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1、 考点46 随机事件的概率、古典概型、几何概型 一、 选择题1.(2018全国卷II高考理科T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了概率的有关概念以及数学建模能力.【解析】选C.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,其中和为30的有7+23,11+19,13+17.所以随机选取两个数,和为30的概率为=.2.(2018全国卷II高考文科T5)从2名男
2、同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【命题意图】本题考查古典概型的有关知识,难度较小.【解析】选D.用1,2代表两名男同学,A,B,C代表三名女同学,则选中的两人可以为12,1A,1B,1C,2A,2B,2C,AB,AC,BC共10种,全是女同学有AB,AC,BC共3种,所以概率P=0.3.3.(2018全国高考文科T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【命题意图】考查统计与概率知识中的事件的运
3、算,意在考查对立事件、概率的加法公式,培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】选B.方法一:画Venn图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用现金支付的概率为0.4.方法二:记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(AB),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(AB)=0.15,又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(AB)=P
4、(B)-P(AB)=0.55-0.15=0.4.4.(2018全国卷I高考理科T10)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为,在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3【解析】选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=2,所以区域的面积为S=22=2,区域的面积为S=()2-2=-2,区域的面积为S=12-S=2,故p1=p2.方法二:设AC=b,AB=c
5、,BC=a,则有b2+c2=a2,从而可以求得ABC的面积为S=bc,黑色部分的面积为S=+-=+bc=+bc=bc,其余部分的面积为S=-bc=-bc,所以有S=S,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p1=p2.二、填空题5.(2018江苏高考T6)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.【解析】假设3名女生为a,b,c,2名男生为d,e,恰好选中2名女生的情况有:选a和b;a和c;b和c三种,总情况有a和b;a和c;a和d;a和e;b和c;b和d;b和e;c和d;c和e;d和e这10种.两者相比即为答案.答案:三、解答题6.(本小题满分
6、13分)(2018天津高考文科T15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.()应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?()设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【命题意图】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解题指
7、南】()利用分层抽样原则,直接求解;()(i)依据题设条件逐个列举;(ii)利用古典概型的概率公式,结合题设条件求解.【解析】()由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.()(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种.(ii)由(),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=.