《2021年新高考全国一卷数学模拟试卷及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年新高考全国一卷数学模拟试卷及答案解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5 页，22 小题，满 分 150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
2、按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）如果复数史上是纯虚数，那么实数?等于（）1+miA.-1 B.0 C.0 或 1 D.0 或-12.（5 分）已知集合4=尤|/-4龙-1 2 0 ,则CR4=（）A.小W-2 或 x26B.X|-2WA6C.x-6 o的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第1页 共2 0页D.某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）A.9 0 0
3、 种 B.1 2 0 0 种 C.1 4 6 0 种 D.1 8 2 0 种7.（5分）2 0 2 0 年 1 2 月 4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1 9 4 9 年公布 的 国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，O O i,002,003,0 0 4 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，a七1 6 ,则第三颗小星的一条边A B 所在直线的倾斜角约为（）8.（5 分）设=7 1-6,b=ltm-c=elx
4、-ee,则（）A.a b c B.h c a C.c b a D.b a c二.多 选 题（共 4小题，满分2 0 分，每小题5 分）9.（5分）已知抛物线C：丁=2 度 过 点 尸（1,1）,则下列结论正确的是（）3A.点 P到抛物线焦点的距离为5第2页 共2 0页B.过点尸作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则a o p。的面积为0C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2 y+l=oD.过点尸作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N 点,则 直 线 的 斜 率 为 定值1 0.（5分）己知函数/（x）=s i n （x-p）+c os （2 x-2 p）,则下列结论正确的是（）71 9A
5、.当 年=0时，函数f（x）在 0,不上的最大值为：2 8B.当（p=i r 时，函数/（x）的图像关于直线犬=*对称C.7 T 是函数/（x）的一个周期D.不存在中，使得函数/（x）是奇函数1 1.（5分）如图，已知正方体ABC。-AIBICIDI的棱长为a,E是棱C。上的动点.则下列结论中正确的有（）TCB.二面角E-4 B 1-A 的大小为一41 QC.三棱锥4 -B1 O 1 E 体积的最小值为5 a3D.GE平面 4 8 1 BA2n1 2.（5分）已知数列 a”的 前“项和为S”a =,S+i=S+2 a+l,数列匕 的前an-an+i项和为Tn,nGN 则下列选项正确的为（）A.
6、数列。+1 是等差数列B.数列 板+1）是等比数列C.数列 的 的通项公式为为=2 -1D.Tn/2,AB=2,尸是BC的中点，二面角S -4。-8的大小等于1 2 0 .(1)在 4。上是否存在点E,使得平面S E F J _ 平面A 8 C Z),若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；(2)求直线S A 与平面S 8 C 所成角的正弦值.2 0.(1 2 分)某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试.受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、C 至少有一项过关才能进入面试.现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否
7、通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否过关相互独立.考核技能ABC过关率211322(I )求甲应聘者能进入面试的概率；(II)用 X表示三位应聘者中能进面试的人数，求 X的分布列及期望E X.2 1.(1 2 分)已知以动点E为圆心的OE与直线/：x=-；相切，与定圆OF：(x-1)2+/=1外切.(I )求动圆圆心E的轨迹方程C i；(II)点 O是曲线C 2：V=4x-4上的点，若在G 上存在4,B,C三点使得四边形A B C Z)是平行四边形，求 4 C O 面积的最小值.2 2.(1 2 分)已知函数/(x)=xL+ax-alnx.第5页
