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1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5 页，22小题，满 分 150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
2、以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一.选 择 题（共 12小题，满分60分，每小题5 分）I.（5 分）命题p：V/nER,一元二次 方 程/+的+1=0有实根，则（）A.p：VmGR,一元二次方程/+a+1=0没有实根B.p：3/nGR,一元二次方程/+a+1=0没有实根C.-/?：3m&R,一元二次方程 P+mr+1=0 有实根D.p：V/neR,一元二次方程，+m x+l=0有实根2.（5 分）已知复数z 满 足（1 -i）z=2+ai（aeR）,且 z 是纯虚数，贝！I a=（）A.2 B.-2 C.1 D.-1%2 y 23.（5 分
3、）如图，已知F”上 分别为双曲线C：/-放=1 的左、右焦点，过 乃 作垂直于 x 轴的直线与双曲线C 相交于A,B 两点，若为AB为等边三角形，则该双曲线的离心 率 是（）A./3BY3C.V2 D.V5第1页 共2 0页4.（5 分）向量a =（2,1）,b=（-3,4）,c=（3tn-1,1 -2 m）,若（c +2 b）J _ a,则实数相等于（）5 7A.1 B.-C.-D.24 45.（5分）函数y =喑，0）U （0,金的大致图象是（）6.（5分）已知等比数列 斯 的公比为0 则“0 V q l”是“斯-斯+i 07.（5分）若实数x,y 满足约束条件k-y-l0,则/+（y -
4、2）2 的最小值为（）（%4-y 0）,其图象相邻两条对称轴之间的距离为了则下列四个结论中正确的是（）57rA.函数/（x）的图象关于（7 7，0）中心对称第2页 共2 0页B.函数/（x）在 区 间（-IT,n）内有4个零点C.函数，（x）的图象关于直线x=J对称D.函数f（x）在区间 一 今 0 上单调递增1 1.（5 分）设 a,B表示平面，/表示直线，A,B,C表示三个不同的点，给出下列命题：若 Ae/,AGa,B e/,B e a,则/u a；若 Ae a,AGp,Bea,8 印，则 a C 0=4 8；若/U a,Ae/,则 A ra；若 A,B,CEa,A,B,C 4，则 a与。
5、重合.其中，正确的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个1 2.（5 分）已知函数/（x）=以-/与 函 数 g（x）=x/x+l的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数。的取值范围为（）A.（e-1,+）B.+）C.-2 +）D.（-e -1）二.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）1 3.（5 分）设集合 M=R-3 x 7 ,N=x|2-f x b 0）的离心率为e,尸是的右焦点，点 P是 上第一象限内任意一点.且 s i n/P O FC c o s/P O 尸，0 Q=AO P（A 0）.F-OP=0,第3页 共2 0页若入e,则离心率e 的取值范围是三.
