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1、 高考数学一轮第四十二讲 第 1 页共 13 页 第四十二讲 随机事件的概率、古典概型、几何概型考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、随机事件及其概率1随机事件一般地，我们把在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件SS在一定条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件SS在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件的随机事件SS2频率与概率频率：在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件nAn出现的次数为事件的频数，那么事件出现的频率，频率的取值范围AmAA( )nmfAn为0,1概率：对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件
2、发生的频率稳定在A某个常数上，我们把这个常数记为，称为事件的概率( )P AA3事件间的关系及运算名称定义符号表示包含关系若事件发生，则事件一定发生，这时称事件包ABB含事件 (或称事件包含于事件)AABBA(或)AB相等关系若，且，那么称事件与事件相等BAABABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则AB称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)ABAB(或)AB交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则AB称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)ABAB(或)AB互斥事件若为不可能事件，那么称事件与事件互斥ABABAB对立若为不可能事件，为必然事件，那
3、么称ABABAB高考数学一轮第四十二讲 第 2 页共 13 页 事件事件与事件互为对立事件AB且AB4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：01( )P A(2)必然事件的概率1.( )P E(3)不可能事件的概率0.( )P F(4)互斥事件概率的加法公式（、互斥） ；()( )( )P ABP AP BAB对立事件的概率公式，则( )1( )P AP A 二、古典概型与几何概型1基本事件的特点任何两个基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和2古典概型及其特点具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事
4、件出现的可能性相等3古典概型的概率公式( )AP A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数4几何概型事件理解为区域的某一子区域，的概率只与子区域的几何度量（长度、AAAA面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型，A5几何概型的两个基本特点无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个等可能性：每个结果的发生具有等可能性6几何概型的概率计算公式( )AP A 构成事件的区域长度(面积或体积) 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)高考数学一轮第四十二讲 第 3 页共 13 页 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、利用频率估计概率1随机事件的频率与概率的
5、常见类型及解题策略：补全或列出频率分布表可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率由频率估计概率可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率由频率估计某部分的数值，可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值2频率与概率的理解依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能” “估计”是不同的也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性” ，事件的概率是事件的本质属性AA3随机事件在一
6、次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率二、互斥事件、对立事件的概率1求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法解此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算2复杂的互斥事件概率的两种方法直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式求得，即运用( )1( )P AP A 逆向思维（正难则反） ，特别是“至多” “至少”型题目，用间接求法会
7、较简便【提示】应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和（或差） 3运用互斥事件的概率的加法公式或对立事件的概率的减法公式解题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义，分析出两事件是不是互斥事件或对立事件，再决定使用哪一个高考数学一轮第四十二讲 第 4 页共 13 页 公式，不要乱套公式而导致出错4运用互斥事件的概率的加法公式解决问题，实质是把复杂事件的概率问题转化为简单事件的概率问题（即“大”化“小” ） ，在转化过程中，必须依据一定的划分标准，将复杂事件划分为若干个简单的互斥事件的和三、求古典概型的概率1基本事件个数的确定方法列举法此法
8、适合于基本事件较少的古典概型列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看作成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求2既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法应用此公式( )mP An求概率时关键是寻求基本事件总数和待求事件包含多少个基本事件3在公式中，事件和事件是互斥事件，这个公式在求()( )( )P ABP AP BAB古典概型时常常用到在公式中，事件和事件可以是互斥事件，()( )( )()P ABP AP BP ABAB也可以不是互斥事件在使用以上两组公式时，首先要根据题意判定事件和事件是否为互斥事件，然AB
9、后选择正确的公式进行计算4事件的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数与事件包含的基本事件AnA数因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验m的基本事件有多少个；第三，事件是什么，它包含的基本事件有多少个回答好这三个A方面的问题，解题才不会出错5求解古典概型问题的技巧：较为简单的问题可直接使用古典概型公式计算较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件的对立事件的概率，再由AA高考数学一轮第四十二讲 第 5 页共 13 页 求事件的概率( )1( )P AP A A树状图是进行列举的一种常用方法
10、，适合于有顺序的概率问题及较复杂的概率问题中基本事件数的探求，另外在确定基本事件数时，可以看成是有序的，如与( , )x y(1,2)不同；有时也可以看成是无序的，如与相同(2,1)(1,2)(2,1)含有“至多” “至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好( )1( )P AP A 四、求几何概型的概率1几何概型问题的步骤：第一步，把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来第二步，在坐标系中把几何图形画出来第三步，把样本空间和所求概率的事件所表示的几何图形的度量求出来，然后代入公式计算即可2若所求事件对应的几何区域没有直接给出，找出它们是