8、 共2 0页(1)若曲线y=/(x)在x=2处的切线与直线x+3 y-2=0垂直，求实数a的值；(2)若函数/(x)在 2,3 上单调递增，求实数。的取值范围；(3)当4=2时，若方程/(X)=7+2机(w 2)有两个相异实根X I，X 2,x x2,求证:XX?22.第6页 共2 0页2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）L G 分）如 果 复 数 诉 是 纯 虚 数 那 么 实 数 等 于（）A.B.0C.0 或 1 D.0 或-1【解答】解:m2+i1+mi1+m21-m31+m2i是纯虚数,rm2+m
9、=0.14-m21一_ 3l+m2解得2=0 或-1.H 0故选：D.2.(5 分)已知集合4=川/-4尤-1 2 0 ,则CRA=()A.41忘-2 或 26B.x|-2WxW6 C.x|-6VxW2D.x|xW-6 或 x2【解答】解：因为 4=x|/-4 x-120=x|-2x 2xX（3600 /八 y 一、J x 4 x=240（万兀）.当且仅当x=3 0 时取等号.故选：D.4.（5 分）设 a R,则“a o”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：由。2-5“-6 0,解 得 6,第7页 共2 0页则由 ua 0”,由 “J
10、 -5a.6 o”不能推出-1 ，故ua r是/+a-2 0”的充分不必要条件.故选：A.5.(5分)函 数 尸(丁-)-3回的图象大致是()【解答】解：设y=/(x)=(/-x)3叫 该函数的定义域为R,.f(-X)=(-x)3-(-x)卜3 乂=-(/-工)3国=-f(x),：.f(x)为奇函数，排除选项B和。，当 O V xV l 时,xix,.*./(x)=(x3-x),3 0,排除选项 A,故选：C.6.(5分)武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有()A.900种B.1200种C.1460种D.1820
11、 种【解答】解：根据题意，分2步进行分析:将3名医生安排到三家医院，有 幽=6种安排方法,C公 将5名护士分为3组，安排到三家医院，有(/+A j=150种安排方法,则有6X 150=900种不同的安排方案,故选：A.7.(5分)2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布 的 国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相第8页 共2 0页近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，0。1,002,003,0。4分别是大星中心点与四颗小星中心点的
12、联结线，a-1 6 ,则第三颗小星的一条边4 B所在直线的倾斜角约为（）【解答】解：因为五角星的每个角都是3 6 ,由 O i,0 3 都为五角星中心点可知，0 1 0 3平分N B 4 O 3,所以/区4。3=1 8 ,又N a=1 6 ,所以边A8的倾斜角为1 8 -1 6 =2 .故选：C.8.(5 分)设 a=ir-e,b=h m -1,c=e1 T-ee,则()A.abcB.b c aC.c b aD.b a 0,b=b m -l=b m -bie0,c=en-ee 0；b I nn-I ne设y=/n x,则一二-，表示了连接两点（m/?n）,（e,/ne）的割线的斜率，而 y =
13、a n-e人 当xl时，曲线切线的斜率0 l时，曲线切线的斜率无l；故一=-b 故 c a；a n-e故 b a 0,所以 y=,y -2=所以外=i=4，所以在户处的切线方程为：y-1=1 (x-1),整理可得：x-2y+=0；所 以 C正确；。中：设直线M P的方程为：(y-1)+1,与抛物线联立可得了 2-m y+加-1 =0,所以力-1,所以y M=m -1,代入直线M P中可得(相-2)+1 =(m-1)2,即M(m-1)2,加-1),直 线N P的方程为：x=-m(y -1)+1,代入抛物线的方程ymy-m -=0,可 得yN=-m -,代入直线NP的方程可得 刈=帆2+2机+1=
14、(?+1)2,所以N(m+1)2,-m -),所以由=%公=一方1为定值，所以。正确.故选：B C D.1 0.(5 分)已知函数/(x)=s in (x -p)+c o s (2JC-2(p),则下列结论正确的是()第 1 0 页 共 2 0 页9-89-82+1-47 T9A.当年=0时，函数/(x)在0,不上的最大值为s2 8B.当(p=7 T时，函数/(X)的图像关于直线=%对 称C.7 T是函数/(X)的一个周期D.不存在中，使得函数/(X)是奇函数【解答】解：函数f(x)=s in (x -q)+c o s (2x -2(p),对于 A：当(p=0 时，f(x)=s in j v+