6、解 答 题（共5小题，满分60分，每小题12分）1 7.（1 2分）已知公比q大 于 1 的等比数列 斯 满足0+。2=6,“3=8.（1）求 斯 的通项公式；1（2）令加=1 08 2。/,求 数 列-百 的前项和（Dn+1 8.（1 2分）某学校有学生1 000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取100名学生对本校食堂级服务满意程度打分，根 据 这 100名学生的打分，绘制频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为 4 0,50）,50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,100.（1）求频率分布直方图中。的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
7、（2）若打分的平均值不低于7 5 分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由同一组中的数据（用该组区间中点值为代表）；（3）若采用分层抽样的方法，从打分在 4 0,60）的受访学生中随机抽取5 人了解情况，再从中选取2 人进行跟踪分析，求这2 人至少有一人评分在 4 0,50）的概率.19.（12分）如图，在四棱锥P-A 8 C。中，底面A 8C Z）是边长为1的 正 方 形,底 面 A 8C D,点 M 是棱PC的中点.（1 ）求证：P B 平面A C M；（I I ）求三棱锥P-A C M的体积.第 4 页 共 2 0 页p20.(12 分)已知函数/(x)=2ln(x+1)+
8、s i n x+1.(1)求曲线y=f(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(2)证明：(3)证明：/(x)W (x+1)2产.21.(12分)已知直线/：y=&+与抛物线C y2=4 x交于不同的两点A,B.尸为抛物线C的焦点，0为坐标原点，G是 O A B的重心，直线/恒过点pg,今.(I )若2 1,求直线0 G斜率的取值范围；(I I)若。是半椭圆/+9)2=1 GW 0)上的动点，直线G尸与抛物线C交于不同的两点M,N.当工W A W 2时，求 O M N面积的取值范围.2四.解 答 题(共2小题，满 分10分)22.(10分)在直角坐标系 g 中，直线/的方程是尸2,曲线C的参数
9、方程是=2翼S 3(y=72sin(p(隼为参数).以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(I )求直线/和曲线C的极坐标方程;第5页 共2 0页1(I I)若 4(p i，a)是曲线C 上一点，B(p2,a+9 是直线/上一点，求/而 +记 而 的最大值.2 3.设函数/(x)=|2x-1|-|a-1|.(1)若 a=l 时，解不等式/(x)2|x+l|；(2)若关于x 的不等式/(x)2,+1|存在实数解，求实数a 的取值范围.第6页 共2 0页2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析选 择 题(共 12小题，满分60分，每小题5 分)1.(5
10、分)命 题 p：V/nGR,一元二次方程/+?x+l=0 有实根，则()A.p：V/nGR,一元二次方程/+加什1=0没有实根B.-/?：HmeR,一元二次方程f+wix+l=0 没有实根C.112：gwe R,一元二次方程/+优+1 =0 有实根D.p：VwGR,一元二次方程7+“+1=0 有实根【解答】解：命 题“V，”eR,一元二次方程/+znx+l=0有实根”的否定是BmeR,一元二次方程/+加什1=0没有实根”.故选：B.2.(5 分)已知复数z 满 足(1 -i)z=2+ai(a R),且 z 是纯虚数，则 a=()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解答】解：由(1 -i)z=2
