及半径长；(I I)若直线/与圆C相切，求直线/的方程；(I I I)当直线/的斜率存在且与圆C相切于点8时，求|A 8|.18 .(本小题满分13分)已知长轴长为2 0 的椭圆C 与+方=1(4 0)的一个焦点为(TO).(I)求椭圆C的方程；(0)若斜率为1的直线/交椭圆C于 A,8两点，且|A B|=华，求直线/的方程.19.(本小题满分15分)已知三棱柱ABC-A与G 的侧棱垂直于底面，Z B A C =9Q,A B =A C =A At=,E、F分别是棱C。、的中点.(I )求证：8/1
7、 平面A E F；(I I)求二面角尸一4 E-A的大小；(I I I)求点F到平面EABt的距离.20.(本小题满分13分)已知椭圆C:+，=l(a%0)过点外0,1),离 心 率 为 手，直线/：y =丘-2 与椭圆C交于点6，P2,记直线 心，P 舄的斜率分别为占，k2.(I )求椭圆C的方程；(I I)求他的值.2 1.(本小题满分14分)等边三角形ABC的边长为4,CQ是 A8边上的高，E、F分别是AC和 BC边的中点，现将A 4 BC沿 CQ翻折成直二面角A-DC-B.(I )试判断直线4 8与平面D E 尸的位置关系，并说明理由；(I I)求平面D E F和平面C D F夹角的余
8、弦值；(I I I)在线段BC上是否存在一点尸，使 AP_ LD?若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由.2021北京工大附中高二(上)期中数学参考答案1.B【分析】首先根据斜率公式求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得；【详解】_n解：因为A(1,O),3(4,3),所以号8=泞=1,设直线4 8的 倾 斜 角 为 仇 则t a n e =l,因为0。4。18 0。，所以 6=45。故选：B2.A【分析】利用空间两点间的距离公式求解.【详解】点 A(x,l,2)和点 8(2,3,4),且|=2#,J(x _ 2)2+(1-3)2+(2-4)2=2瓜.化简得(x-2)2=1 6,解得
9、x =6 或x =-2,实数x的值是6或-2.故选：A3.B【分析】求出直线/的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.【详解】直线/:x-2y +l =O 的 斜 率 为 而 所 求 直 线 垂 直 于 直 线/,则所求直线斜率为-2,于是有：y +l =-2(x-l),即 2x+y-l=0,所以所求直线方程为2 x+y-=0.故选：B4.C【分析】求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：二-二=1(。0/0),半焦距为Ja h则 c =3,勿=4,则。=2,故 从=。2_/=9.4=5,所以双曲线的标准方程为亡-=1.4 5故选：C.5.B【分析】由圆的
10、切线性质，结合已知有尸和圆心的距离恒为五，设P(x,y)即可写出p的轨迹方程.【详解】V|M|=1,二点1和圆心的距离恒为也,又圆心(1,0),设P(x,y),:,由两点间的距离公式，得(x-)2+y2=2.故选：B6.D【分析】设椭圆半焦距为C,根据给定条件可得C,再确定与C的关系即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c,因椭圆的中心。与一个焦点尸及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形F B O,则有6=c,而储=/+,2,于是得 =&c，所以椭圆的离心率是e=Y Z故选：D【分析】利用空 间 向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥中，底 面A f iC。是正方 形，PA=a，P B =b P
11、 C =i，P E =P D ,所 以 质=g（而+=_；而+g（丽+网=APB+LBA+L-BC=-PB+-（PA-PB+-（PC-PB2 2 2 2 2、,2、1 3 1 1 -3 -1 -=-P A P B +-P C =-a b+-c.2 2 2 2 2 2故选：A.8.C【分析】由题意构建齐次式即可得到结果.【详解】由题意知2/=a +c,又ci1=廿+C1,：.4（i z2-c2）=（t z +c）2A 5 e2+2 e-3 =0，即e=|或e=-l （舍），故选:C.【分 析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【详 解】若+”,2 =表示的是椭圆，则 机 0,
12、0且件“，即pnq成立;反例：当加=1 时，加？+,2 =1 表示的是圆，即qnp不成立；即P 是q 成立的充分不必要条件，故选：A.1 0.D【解析】熟悉向量数量积的儿何意义的话，这道题就很简单，:4瓦在福方向上投影始终是1,44二4瓦=1,选D1 1.1 2【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】因为过点线的直线/交椭圆于,N 两点，由椭圆的定义得：MFl +MF2 =2 a=6,NF,+NF22 a=6,所以8 M N 的 周 长 为+周)+(|N用+|N6|)=1 2,故答案为：1 21 2.-4【分析】根据法向量垂直即可求出x 的值.【详解】,:a 邛,：.a b =O,即 l xx+l