15、c o s 2x=-2s in2+s in+l=-2(s in x )2+TC i 9由于x 0,当s in x=4时，函数的最大值为g,故A正确；对于 B：当(p=ii 时，f(x)=-s iar+c o s 2x=1 2sin2x sinx=-2(s in x +根据二次函数的性质，当s in x=l,即x=5时，函数取得最小值，由于三角函数的对称轴位置的值要么最大值，要么为最小值，故函数/(x)的图像关于直线*=*对称，故3正确；对于 C：f(x+ir)=s in (X+T T-p)+c o s (2+2T I-2(p)=-s in (x -p)+c o s (2x -2(p)W/(x)
16、,故C错误；对于 D：要使函数/(x)为奇函数，贝!J.f(-x)=-f(x),即 s in (-x -(p)+c o s (-2x-2(p)=-s in (x -(p)+c o s (2x -2(p),整理得：c o s x s in p=c o s 2x c o s 2(p,即 出2 =竺 江，无论怎样取(p,关系式都不成立，cos2(p COSX故不存在,A DC DC=D,；.A Qi_L平面 Z MiBiC,得 A Qi_LBiE,BP E B A Di,故 A正确；二面角E-A iBi-A的大小即二面角。-Ai B-A的大小，可得二面角E -A i8 i-A 的大TT小为一，故 8
17、正确；4设 AOi n4 D=O,则三棱锥 A -BiO iE 的体积 V=|sA 0 F B1 7 1 D 1，,：0B 为定值，当E到0B 距离最小时,三棱锥A -B D E的体积最小,此时E与 D重合，SB1OD=1 x x 4 2a x a=?/，则三棱锥A -B D E的体积的最小值V=1 x -a2 xy/2a=故 C 错误；由平面C C 1 Q1 O 平面A 4 B 1 B,可得。1 E 平面4 8 1 B A,故。正确.故选：A B D.2n1 2.（5分）已知数列 的 前“项和为S”，m=l,S+i=S“+2a+l,数列曲以）的 前 项和为乙，n GN*,则下列选项正确的为（
18、）A.数列 如+1 是等差数列B.数列 版+1 是等比数列C.数列 ”的通项公式为即=2n-lD.Tn第 1 2 页 共 2 0 页【解答】解：由 Sn+1=S+2a?+1 即为 1=S+i-Sn=2a“+1,可化为如+1+1=2（板+1）,由 S i=m =l,可得数列。+1 是首项为2,公比为2 的等比数列，则的+1=2 ,即 an=2f t-1,2n 2n 1 1 111anan+1 （2n-l）（2n+1-l）2n-l 2n+1-l，可得 了 1 22-l +22-l 23-l +1 1 _ 1故 A错误，B,C,。正确.故选：B C D.三.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小
19、题5 分）1 3.（5分）已知向量看b 满足面=2,|b|=l,a b=,则丘+b|=_A/7 _,b 在往上的投影 等 于 7 2【解答】解：因为向=2,|b|=L a-b=1,所以：a+&|2=a2+2a*b +b2=22+l2+2X 1 =7；|a +b=V 7；T T -.工 的之上的投影等于：|b|c O S 0=|a|1故答案为：V 7,14.（5 分）中国中医科学院首席科学家、20 15年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的青蒿素挽救了全球特别是发展中国家的数百万人的生命.20 19年 10 月 2 2 日，屠呦呦获得 20 19年度联合国教科文组织-赤道几内亚国际生命科学研究
20、奖.某科研机构为了了解某种药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系,随机统计了某5 次实验的相关数据，并制作了如表:百分比浓度P6 10141822指标数据y62 m442814由表中数据求得回归直线方程为y =-3/7+8 2.2,则 片 53.出 八 女 士、初 H r 即 i 江 22+18+14+10 +6【解答】解：由题屈、P =-=14,第1 3页 共2 0页歹=空 码 产 坦=鹏 空 所 以 样 本 中 心 为（14）吧3，n n 51 4 8+m因为回归直线经过样本中心，所以一-=-3X 14+8 2.2,解得机=53.故答案为：53._X2 V215.（5 分）在平面直角坐标
21、系x O y 中，双曲线M：与 一 =1 的一条渐近线被圆C：（九-4）2+）,2=2 5 截得的弦长为 立【解答】解：圆（x-4）2+y 2=25的圆心为（4,0）,半径为5,%2 y 2 万双 曲 线 M：-=1 的一条渐近线为y=芸，即3y=09 7 3.即有圆心到渐近线的距离d=产 4 一川=V 7,J（7 7）2+32由弦长公式可得 27T2（2=2J 52（J 7）2=67 2,故答案为：6 y/2.16.（5 分）半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥
22、，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2,且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为1 6 c【解答】解：由题意根据几何体的对称性可得，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2 夜的正四棱柱的外接球,设外接球的半径为R,则（2 R）2=2 X2 2+（2 7 1）2=6,所以外接球的表面积S=4TTR2=1 6 m故答案为：1 6 n.四.解 答 题（共 6 小题，满分70分）第1 4页 共2 0页1 7.(1 0 分)在 A B C 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,h,c,已 知
23、(gh-c sin A)sin C=c (1 -c osA c osC).(I)求 8的值；(I I )在SAA B C=竽，4=J.a=2 c 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题.若6=3,求a ABC的周长.【解答】解：(I )因 为(V3b-c sin A)sin C=c (1 -cosA cosC),可得V hsin C+c c os(A+C)-c=0,即 sin C(V 3 sin B -c osB)=sin C,因为 C W(0,n),sin C WO,所以遍sin 5 -c osB=2 sin (B-5)=1,即 sin (B 5)=J，D O L因为 0 B m
24、 B-1 0,3 2ac 2解得o+c=6,因此a ABC的周长为a+b+c=9.若选择条件A=J，在BC中，由正弦定理可 得 高sinB sinC sin-3所以a=2 倔吟=c=2 倔 in （卡”笑 也,所以AABC的周长为a+b+c=V 6 +3+双羿=3二+毅+6TV Q2 I-.2 _ Q 1若选择条件a=2 c,由余弦定理可得c os=-=-3 2ac 2所以 4 c 2+2 -9=2,2,即 C，2=3,解得 c=V 5,a2y/3,因此 4 B C 的周长为a+b+c=3+33.1 8.（1 2 分）已知等比数列 所 满足“2=4,4 3 a4=1 2 8,数列 a疝”是首项
25、为1公差为1的等差数列.第1 5页 共2 0页(1)求数列。4 和 加 的通项公式；(2)求数列 加 的前项和S”.【解答】解(1)因为数列”“)是等比数列，故设首项为包，公比为q,因为。2=4,4344=128 所以。2勺-a2q2=128,所以7=8,解得g=2,所以m=2,所以数列“的通项公式为即=2%因为“”加 是首项为1、公差为1 的等差数列，所以。加=1+(n-1)=，因为0n=2%所 以%=企；(2)由(1)知S九=1 a+2,()2+3,(2)3+.4-n,(2)n,11 111 1同乘3得：-5n=1-(-)2+2.(-)3+3-()4+n.(-)n+1,1 11 1 1 1
26、作差得：-Sn=-+(-)2+(-)3+C-)n-n q)+i,1 11即-S=l-(-)-(-)n+1,2 2 2所以 =2 19.(12分)如图，在四棱锥S-ABC。中，底面4BCO为矩形，SAD为等腰直角三角形,SA=SD=2yf2,AB=2,F 是 8 c 的中点，二面角S-A。-B 的大小等于120.(1)在 上 是 否 存 在 点 E,使得平面SEFL平面A 8C D,若存在，求出点E 的位置;若不存在，请说明理由；(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.【解答】解：(1)在线段AQ上存在点E 满足题意，且 E 为 A。的中点.如图，连接EF,SE,SF,:四边形ABC。是矩形
27、，.ABLA。，又E、尸分别是A。、BC的中点，：.EF/AB,ADEF,第1 6页 共2 0页：ASAD为等腰直角三角形，SA=SD,E 为 A。的中点,.,.SE_LAO,SE nE F=E,SE、EFu平面 SEF,.ADJ_ 平面 SE F,；AOu平面 A B C D,：.平面 SEF_L 平面 A B C D,故AD上存在中点E,使得平面SEF_L平面AB C。.(2)由(1)知，SE LA D,E F1.A D,NSE尸为二面角S-A O-B的平面角，即NSEF=120.以 E 为原点，E A、EF所在的直线分别为x、y 轴，作 E z,平面A8C Q,建立如图所示的空间直角坐标