11、+ai,Z H _ 2+ai _(2+ai)(l+i)_(2 a)+(2+a)i传 z=-=2-=2(2-a _ g由z 是纯虚数，则，解得。=2.I竽 力。故选：A.x2 y23.(5 分)如 图，已知Q,尸 2分别为双曲线C：/-瓦=1 的左、右焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线与双曲线C 相交于A,8 两点，若F1A8为等边三角形，则该双曲线的离心 率 是()第7页 共2 0页A.V 3 B.C.V 2 D.V 53x2 y2【解答】解：由于Q,&分别为双曲线一 匕=1 （。0,b 0）的左、右焦点,a2 b2过尸2作垂直于X轴的直线交双曲线右支于A,B 两 点,且 F 1 A 3为等
12、边三角形，b2 L y/3则由对称可得，N 8 F i4=6 0 ,可得：=一,2c 3解得e=V 3.故选：A.4.(5 分)向量a=(2,1),b=(-3,4),c=(3/n-1,1 -2 w),若(c+2b)J _a,则实数相等于()5 7A.1 B.-C.-D.24 4【解答】解：根据题意，b=(-3,4),c=(3-1,1 -2 M,贝!J c+2b=(3m-7,9-2 m)，若(c+2h)a,则(c+2&)-a=2X (3m-7)+(9 -2m)=4 m-5=0,解可得：m=故选：B.5.（5 分）函数、=喑，X G 0）U （0,舒的大致图象是（）第 8页 共 2 0 页【解答】
13、解：/(-X)=空/=若=/(p，则/(X)是偶函数，排除A,C,tanx sinx 1-.X X cosxcm Y 1当 x-O,-1,-1,则/(x)-1,排除 8,X COSX故选：6.(5 分)已知等比数列 斯 的公比为0则“O V qV l”是“斯-金+10”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：由等比数列的通项公式的=的q n T,可知 为 的单调性由首项和公比决定，即由0 q V l不一定得到斯-a+1 V 0,反之，由 4-即+|0,也不一定得到0 4 1,贝 I 是“即-即+1 0,则f +(y-2)2的最小值为()+y
14、 /nn C.7 _L a=a_L 0 D.，”-L=？_L a【解答】解：由平面a,p,直线u a,直线知：对于A,a 仇 则?，平行或异面，故A错误；对于B,a p,则机，相交、平行或异面，故B错误；对 于C,m _L a,则由线面垂直的判定定理得aJ _0,故C正确；对于),m V n,则，与a相交、平行或，“u a,故。错误.故选：C.9.(5分)圆7+/+2丫 -1 1 =0截 直 线-y -2?+1=0所得的最短弦长为()A.4 B.4 V 2 C.4 V 3 D.2 V H【解答】解：根据题意，圆/+y2+2y -1 1=0,即/+(+1 )2=1 2,以圆心为(0,-1),半径
15、=2%，设圆的圆心为C,直线 mx-y-2/M+1 =0,即 y -1=m(x -2),恒过定点(2,1),设 A/(2,1),当 MC 与直线 mx-y-2m+=0 垂直时，圆 x2+2+2y -1 1 =0 截直线 mx-y-2m+l=0 所得的弦长最短，此时|M C|=V 4 T 4 =2A/2,则截得的最短弦长为22一%|2=4,故选：A.1 0.(5分)已知函数f(x)=sin(3*爷(3 0),其图象相邻两条对称轴之间的距离为泉则下列四个结论中正确的是()A.函数/(x)的图象关于(|1,0)中心对称B.函数f CO在 区 间(-m n)内有4个零点C.函数/(x)的图象关于直线=
16、弋 对 称D.函数/(x)在区间 一 名0 1上单调递增【解答】解：由函数f (x)=sin(3 xQ(3 0),其图象相邻两条对称轴之间的距离第1 0页 共2 0页7 1为3，利用周期T=TT,解得u)=2.所以函数的关系式为/(x)=sin 一 看).对于A,/(.)=si?i(2 一卷)=s讥 等 二1 H 0,故A错误;对于 B,当 xE(-I T,TT)时，_ 1：2x 5 7 ,当2 x 1 =2TT,_ 7i,0,7 T时，sin (2 x5)=0,故 B 正确；o o对于 C,f(J)=sin 2.(-.Y =sin(一招)W l,故 C错误；对于 D,由-5 +2/C TT
17、lx?2/O T+5 (髭Z),z ON解得函数/(x)的单调递增区间为一方+而，l+kn(住Z),令左=0时，xE-l，争,令 =-1时,xe 第，所以函数/(x)在区间一*,0 上不单调递增，故。错误.故选：B.1 1.(5分)设a,B表示平面，/表示直线，A,B,C表示三个不同的点，给出下列命题:若 A e/,A ea,Bel,Bea,则/u a；G)若 A ea,A e0,Bea,B e0,则 c tn p=AB；若/+)C.+o o)D.(-,e-1)【解答】解：由已知可得，方程/(x)=-g(x)在(0,+8)上有两解，即“二号/以一；在(0,+8)上有解.设(X)=丝一加X-工，
