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1、2021北京理工附中高二（上）期中数 学一、选择题共1 0小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .以下各种情况中，是长方体的是（）A.直平行六面体 B.侧面是矩形的四棱柱C.底面是矩形的平行六面体 D.底面是矩形的直棱柱2.己知,且 石=3，则向量a与B的夹角为（）3.已知2 =（2,3,2）,B =（T,2,1）,=（1 0,3,2）,若、B、2三个三向量共面，则实数之等 于（）7A.-2D-T4.如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线M N平面A 8 C的是(A.)B.5.四面体。钻。中,OA -a OB
2、 -b，O C=c，点 M 在线段 O C 上,且OM =2 MC,N为B A中点、,则M R 为（）A 1 a-2br+1 c-2 3 2B.2-a +1 br +1 c-3 2 2ir n 2rC.a+b c2 2 32 -2 -1 -D.a+b+c3 3 26.如图，在正方体A B C。-4 4 GA中，E,F,G,分别为A 4,A B,8综4 G的中点，则 异 面 直 线 所 与G”所成的角等于D iG小EAA.45 B.60 C.9 0 D.1 2 0 7.在正方体中，E为棱c o的中点，则.A 4 E 1 D C,B.A.E 1 B D C.A.E 1 B Ct D.A E 1 A
3、 C8 .已知A (0,0,1),8 (3,0,0),C(0,2,0),则原点到平面A B C的距离是()A.B.-C.1 D.771 19.己知a,夕是两个不同的平面，2 的一个充分条件是A.a内有无数直线平行于夕B.存在平面7,a ly,0 工yC.存 平 面/,aCy=m,4口/=且 加 D.存在直线/,/_ L a,i o.在棱长为1的正方体A B C。-4 4 aq中,M,N分别为8。,8G的中点，点P在正方体的表面上运动，且满A.点P可 以 是 棱 的 中 点C.点P的轨迹是正方形二、填空题共5小题，每小题4分，共2 0分.B.线段M P的最大值为也2D.点P轨迹的长度为2+逐1
4、1 .已知两个向量a =(2,-1,3),B=(4,Z,)，且，力，则?+的值为.1 2.如图，以长方体A B C。-4 4 G。的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 函 的 坐 标 为(4,3,2),则 常 的 坐 标 为13.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则 该 圆 锥 的 母 线 与 底 面 所 成 的 角 的 余 弦 值 是.14.已知直线/不在a,夕内给出下列三个论断：/_La；/月；a J 力；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.15.给定两个不共线 空间向量与石，定义叉乘运算：x 九规定：(i)axB 为
5、同时与a，B 垂直的向量；(ii)a b ,由正方体的性质可得MN 8。，可 得 直 线M N 平 面A 8 C,能满足;对 于D,作出完整的截面，如 下 图4 3 N M/7 C,可 得 在 平 面A 8 C内，不能得出平行，不能满足.H故选：D5.四 面体。4 8 c中,O A a O B=b 诙=，点M在 线 段OC上，且。W =2 M C，N为H 4中点，则必 正 为（）1 -2 T 1 -A.a。+c2 3 22-1 r 1 -B.。+。+c3 2 2 U M2 2 32-2-1 一D.a+b+c3 3 2【答 案】C【解 析】【分 析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合
6、图像即可得解.【详 解】解：根据题意可得,M N =M O+O N =-0 C+-(0 A+0 B =-a+-b-c.3 2、,223故选：C.6.如图，在正方体A B C O-A B C Q 中，6,分别为4 4 1,4 8,3 旦,耳 的中点，则 异 面 直 线 所 与 G H 所成的角等于【答案】B【解析】【详解】试题分析：取 4 片 的中点E，则由三角形的中位线的性质可得GE平行且等于A B 的一半，故 N E G H 或其补角即为异面直线4 6 与 G H 所成的角.设正方体的棱长为1,则 EG=,，A B =G H =E H ,故AEG”为等边三角形，故NEGH=60。.考点：空间