13、 x(-2)+2 x3 =0,解得 x=T.故答案为：-4.1 3.2旧.【分析】求出圆/+V=1 6 的圆心和半径，结合点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后结合圆的几何性质即可求出结果.【详 解】圆X?+2=1 6的圆心为(0,0),半 径 为4,则圆心到直线的距离为1=V 5 ,所 以 线 段A B的长为-=2而，故答案为：2 旧.14.逑1 0【分 析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；【详 解】解:如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则4(0,0,0),8(4,0,4),4(0,0,4),(0,4,1),所 以 港=(4.0,4),_AE=(
14、O,4,3),设异面直线A-AE|4X(-3)|3&4田 与A E所 成 角为。，则c o s 6=;=_ _ 二 力 ，=殊-)|A4 IA I 7?。+(一31 0故答案为：巫1 01 5.4兀【分 析】由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，【详解】解：由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1 个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1 个为四边形组成，所以面角和为4 兀+2 n=6 兀，故总曲率为5 x2?r-6 兀=4 兀.故答案为：4 7 r.【解析】设正方体的棱
15、长为1,以A 为原点，分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示:11 3 1则 M(5,0,0),ML。,)，MN的中点。4(0,o,l),C(l,l,0),贝 IJ 至=(1,L 1),设 P(7,/,z),P C =(l-t,l-t,-z),由 而 与 定 共 线，可 得?=二 彳，所以f=l-z,所以尸(l -z,l z,z),其中OWzWl,因为1 1 1|W|=(l-z-)2+(l-z-0)2+(z-0)2=3Z2-3Z+|,|P N|=(l-z-l)2+(l-z-0)2+(z-1)2=3Z2-3Z+|,所以|丽 j=|西I，所以P Q L M N,即I PQI 是动点尸到
16、直线MN的距离,由空间两点间的距离公式可得|P Q|=(l-z-1)2+(l-z-O)2+(z-=3Z2-3Z+1=1 3(Z)2+3,所以当c=，时，|P Q|取 得 最 小 值 逅，V 2 8 2 4此时P为线段C R的中点，由于|N|=*为定值，所 以 当 的 面 积 取 得 最 小 值 时，p 为线段C 4的中4点.1 7.(本小题满分1 4 分)已知圆 C:x 2 +y 2-6 x-8)，+2 1=0,直线/过点 A(1,O).(1)求圆C 的圆心坐标及半径长；(2)若直线/与圆C 相切，求直线/的方程；(3)当直线/的斜率存在且与圆C 相切于点B时，求|A B|.(1)圆心坐标是(
17、3,4),半径长是 2；(2)x=l 或3 x 4 y 3 =0；(3)4.【分析】(1)将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；(2)分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程是y =/(x-1),再利用圆心到直线的距离等于半径，求得斜率，即可得解；(3)由(2)得切线的方程，设圆C 的圆心是点E(3,4),求出AE 的长度，在利用勾股定理即可得解.【详解】解：把圆C 的方程化成标准式方程，为(x-3 y+(y-4)2=2 2.(1)圆C 的圆心坐标是(3,4),半径长是2.(2)当直线/的斜率不存在即其方程是x =l 时，满足题设.当直线/的斜率存在时，
18、可设直线/的方程是y =%(x-l)即 丘-y=0.由圆心(3,4)到直线/的距离等于圆C 的半径长2,即 昨 323解得y,进而可得此时直线/的方程是3 x-4 y-3 =0.综上所述，可得直线/的方程是x =l 或3 x-4 y-3 =0.（3）由（2）的解答可得直线/的方程是3 x-4 y-3 =0.设圆C 的圆心是点E（3,4）,则A E=4 +1 6 =2 逐,所以|A =yjAEf-EBf=4 2 0 -2 2 =4.历 2 21 8.已知离心率e =节的椭圆C:3+忘=1（。方0）的一个焦点为（-1,（）.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1 的直线/交椭圆C 于 A ,B两