18、则6 (X)=.哼1):/一(%1)y 2令 h(x)=0,得 x=l,.,.当 O V xC l 时，f(x)l 时，f(x)0,：.h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.当尤=1时，h(x)取得最小值力(1)=e-1,()时，h(x)x f+8时，h(JC)-+,实数a的取值范围是(e-1,+8).故选：A.填 空 题(共4小题，满分2 0分，每小题5分)1 3.(5 分)设集合 M=x|-3 x7,N=x2-tx2t+,Z G R,若 MUN=M,则实数t的取值范围为(-8,3.【解答】解：当N=0时，2-t2t+l,解得t1,又,：NJM,M=x-3 x7,d不解得
19、g1 一t 2Vac=2 /3,当且仅当a=c=8时取等号.故答案为：2V3.x2 y216.（5 分）如图，椭圆：+=1（tzZ?0）的离心率为e,F 是 的右焦点，点尸a，匕 n是 r 上第一象限内任意一点.且 sin/POFVcosNPOF,0 Q=AOP（A0）.FQ-OP=0,若入e,则离心率e 的取值范围是 粤，1）.-3-第 1 3 页 共 2 0 页【解答】解：设|O F|=c,NPOF=e（0e 0）,所以点P的坐标为（ccos20 csindcosO),代入椭圆方程可得:c2cos40 c2sin20cos20=1 化简可得：M=c2cos0+c2sin2Ocos20a2e
20、2=4.又因为/=居+,2,则化简可得:b2cos20a2 l+cos20恒成立,4 2 a 2+X因为 s i nZPOFc o s Z P O F,所以 0 1【解答】解：（1）由题设可得：，Q i（l +q）=6，解得：。1=4=2,gq2=8 C ln=2!1(2)由(1)知：Z?n=l o g2 an2=2 1 o g2 an=2 n,1 1 11 1/.-=-=一(-),(如一l)(bn+l)(2 n-l)(2 n+l)2 2 n-l 2 n+l1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n刀 尸 2(T -3 +3 -5 +5 -7 +，+2 =1 -2 +T)=2(1-时.1
21、8.(1 2 分)某学校有学生1 0 0 0 人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取1 0 0名学生对本校食堂级服务满意程度打分，根 据 这 1 0 0 名学生的打分，绘制频率分布直方第 1 4 页 共 2 0 页图如图所示,其中样本数据分组区间为 4 0,5 0）,5 0,6 0）,6 0,7 0）,7 0,8 0）,8 0,90）,90,1 0 0 .（1）求频率分布直方图中。的值，并估计该校学生满意度打分不低于7 0分的人数；（2）若打分的平均值不低于75分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由同一组中的数据（用该组区间中点值为代表）；（3）若采用分层抽样的方法，从
22、打分在 40 ,60）的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在 40,50）的概率.【解答】解：（1）由频率分布直方图得:(0.0 0 4+。+0.0 2 2+0.0 2 8+0.0 2 2+0.0 1 8)X 1 0=1,解得 4=0.0 0 6.该校学生满意度打分不低于7 0分的频率为:(0.0 2 8+0.0 2 2+0.0 1 8)X 1 0=0.68,估计该校学生满意度打分不低于7 0分的人数为1 0 0 0 X 0.68=680.（2）由频率分布直方图得打分的平均值为:%=45 X 0.0 0 4 X 1 0+55 X 0.0 0 6
23、X 1 0+65 X 0.0 2 2 X 1 0+75 X 0.0 2 8 X 1 0+85 X 0.0 2 2 X 1 0+9 5 X0.0 1 8X 1 0=76.2,V 76.2 75,该校学生对食堂服务满意.（3）采用分层抽样的方法，从打分在 40,60）的受访学生中随机抽取5人了解情况,则从打分在 40,50）的受访学生中抽取5 X而 鉴%=2人,从打分在 50,60）的受访学生中抽取5x 7 n亮 端 标=3人,U U U T,I U U U第1 5页 共2 0页再从中选取2人进行跟踪分析，基本事件总数n=Cl=1 0,其中这2人至少有一人评分在 40,50）中包含的基本事件个数加