7、几何体中异面直线的所成角.【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想.取4 片 的中点E，由三角形的中位线的性质可得N E G 或其补角即为异面直线4 B 与G”所成的角.判断AEG”为等边三角形，从而求得异面直线A 8 与 G H 所成的角的大小.7.在正方体ABC。4 4 G 2中，E 为棱C D 的中点，则.A.X.E 1D C,B.AE L B D C.A.E 1 B Ct D.A,E 1 AC【答案】C【解析】【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论.【
8、详解】画出正方体A B C。4 4 Ge，如图所示.对于选项A,连。E,若又。C|_ L 4 Q,所以。G _ L平面AER,所以可得Z)G，RE，显然不成立，所以A不正确.对于选项B,连AE，若又所以。8 J _平面AAE,故得3)_ L A E，显然不成立，所以B不正确.对于选项C,连AA，则AOJ8G.连4。，则得AR所以平面ADE,从而得AD,V E,所以AEJ.BG.所以C正确.对于选项D,连AE，若又A C 1 A 4 ,所以A C,平面AAE,故得A C _ L A E,显然不成立，所以D不正确.故选C.【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用
9、排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题.8.已知A (0,0,1),8 (3,0,0),C (0,2,0),则原点到平面A B C的距离是()AV 7 R 6 而7 7 1 1【答案】B【解析】【分析】构建空间直角坐标系。-盯z,求面A 8 C的一个法向量身及 砺，由原点到平面A B C的距离为丽在而上的投影长，应用空间向量夹角的坐标表示求c o s 加 函，进而求点面距即可.【详解】由题设，A B =(3,0,-1),A C =(0,2,-1),若加二 (x,y,z)是面A B C的一个法向量，m AB=3x-z=0-2 *资 _ _ _ _ _,令y =l，则m=Q,1,2),又。
10、1 =(0,0/)，m-A C =2 y-z=0 3,m OA 2 6若原点到平面A B C的距离为d,则d为 乐 在而上的投影长，而c s=mOA=（49=7后 Id=|0A c o s =.7故选：B9.已知a,夕 是两个不同的平面，“。户”的一个充分条件是A.a内有无数直线平行于夕B.存在平面/,a l/,P L yC.存在平面7,ay=m ,4口7=且加/D.存在直线/,/la,11/3【答案】D【解析】【分析】根据线面平行判定、线面垂直性质定理等判定即可.【详解】解：对 于A.根据面面平行判定定理可得A错误；对 于B.当Cy,时，可能三个平面两两相交，不能得出平行，B错误；对 于C.
11、当a C ly =机，4口/=且小时，可能三个平面两两相交，不能得出。尸，C错误；对 于D.根据线面垂直推得：当力时，c尸成立，故D正确；故选：D.【点睛】平行关系之间的转化：线线平行|著|线面平行|I面面平行在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从 线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”.1 0.在 棱 长 为1的正方体-中，M,N分别为8。,Pg的中点，点尸在正方体的表面上运动，且满足 M P L C N ,则下列说法正确的是（）A.点P可 以 是 棱 的 中
12、 点C.点P的轨迹是正方形【答案】D【解析】【分析】B.线段M P的最大值为也2D.点P轨迹的长度为2+石在正方体 中，以点。为坐标原点，分别以D 4、D C、方向为X轴、y轴、Z轴正方向,建立空间直角坐标系，根据MP_LCN,确定点P的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.在正方体ABC。A耳G Q中，以点。为坐标原点，分别以ZM、D C、方向为X轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1,M,N 分别为B R,B 的中点，则0(0,0,0),w i l l7所以CN=(g,0,1,设P(x,y,z),则MP=(无一;，y-g,z-g ,因为 MP_LCN,所以+z =()2