19、点，且|A B|=殍，求直线/的方程.【答案】（1）+y 2=l ；（5 分）（2）y =x +l 或 y =x 1 （1 0 分）（1）由题意，c=l .1 分=1 ；.4 分丫2,椭圆C 的方程为+.5分2（2）设直线/的方程为 =+机，点 A（w，y）,3（马,巴）.6分-F y2-1,联立方程组彳2y =x+m,化简，得 3/+4M+2/T?-2 =0 .7 分由已知得，=1 6 根2-1 2（2 m2-2）=-8 m2+2 4 0即-6 相V百，.9分且玉+%=4 m 2 m2-2E，X”-3.1 1 分I AB-y/l+k2|x2 X|=夜 J(%2+x j-4 X 尤 2 .1
20、2 分/-I-8m2+24_4&亍解得加=1,符合题意.1 4 分直线/的方程为y =x+i 或 y =x-i .1 5 分1 9.(1)证明见解析；(2)4 5；(3)【分析】(1)以A为原点，AB为x轴，AC 为)，轴，AA为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明4尸，平面AEF.(2)求出平面E F g 的法向量和平面AB的法向量，利用向量法能求出二面角尸-8 避-4的大小.(3)求出平面A4E 的法向量成=(2,1,-2 M F =(p1,0),利用向量法能求出点尸到平面E4 片的距离.【详解】(1)三棱柱A8C-ABG的侧棱垂直于底面，Z B A C=9 0 ,二以A为原点，
21、A8为 x轴，AC 为 y 轴，AA为 z 轴，建立空间直角坐标系，.AB=A C =AAt=,E、F 分别是棱GC、B C 的中点，二.片(1，0,1),F(，,0),A(0,0,0),jE(0 t 1,),2 22 1 1 1、一 1 1反尸=(一一=(0,1,-),A F=(-,-,0),2 2 2 2 2.麻 醺=0 廓 矫=0,:.B,F1 AE,BFIAF,.AErAF=A,AE,AF u平面A EF,平面 A E E 1 1 1 1 1(2)FBt,A 8；=(l,0,1),A =(),1,g),设平面EFq 的法向量万=(x,z),则 1 1n FBX=-x y +z =01?
22、21 j,取x =l,得法=(L 1,0),n FE=x +y+z =02 2 2设平面A B|E的法向量而=(a 山，c),则tn-AB=a+c=O_ 1 ，取。=2,得历=(2,1,-2),in-AE=b+c=O2设二面角尸-4E-A的大小为巴则 小=揄=总=孝，依图得二面角为锐角，二面角F-qE-A的大小为4 5。.(3)解：.平面AgE的法向量而=(2,1,-2),A F =(,；,0),点 F到平面E 4 片的距离：d小祠=|.|用 3 2V2121.（1）平 行（2）7（3）靠近B 的三等分点【解析】试题分析：（1）判定线面关系，可从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质得线线
23、平行，再利用线面平行判定定理确定，（2）求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先以点D 为坐标原点，直线DB、DC、D A为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的法向量，其中平面EDF的法向量需列方程组求解，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论（3）确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P 的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可 设 丽=力 前，再转化条件AP_LZ）石为_.-.1（A B +B P）D E =Q,解 得 2=5,即可确定P位置.试题
24、解析：（1）如图，在 AABC中，由E、F 分别是AC、BC中点，得 EF/AB,又 平面 DEF,E F u 平面 DEF,A 3/平面 DEF.（2）由题知，A D 1 C D,平 面 A D C L 平面B D C,且交线为DC,AD_L 平面 BDC,，AD_L3，AD1DC,又已知AO,8,CZ）两两垂直，以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,则力(0,0,2),8(2,0,0),C(0,2百,()E(0,底 1),尸(1,6,()平面CDF的法向量为0A=（。，0,2）,设平面EDF的法向量为 =（x，XZ）,取=(3,_63),D
25、A,n 21cos=-,DAn 7V21二面角E-DF-C的 余 弦 值 为7 设 P(x,y,0),则 衣.尻=岛 _2=0，=又 丽=(x 2,y,0),无=(一x,20一y,0),.BP/1 PC-U-2)(2A/3-y)=-Ay.y/3x+y=2y/3 f 9 2J3 4 1 -把 =包.代 入 上 式 得X =一 ,6P=-6C,3 3 3.在线段BC上存在点P（色,空,0）,即靠近B的三等分点，使AP_LOE.3 3考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角、确定点的位置【名师点睛】判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a 4 a,b u a,a b n a a)；(3)利用面面平行的性质定理(a 0,a u a=a。)