24、=废 废+底=9,.这2人至少有一人评分在 40,50）的概率尸=崇=割1 9.（1 2分）如图，在四棱锥P-A 8C 中，底面A B C D是边长为1的正方形,a J _底面ABCD,%=AB,点M是 棱 的 中 点.（1 ）求证：P B平面A C M；（I I ）求三棱锥P-A C M的体积.【解答】（I）证明：如图，连接8 D交4 C于O,则O为8 D中点，连接O M,/M是棱P D的中点，OM/PB,：O M u平面 A C M,平面 A C M,平面 4；（I I）解：是棱P O的中点，._ _ 1Vp-ACM=VD-ACM=VM-ACD=2 K pT C D，底面A 8C O,P
25、A=A B=,底面A B C D为正方形，1 i l l 1 V p.ACM=VD-ACM=VM-ACD=2 Vp-ACD=2X3X2X 1 X 1 X 1 =1 2,BC第1 6页 共2 0页2 0.(1 2 分)己知函数/(x)=2ln(x+1)+si n x+l.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,f(0)处的切线方程；(2)证明：xl+lnx；(3)证明：/(x)W(x+1)2esi n x.【解答】解：V/(x)=2ln(x+1)+si n x+l,9+cosx,则/(0)=3,/(0)=1,所以曲线y=/(x)在 点(0,f(0)处的切线方程为y=3x+l；(2)设函数 g(x)=
26、x-(+lnx)=x-Inx-1,则g (x)=i(x0),令 g，(x)0,得 0 x 0,得 xl.所以，函数y=g (x)在 区 间(0,1)上单调递减，在 区 间(1,+8)上单调递增.则函数)=g(X)在X=1处取得极小值，亦即最小值，即g(X)min=g(1)=0,即 xl+bix；(3)证明：因为函数y=/(x)的定义域为(-1,+8),所 以(x+1)2 o,(%+1)Vi ar0,由(2)知，(x+1)2esiDxl+ln(x+1)2eW 面积的取值范围.2第 1 7 页 共 2 0 页【解答】（I ）设 A （xi，y）,B（X 2，），G （xo，刃）.k o直线A3 与
27、抛物线。联立：-y 2-y +b=o.4所以%+y2=%+%2=%+苒 2b=白 一 1+7,由沏=巧;久2,y0=巧 及 得直线O G斜率ky。:4xo 7 f c+-7,因为火力1,所以OVJIW I.故直线OG斜率的取值范围为(0,1.(I I)直线 MN 斜率ko =器 j =4 f e|V7,由T s k s 2得(/c0/m2+1 myD+1-xD|,22Jm2+1由题知好+9%=l(x0 W 0),故令xo=si n8 W 0,yD=-cosQ.S 2(l-y)V m2+l,设/(m)-2(1-y)V m2+1,1 m 2|x+l|；(2)若关于x的不等式/(x)2仇+1|存在实
28、数解，求实数a的取值范围.m 5时，f Gn)V O,f(w)单调递减；-m 0,f C m)单调递增.所以/(r n)2/(=/5,即m 时，S取最小值所以 O M N面积的取值范围是苧，骞+|.四.解 答 题(共2小题，满 分10分)22.(10分)在直角坐标系xO y中，直线/的方程是y=2,曲线C的参数方程是R 2 2 s*(y=v2smp(p为参数).以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(I )求直线/和曲线C的极坐标方程；7 7 1 1(I I )若A (p i，a)是曲线C上一点，B(p 2，a+不)是直线/上一点，求.川5+欣 Q的最大值.【解答】解：(I )直线/的方程是y=2,转换为极坐标方程为p si n9=2,曲 线C的参数方程是仔=2曹”(2k+lb两边平方，解得：x V/，故原不等式的解集是 R x V 4 ；(2)若关于x的不等式/(x)2年+1|存在实数解，即12r -1|-|a-1|2卜+1|存在实数解，即l a -l|2x-1|-2仇+1|存在实数解，令 g(X)=2x-1|-2|X+1|,即)-l|V g(X)max,g(x)=2x-1|-2|A-+1|2X-1 -(2x+2)|=3,当xW -1时“=”成立，故解得：-2a4,故a的取值范围是(2,4).第2 0页 共2 0页