13、x+4z-3=(),当x=l 时,z=；当x=。时,z=；2J 2 4 4取E1 1,0,),尸 ，1，)，(o,o，j，连接E f，FG,GH,HE，则 彷=曲=（0,1,0）,西=府=（l,O,j,所以四边形EEGH为矩形，则 而 丽=0，丽 西=0，即F_LOV，EH上CN,又=E，且 EFu 平面 EEG”,E H u 平面 EFGH,所以C N L平面EFGH,又丽疚=一 杲,与,所以M为E G中点，则MG平面EPG”,V 2 2 4J V 2 2 4 J所以，为使MP_LC7V,必有点P e平面FGH,又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH,因此点不可能是棱8月
14、的中点，即A错；又同=网=】，|丽H罔=字 所以 而 卜 丽 ,则点尸的轨迹不是正方形；且矩形ERGH的周长为2+2X =2+6,故C错，D正确；2因 为 点 加 为E G中点，则点为矩形EFG”的对角线交点，所以点M到点E和点G的距离相等，且最大，所以线段M P的最大值为由，故B错.2故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由M P L C W,求出动点轨迹图形，即可求解.二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知两个向量a=（2,-1,3）,b=（4,m,n）,且。力，则相+的值为.【答案】4【解析】【分析】依题意可得存在实数
15、;I使 得 石 即 可 得 到 方 程 组，解得即可；【详解】解：因为2=（2,1,3）,1=（4,加,），且 所 以 存 在 实 数 丸 使 得 石=。，即4=22 4=2=2（2,1,3）,即初二一一,解得,根二-2,所 以 加+=4n=3A n=6故答案为：412.如图，以长方体A 3 c O-A 4 G A的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 函 的 坐 标 为（4,3,2）,则 宿 的 坐 标 为【解析】【详解】如图所示，以长方体A B C。4 AGR的顶点。为坐标原点,过。的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因 为 函 的 坐 标 为
16、(4,3,2),所以A(4,0,0),C(),3,2),所以*=(T,3,2).1 3.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则 该 圆 锥 的 母 线 与 底 面 所 成 的 角 的 余 弦 值 是.【答案】1#0.5【解析】【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数.【详解】解：设圆锥的母线长为H,底面半径为，则：7tR=2兀 丫，R=2 r，母线与底面所成角的余弦值=(=;,母线与底面所成角的余弦值为4.2故答案为：工.21 4.已知直线/不在a,夕内给出下列三个论断：/，a；/；
17、a，/?；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】为条件，为结论【解析】【分析】为条件，为结论，命题正确，由线面平行的性质和面面垂直的判定可得答案；为条件，为结论，命题错误，举反例可得答案；为条件，为结论，命题错误，举反例可得答案.【详解】为条件，为结论，命题正确，证明如下：若/过/作平面7,与 平 面 夕 相 交 于 直 线 则 /a,因为/_ L a，所以a_L a,又au4，a A.0 为条件，为结论，命题错误，如下图，长 方 体 中 a L/3 ,但是/不垂直a；为条件，为结论，命题错误，因为/L a,a 1.（3-/2或者/u；故答案为：为条件
18、，为结论.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系，要求学生有较好的逻辑推理能力及空间想象能力.1 5.给定两个不共线的空间向量与石，定义叉乘运算：2 x 5.规定：（i）为同时与，B垂直的向量；（i i）,B，三个向量构成右手系（如图 1）;（i i i）根乂=恸忸卜皿（,石）.如图2,在长方体A B C。44GA中，AB=AD=2,A&=4.给出下列四个结论：荏、而=丽；ABx AD=A D x A B-（A 8 +A）x例=A B xA A +ADx AA 匕B C O-A B1c a =（而 xZb）.国.其 中，正确结论的序号是.【答案】【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案.