28、系，在等腰 RtZSAD 中，S A=S D=2陋,：.A D4,SE=2,：.S(0,-1,V I),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),：.SA =(2,1,-V 3),SB=(2,3,8)，SC =(-2,3,-3),设平面S B C的法向量为1=(x,y,z),则产，*=,即f%+3y-欠=。，In.SC=0 l-2 x +3y-V3z=0令 y=l,则 x=0,z=V3,An=(0,1,V3),设直线SA与平面S3。所成角为0,*,-*t S A n 1-3 J?则 sine=|cos|=|-1 =1 T|S川 同 74+1+3x2&V2故直线S4与平面SB C所
29、成角的正弦值为一.420.(12分)某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试.受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C 三项技能，其中A 必须过关，B、C至少有一项过关才能进入面试.现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否过关相互独立.第1 7页 共2 0页考核技能ABC过关率211322(I)求甲应聘者能进入面试的概率；(I I)用 X表示三位应聘者中能进面试的人数，求 X的分布列及期望E X.【解答】解：(1 )甲应聘者这三项考核分别记为事件A,B,C,且事件A,B
30、,C相互独立，则甲应聘者能进入面试的概率为：P(ABC)+P(ABC)+PQ4BC)=9弓 弓+1弓 弓+,弓 弓=今(II)由题知，X的所有可能取值为0,1,2,3,且X 8(3,1).P(X=0)=*)3=1.P(X=1)=Cj(1)(1)2=I；P(X=2)=Cf(1)2(1)=|;P(X=3)=CJ(1)3(1)=i,2 1.(1 2 分)已知以动点E为圆心的O E与直线/：X=一：相切，与定圆。氏(x-1)2+/=1外切.(I )求动圆圆心E的轨迹方程C i；(H)点力是曲线C 2：y2=4 x-4 上的点，若在C i 上存在A,B,C三点使得四边形A B C。是平行四边形，求 4
31、C O面积的最小值.【解答】解：(I )设点E (x,y),O E的半径为R,1 1贝 i R=x+云|E Q =R+W=x+1,所以点E到直线x=-1 的距离与到点F (1,0)的距离相等，即J(x-l)2+y2 =x+l,第1 8页 共2 0页化简得动圆圆心E 的轨迹方程为。为丫2=.（II）由题意得，直线AC斜率不可能为零，设点 4（XI yi）,C（X2 2）,D（x o,州），直线A C 的方程为x=my+t,与曲线 Ci：/=4 x 联立，消 x 得4r=0,由韦达定理可得yi+y2=4,w,y i*=-4 r,故线段AC中点M（2加，f,2m）,在曲线C i上存在A,B,C 三点
32、使得四边形ABC。是平行四边形,则点8,D 关于点M 对称，所以8（4 P+2L xo,4m-y o 又因为点 8 在曲线 Ci 上/=4 x 上，则（4,“-yo）2=4（4w2+2f-xo）,2整理得myo+t爷-+乎，（*）设点。到直线AC的距离为以贝|J SMCD=V1 4-m2y-y2*-=5 J(4m)2+6|/*o-xo+t,将（*）代入上式，得 SzkAC0=入 47n2+4 t|与-+与-xo|,8 2又因为和2=4工 0-4,所以 SACD=7m2+t-J m2+今-+y -my0=超 +%+A W o=J（4一加 2+/当机=当时，ACD的面积有最小值，且最小值为了.22
33、.(12 分)已知函数/(x)x1+ax-alnx.（1）若曲线），=/（无）在 x=2 处的切线与直线x+3 y-2=0 垂直，求实数a 的值;（2）若函数/（X）在 2,3 上单调递增，求实数。的取值范围；（3）当=2 时，若方程f（x）=f+2？（m 2）有两个相异实根xi,xi,x x i,求证:XIX22。）.,/曲线y=f（JC）在 x=2 处的切线与直线x+3y-2=0 垂直，8+a；.a=-2.（2）.函数/（x）在 2,3 上单调递增,-./（x）=2 詈a 0恒成立，第1 9页 共2 0页.2jr+ax-aO 对 xE2,3恒成立,即。之 若_ 9r2恒 成立，.只需a （
34、or2）ma%2/_-2X2+4Xx1)(x-1)2 2）,得尤-历 =机（机 2）.令 g（x）=x-In x,则g（%）=令 g（x）=0,则 x=l,：.g（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，.方程/（X）=7+2加（机 2）有两个相异实根X I,无 2,XX2,.*.0 xi 1 .1.XI-lnx-m=x2-lnx2-机=0,2又 m=x2-lnxi2,.x22,/.0 xr,一 2),则产(t)=1+-1 =(.2)f+1)o,：.F(r)在(2,+8)递 增，F(t)F(2)=2伍2 0,即%1%2 0,又 力（x）在（0,1）上递减,第 2 0 页 共 2 0 页