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1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1. （2013四川高考理科9）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D. 【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第
2、一次闪亮的时刻相差不超过2秒.【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是，故选C.2.（2013安徽高考文科5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （ ）A. B. C. D.【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑，先组合再求概率。【解析】选D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率；当甲、乙两人都被录用
3、时的概率，所以所求概率为。3.（2013新课标高考文科3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A. B. C. D. 【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数有种，取出的2个数之差的绝对值为2有2种，则概率.4. （2013陕西高考理科5）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 ( ) A B. C D. 【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基
4、本事件所占有的面积的比值求出该几何概型的概率.【解析】选A.由题设可知，矩形ABCD的面积为2，曲边形DEBF的面积为，故所求概率为5.（2013江西高考文科4）集合A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）A. B. C. D.【解题指南】属于古典概型，列举出所有的结果是关键.【解析】选C.所有的结果为（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，满足所求事件的有2种，所以所求概率为.6. （2013湖南高考文科9）.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（ ）A.
5、 B. C. D.【解题指南】本题的关键是找出使APB的最大边是AB的临界条件，首先是确定AD0”的概率为_【解题指南】对于几何概型，一个变量是长度，两个变量是面积。【解析】设事件A：“”，则，所以【答案】.12.（2013福建高考文科14）利用计算机产生“3a-10”发生的概率为 .【解题指南】对于几何概型，一个变量是长度，两个变量是面积。【解析】设事件A：“”，则，所以【答案】.13. （2013湖北高考文科15）在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 . 【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解.【解析】由|m，得-mm，当m2时,由题意，m=2.5矛盾,舍去
6、;当2m0就去打球，若X=0就去唱歌，若X0就去下棋.(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解题指南】(1)写出六个向量中取两个向量的所有情况，便知对应的数量积情况；（2）找出所求事件包含的结果代入古典概型概率公式.【解析】(1)X的所有可能取值为-2，-1,0,1.(2)数量积为-2的有,共1种；数量积为-1的有,共6种；数量积为0的有,共4种；数量积为1的有,共4种. 故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为；小波去唱歌的概率为，小波不去唱歌的概率为.21.（2013安徽高考理科21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理
7、测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整数。【解题指南】（1）利用对立事件的概率计算；（2）根据P(X=m)的关系式，利用不等式求解。 【解析】（1）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以相互独立，由于P(A)=P(B)=，因此。（2）当k=n时
8、，m只能取n，有P(X=m)=P(X=n)=1,当kn时，整数m满足，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为，当X=m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m,仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k，由乘法计数原理知：事件X=m所包含基本事件数为，此时，当时，P(X=m) ,假如成立，则当能被n+2整除时，故P（X=m）在和处取得最大值；当不能被n+2整除时，处达最大值。（注：x表示不超过x的最大整数）下面证明。因为，所以，而，故，显然，因此。22.（2013北京高考文科16）下图是某市3
9、月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气质量优良的概率（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率。（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解题指南】(1)(2)都是古典概型的概率计算问题,先列出基本事件空间所包含的基本事件及基本事件总数,再求出对应事件所包含的基本事件及基本事件总数,再求概率.(3)从图中找出哪三天的波动最大,则方差也就最大.【解析】（1）此人到达的时间从1日到13日
10、，共有13种情况。事件A=“此人到达当日空气质量优良”=1，2，3，7，12，13，包含基本事件数6。所以；（2） 此人在该市停留两天期间的空气质量所有可能情况有：(86,25)，（25，57），（57，143），（143，220），（220.160），（160，40），（40，217），（217，160），（160，121），（121，158），（158，86），（86，79），（79，37）共有13种可能。其中只有1天重度污染的有：（143，220），（220，160），（40，217），（217，160）共4种可能。所以。（3）5，6，7三天。23.（2013广东高考理科17）某车间共有
11、12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.【解题指南】本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识，除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用.【解析】（1）样本均值；（2）样本中优秀工人为2名，频率为，由此估计该车间12名工人中有名优秀工人；（3）由于12名工人中有4名优秀工人，任取2人恰有1名优秀工人的概率.24.（2013广
12、东高考文科17）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率【解题指南】本题考查统计中的频率分布、分层抽样、古典概型等知识.【解析】（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中重量在的为1，的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各
13、有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.25. （2013山东高考文科17）某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2），如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9()从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率()从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9)中的概率【解题指南】（）本题考查古典概型，要将“身高低于1.80的同学中任选2人”都列出，然后找“2人身高都在1.78
14、以下”所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II）要将基本事件都列出，然后找“2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9)中”所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【解析】（I）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=.（II）从该小组同学中任选2人，其一切
15、可能的结果组成的基本事件有：（A,B），(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些事件出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重都在（18.5,23.9）中的事件有：（C,D）,（C,E）,（D,E）,共3个.因此选到的2人身高都在1.70以上且体重都在（18.5,23.9）中的概率为.26. （2013陕西高考文科19）有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:组别ABCDE人数501
16、0015015050() 为了调查评委对7位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6() 在()中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.【解题指南】按相同的比例从不同的组中抽取人数;相互独立同时发生的概率公式P(AB)=P(A)P(B),代入可求解.【解析】()从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取9人.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36
17、993() A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为，B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为，现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率.所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.27. （2013新课标全国高考文科19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求
18、量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于元的概率；【解题指南】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数;(2)由频率分布直方图可知，知利润T不少于57000元当且仅当用频率估计概率，可得概率的估计值；【解析】（1）当时，当时， 所以 （2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当由直方图知需求量的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.28. （2013大纲版全国卷高考文科20）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第局甲当裁判的概率；（II）求前局中乙恰好当次裁判的概率.【解析】（I）记表示事件“第2局结果为甲胜”，表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，表示事件“第4局甲当裁判”.则.（II）记表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，表示事件“前4局中乙恰好当一次裁判”.则.关闭Word文档返回原板块。- 19 -