19、【详解】解：I荏*而 1=1 通 II而 Is i n9(r =2 x 2 x l=4,且 幅 分 别 与 通,而 垂 直，二 通 x Z 万=瓶，故正确；由题意，A B x A D A ,A D x A B =,故错误；AB+A D =AC|(/IB +A )x A A|=|A C x A 4 j=2x 4 x l=8 /2,且(A 月 +A/5)x 例,与 丽 共 线 同 向，V|A B x A A|=2 x 4 x l=8 ,而乂瓯与方日共线同向，|福|=2 x 4 x 1 =8 ,Z 方x 比7与 丽 共 线 同 向，ABx AA+ADxA=Sf2,且,2 x 4 4；+A 方x 布/
20、与 丽 共 线 同 向，故正确；(ABx A D).C C =|A B|A D|x|C C j x s i n90 x c os 0=2 x 2 x 4 =1 6 ,故成立.故答案为：.三、解答题共4小题，共 4 0分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.已知正四棱锥PA B Q D,E 是 P C 中点.求证：(1)PA/平面 B D E ；(2)平面B 4 C _ L 平面3 E.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设 ACn 8D=O,则。为 AC的中点，连接OE,可证明Q 4/O E,由线面平行的判定定理即可求证；(2)连接。P,则。面 A88,可
21、得3 _ L 0P 结合8 _ L A C，由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 证 明，面P A C,再由面面垂直的判定定理即可求证.【小 问 1 详解】连接A C,B D，设连接Q E,因为四棱锥P-ABC。是正四棱锥，所以四边形A8CD是正方形，所以。为 AC的中点，因为E 是 PC的中点，所以Q 4 O E,因为OE u面 B D E,P A O 面 B D E,所以2 4 平面3O E.【小问2详解】连接O P,因为四棱锥P ABC。是正四棱锥，所以。尸，面ABC。,因为B D u面ABC。，所以BO_LQP,因为四边形ABC。是正方形，所以BO_L AC,因为OPcAC=O,
22、所 以8。_1面 弘。，因为Bu面8 D E,所以平面B4CL平面3OE.17.在四棱锥P A3CZ）中，平面A5CJ_平面P C D,底面ABC。为梯形，A B/C D,A D L D C,且A B =1，A D =D C =D P =2,/PDC=120.（1）求证：ADJ 平面PCD；（2）求直线E4与5 c所成角的余弦值；（3）求四棱锥P A8CD的体积V.【答案】（1）证明见解析加3后20（3）6【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可求证；（2）取。的中点E,连接AE、P E,可证明BC A,N以七或其补角即为直线Q4与6 c所成角，在A 4 E中，由余弦定理求cosNQ4E
23、即可求解；（3）过点P作PR垂直于。的延长线于点尸，可 证 明 小，平面ABCD,求出尸尸的长，再由椎体的体积公式即可求解.【小 问1详解】因为平面A B C D _L平面PCD,平面A B C D D平面P C D =C D,A D D C,ADu面ABC。，所以A D,平面PCD.【小问2详解】取C）的中点E,连接AE、P E，因为4B C,A B=C E,所以四边形4BCE 平行四边形，可得BC/AE,所以N R E或其补角即为直线R4与5 c所成角，因为AD_L平面PCD,P D u 面 P C D,所以ADLPD，所以PA=JA2+PD?=4方+2?=2夜，A E =y l A D
24、r+D E2=A/22+12=A/5 在中，由余弦定理可得：P E =d PD+DE?-2 P D-D E.COS120 I22+12-2 x 2 x l x（-=币,pA2 4/72 _ p p2在“4 中，cos Z P A E=-2 P A A E8+5-7 3河2x272x75-20【小问3详解】过点P作P F垂直于C D的延长线于点F，因为平面ABC。，平面PC。，平面ABC。D平面PCD=8,P F D C,P F u 面 P C D,所以 Pb J_平面 ABCO.所以尸产 =PO-sin60=2x走=后，2所以四棱锥P ABCD的体积V=g-SA88-PF=g x l x 2