11、解这类几何概型问题的关键，寻找几何区域的步骤如下：根据题设引进适当变量；利用所引进的变量，把题设中的条件转换成变量所满足的代数条件；根据所得到的代数条件找出相应的几何区域3利用几何概型概率公式求解与线段长度、曲线长度、时间、不等式有关的几何概型，直接利用两线段的长度之比、曲线的长度之比、时间段之比、两实数之间距离之比即可4求解与面积有关的几何概型时，关键是异清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解5判断所求概率模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结果的有限性或无限性6对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果
12、构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键，这时常常与线性规划问题联系在一起7对于与线性规划有关的几何概型，首先要正确列出约束条件，然后准确作出可行域考点分类精讲考点考点 1 随机事件及其概率随机事件及其概率1判定事件是否为确定事件或随机事件高考数学一轮第四十二讲 第 6 页共 13 页 2利用频率求随机事件的概率【例 1】盒中仅有 4 只白球，5 只黑球，从中任意取出一只球(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？【解析】正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义，准确把
13、握概率的意义(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件，它的概率为 0(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是4 9(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此，它是必然事件，它的概率为 1点拨：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，判断一个事件是否为随机事件，就是看它是否可能发生，这不同于判断一个命题的真假，不要把两者相混淆【例 2】从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( )A B C D1 103 103 59 10【解析】由题意可知从 5 个球中任取 3 个球的所
14、有情况有 10 种，其中 3 个球都为红球的情况只有 1 种，故所取 3 个球中无白球的概率为，所求事件的概率为1 101911010P 【例 3】近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） ；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；高考数学一轮第四十二讲 第 7 页共 13 页 (2)试估计生活垃圾投放错误的概
15、率【解析】(1)厨房垃圾投放正确的概率约为：4002=4001001003(2)设“生活垃圾投放错误”为事件，则事件表示“生活垃圾投放正确” AA事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量“可回收物”箱里可回收物量与A“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即则，40024060( )0.71000P A( )1 0.70.3P A 考点考点 2 古典概型古典概型1判定一个随机事件是否满足古典概型的特征2确定一个事件为基本事件3确定基本事件的数目及其概率4利用古典概型求随机事件的概率【例 4】判断下列命题是否正确(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面” “两枚反面” “一
16、枚正面，一枚反面”三种结果，因此，出现“一枚正面，一枚反面”的概率是；1 3(2)射击运动员向一靶心进行射击，试验的结果为：命中 10 环，命中 9 环，命中 0 环，这个试验是古典概型：(3)袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(4)4 个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同【解析】所有命题均不正确(1)应为 4 种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面” (2)不是古典概型，因为命中 10 环，命中 9 环，命中 0 环不是等可能发生的(3)因为摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，所以每种4 91
17、32 9颜色的球被摸到的可能性并不相同(4)抽签有先有后，但每人抽到某号中奖签的概率是相同的，其理由是：假设 4 号签为中奖签，甲先抽，抽到 4 号签的概率为，乙接着抽，其抽中 4 号签的概率1 4为以此类推，丙、丁抽到 4 号签的概率都为311 4341 4点拨：弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各高考数学一轮第四十二讲 第 8 页共 13 页 个事件的相互关系是解决问题的重要方面判断一次试验中的基本事件时，一定要从其可能性入手，加以区分，而一个试验是否是古典概型，要看其是否满足有限性和等可能性【例 5】有两颗正四面体玩具，其四个面上分别标有数字 l，2，3，
18、4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第 1 颗正四面体玩具出现的点( , )x yx数，表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数试写出：y(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于 3” ；(3)事件“出现点数相等” 【解析】(1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,
19、1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(3)事件“出现点数相等”包含以下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)点拨：解决古典概型问题时，首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等，其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数基本事件数的探求方法有：(1)列举法此法适合于较简单的试验；(2)树状图法，树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求【例 6】(1)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三
20、条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为1,2,3,4,5A B C D3 101 51 101 20(2)甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_【解析】(1)从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，有1,2,3、1,2,4、1,2,5、1,3,4、1,3,5、1,4,5、2,3,4、2,3,5、2,4,5、3,4,5共 10 个基本事件，其中这 3 个数能构成一组勾股数的只有3,4,5，所求概率为，选 C1 10(2) 甲、乙两名运动员各自等可能地从
21、红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为（红，白） ， （白，红） ， （红，蓝） ， （蓝，红） ， （白，蓝） ， （蓝，白） ，高考数学一轮第四十二讲 第 9 页共 13 页 （红，红） ， （白，白） ， （蓝，蓝） ，共 9 种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红） ， （白，白） ， （蓝，蓝） ，共 3 种故所求概率为1 3P 【例 7】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球和 1 个白球的甲箱与装有 2 个红球和 2 个白球的12,A AB12,a a12,b b乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸
22、出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由【解析】(1)所有可能的摸出结果是：111211122122, ,A aA aA bA bA aA a 21221212, , , , , , ,A bA bB aB aB bB b(2)不正确，理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为11122122,A aA aA aA a共 4 种，所以中奖的概率为41 123，不中奖的概率为1211333，故这种说法不正确【例
23、8】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；(2)将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为，现从这 6 名运动123456,A A A A A A员中随机抽取 2 人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设为事件“编号为的两名运动员至少有 1 人被抽到” ，求事件发生的A56,A AA概率【解析】(1)解：从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2(2)从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为,12,A A13,A
24、A,14,A A15,A A16,A A23,A A24,A A25,A A26,A A34,A A35,A A36,A A高考数学一轮第四十二讲 第 10 页共 13 页 ,共 15 种45,A A46,A A56,A A编号为的两名运动员至少有一人被抽到的所有结果为, 56,A A15,A A16,A A, ,，共 9 种，因此，25,A A26,A A35,A A36,A A45,A A46,A A56,A A事件 A 发生的概率 93 155P A 点拨：公式是计算古典概率的有关概率的基本公式，根据这个公式进行计( )mP An算时，关键在于求、，由于等可能性事件的概率往往与排列数、组
25、合数密切相关，所nm以、的计算往往就是利用排列数和组合数公式nm考点考点 3 互斥事件、对立事件及其概率互斥事件、对立事件及其概率1判定两个事件是否是互斥事件或对立事件2利用概率的加法公式或减法公式求有关事件的概率【例 9】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ，这三张卡片除标记的数字123外完全相同随机有放回地抽取次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的数字依次记为31，abc(1)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；abc(2)求“抽取的卡片上的数字，不完全相同”的概率abc【解析】(1)由题意，的所有可能为：( , , )a b c(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1
26、),(1,2,2),，(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3)(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),，(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3)(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),，共 27 种(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)设“抽取的卡片上的数字满足”为事件，则事件包括，abcAA(1,1,2),(1,2,3)共 3 种，所以(2,1,3),31( )279P A 因此“抽取的卡片上的数字满足”的概率为.abc1 9(2)设“抽取的卡片
27、上的数字不完全相同”为事件，则事件包括，, ,a b cBB(1,1,1)，共 3 种，所以(2,2,2),(3,3,3)38( )1279P B 高考数学一轮第四十二讲 第 11 页共 13 页 因此“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为, ,a b c8 9【例 10】现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄123AAA，123BBB，语，通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小12CC，组(1)求被选中的概率；1A(2)求和不全被选中的概率1B1C【解析】(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件空间，
28、111112121() () ()ABCABCABC，122131() ()ABCABC，132()ABC，211212221() () ()ABCABCABC，222()ABC，231()ABC，232()ABC，311312321() () ()ABCABCABC，共 18 个基本事件组成由于每一个基322331332() () ()ABCABCABC，本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用表示“恰被选中”这一事件，则M1A，M 111112121() () ()ABCABCABC，122131() ()ABCABC，事件由 6 个基本事件组成，因而132()ABC，M
29、61()183P M (2)用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选N11BC，N11BC，中”这一事件，由于，事件有 3N 111211311() () ()ABCABCABC，N个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得31()186P N 15()1()166P NP N 点拨：运用对立事件的概率的减法公式解题的依据是“正难则反” ，一般地，在解决至多、至少的有关问题时，通常考虑利用对立事件的概率计算公式考点考点 4 几何概型几何概型1判定随机事件是否满足几何概型高考数学一轮第四十二讲 第 12 页共 13 页 2利用几何概型的概率公式解决实际问题【例 11】在间隔时间(
30、)内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机若这两个T2T 信号进入收音机的间隔时间小于 2，则收音机将受到干扰试求收音机受到干扰的概率（单位：秒） 【解析】设两个信号进入收音机的时间分别为与，与的变化范围为xyxy，0xT0yTxyOTT22y=x-2y=x+2则样本空间是边长为的正方形，且当时，收音机受到干扰，即当样本WT| 2xy点落在直线与之间，且在正方形之内的区域（如图中( , )x y2yx2yxWA阴影部分）中时，收音机才受到干扰，于是所求概率为：2222(2)44ATTTPWTT的面积 的面积【例 12】(1)在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为0, 1, x y1p1
31、2xy2p事件“”的概率，为事件“”的概率，则1|2xy3p1 2xy A B123ppp231pppC D312ppp321ppp(2)在区间上随机地选择一个数，则方程有两个负根的概0,5p22320xpxp+-=率为_【解析】(1)因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，,0,1x y1 2xy1S对事件“” ，如图（2）阴影部分，1|2xy2S对事件“” ，如图（3）阴影部分，1 2xy 3S高考数学一轮第四十二讲 第 13 页共 13 页 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，231SSS1 1 1=根据几何概型可得211ppp(2)方程22320xpxp+-=有两个负根
32、的充要条件是即或；又因为0,5p，2121244(32)020320ppxxpx xp 213p2p 所以使方程22320xpxp+-=有两个负根的的取值范围为2( ,12,53，p故所求的概率2(1)(52)23 503 点拨：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型，几何概型的解题方法与步骤：一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域边界；建立空间模型，根据空间模型和区域边界画图；对照定义，在几何区域中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事Dd件，则事件发生的概率分清区域和，分别计算其几何度量和AA( )dDuP AudDduDu本专题试题训练详见试题精练