25、x J 5 =JL18.在如图所示的多面体中，A B/C D,四边形ACFE为矩形，A B =A E =1,A D =C D =2.BD(1)求证：平面ABE/平面C D F；(2)设平面BE/H平面CDb=/,再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使二面角3 /C的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件：A B A D-.条件：平面ABCD；条件：平面AD_L平面A3CD.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据四边形ACFE为矩形，得到AE C尸，利用线面平行 判定定理得到AE平面C D b,同理A B H平面C D F ,然后利用面面平行的判定定理证明
26、；(2)选条件：证明AB，AO，AE两两垂直，则以A为原点，以A 6，A D，AE分别为了，丁，z轴建立八 n-m空间直角坐标系，分别求得平面CDE的一个法向量和平面尸的一个法向量，利用cos。=尸 旧 求 解.选 条 件ITH：由面面垂直的性质可证明A3，面4。，进而可得AB_LAE，结合A E L A C,可证明4_1面A8CD即可得AEJ_AO，所以AB，A D，AE两两垂直，则以A为原点，以AB，A D，AE分别为x，丫,z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面CDE的一个法向量和平面E 的一个法向量，利用cos。=E 求 解.选 ITH：二面角B-/-C的大小不确定，不符合题意.【小 问
27、1详解】因为四边形ACFE为矩形，所以A C户，又A E u平面CDE；。/匚 平 面。产；所以AE 平面CDF；又因为A B H C D,43 D平面A B C P =A D ,因为M L A Z),ABI面A B C。，所以他 上 面 人 瓦)，因为AEu面AED,所以A3LAE，因为AELAC，AB AC =A,所以面A B C。，因为AOu面ABCO,所以A E J.A Z)，所以AB，AD，AE两两垂直，以A为原点，以AB，AO，AE分别为x,丁，z轴建立空间直角坐标系，_ UUU则B(l,0,0),(0,0,1),2,2,1),所以B E =(1,0,1),=(1,2,1),设平面
28、C D尸的一个法向量为n=(x,y,z),即3 =(0,1,0),设平面E B E的一个法向量为机=(x,y,zBEm-x+z=0则 一B F-m=x-2y+z=0令 x =l,则 丁 =-1,z=L 则加=(1,一 1,1),因为二面角3 /C为锐二面角，设二面角3 /C的平面角为历所以8$夕=且；3选：二面角5 /C的大小不确定，所以选择不符合题意.1 9.如图，在直三棱柱A B C A4G中，A C 1 B C，A C =B C =CG=2,点。，E,尸分别为棱4G，B ,8 4的中点.（1）求证：AG平面O E F；（2）在线段A4上是否存在一点尸，使得直线 P与平面A C 4所成的角
29、为3 0。？如果存在，求出线段A P的长；如果不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，A P =1【解析】【分析】（1）如图所示，连接AB,交A4于点。，连接。，O E,O F,利用三角形中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理可得：四边形O E T O是平行四边形.即QEu平面。石户；又O E/A G，利用线面平行的判定定理即可证明结论A G /平面D E F .（2）如图所示，建立空间直角坐标系.设P（2,0,r）,0,2,设平面A C q的法向量为为=（x,y,z）,则n-CA=n-CB；=0,可得为.利用5抽3 0。=卜。$（万,尸 力，向量夹角公式即可得出.【小 问1
30、详解】证明：如图所示，连接48,交A B|于点o,连接O Q,O E,OF,则。为 的 中 点，因为点。，E,尸分别为棱4G，5G，的中点，所以。E/A G，=且O F/A B,。=；44且。/4与，又 且 A 3 /A4,所以 O F =D E 且 O F h D E ,所以四边形OFED是平行四边形.O E u平面。防；又。E/A G，A Q u 平面。F；O E u 平面OEE.二A G 平面【小问2 详解】解：如图所示，建立空间直角坐标系.则 C(0,0,0),A(2,0,0),B,(0,2,2),0(1,0,2),设 P(2,0,f),reO,2,贝 丽=(-l,0,2-t),CA=(2,0,0),西=(0,2,2),设平面AC4的法向量为为=(x,y,z),则为 而=方函，=0,.-.2x=0,2y+2z=0,可取元=(0,1,-1),sin30。=辰 6 叫卜(；了,化为：/一务+3=().reO,2.解得f=L，P(2,0,1),所以|AP|=1.在线段A 4 上存在一点p,为线段A 4 的中点，使 得 直 线 与 平 面 ACq 所成的角为30。，AP=.AByX