《2021年高考全国卷二理科数学模拟试卷及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考全国卷二理科数学模拟试卷及答案解析.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5 页，22小题，满 分 150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
2、以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一.选 择 题（共 12小题，满 分 60分，每小题5 分）I.（5 分）若集合A=y|y=23 xeR,B=yy=x1,xC R,则（A.AUB B.ANB C.A=B2.（5 分）已知i 是虚数单位，复数z满足上冬=1+1,则|z|=（zV5 3V2 V1QA.B.-C-2 2 23.（5 分）已知命题p：函数y=log（）.5（%2+2%+a）的定义域为R,命题q：函数y=-（5-2）1是减函数.若p V q为真命题，p A g为假命题，为真命题，则实数。的取值范 围 是（）D.A G 8=0）D.V3A
3、.aWl B.l a 2 C.a 2 D,或_ 44.（5 分）已知+a）=可 则 co s2a=（）7 7 1 3A.-77F B.C.-p D.一25 25 5 55.（5 分）已知面=1,b=2,a 0,/?0）的一条渐近线被圆（x+3）2+y2=4所a2 b2截弦长为2,则。的离心率为（）l -V6A.2 B.V3 C.V2 D.-212.（5 分）已知函数，（兀）=+2），2%0（1 ）/（/（%）+（ER）恰有7 个不同零点，则实数。的取值范围是（）A.（0,1）B.-1,1C.（-1,1）D.（-1,0）U（0,1）二.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）第2页
4、共1 8页俨+y 4 工01 3.（5 分）已知实数冗，y 满足约束条件卜一 2y+2 2 0,则 z=i+2y的最大值为.y 014.（5 分）函数/（x）=3 4-5x+9的图象在点（xo,/Go）处的切线垂直于直线x+4y-1 2=0,则刈=.x2 y215.（5 分）已知双曲线氏 -7 7=1 （0,60）的左、右焦点分别为为，尸 2,A,Ba2 b2是双曲线上两点，且A B/F F 2,F iA =A B=F 2 B=FIF 2,则 双 曲 线E的离心率为.16.（5 分）“任意的q u a,均有a0”是“任意b u 0,均有方a”的.三.解 答 题（共 5 小题，满分60分，每小题
5、12分）17.（12分）已知等比数列 而 的公比为q.（1）试问数列 a.+a”+i 一定是等比数列吗？说明你的理由.（2）若 44a5=946，414243=2 7,求 ”的通项公式及数列 （-1），+4即 的 前n项和Sn.18.（12分）己知在48C 中，角 A,B,C 的对边分别为小b,c,且 a+b+c=12.（I）若=2,b=5,求 cosA 的值；B4（II）若 sinAcos2-+sinBcos2 =2sinC,且ABC 的面积为 lOsinC,试判断ABC 的2 2形状并说明理由.19.（12 分）如图在三棱柱 A B C-4B C I 中，BA=BC,BA_LBC,且 44
6、1 J_平面 4 8 C,。、E、尸分别是棱AB、A C.4 c l的中点.（1）求证：平面A8CA平面E81C1=OE；（2）若 A 4 i=4 C,求二面角C i-O E-F 的余弦值.20.（12分）已知动圆M 过 点（2,0）,被 y 轴截得的弦长为4.（1）求圆心M 的轨迹方程；（2）若aABC的顶点在M的轨迹上，且 A,C 关于x 轴对称，直线8 c 经过点F（1,0）.求第3页 共1 8页证：直线A 5恒过定点.2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=7lnx+a(1 -x2).(1)证明：伍x N-+l；(2)(i )证明：当O V a V；时，对任意x 6(0,占)，总有f
7、(x)0；(i i)讨论函数/(x)的零点个数.四.解 答 题(共 2 小题，满 分 10分)2 2.(1 0分)已知曲线C的参数方程为俨=6胃s。(。为参数)，在同一平面直角坐标系中,ly =sin0(,_ V 3将曲线C上的点按坐标变换产=手、得到曲线C,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,y=y建立极坐标系.设A点的极坐标为(|,7 T).(1)求曲线。的极坐标方程；(2)若过点A且倾斜角为三的直线/与曲线。交于M,N两点，求的值.612 3.已知实数。0,函数/(x)=2 x-a+x+.(1)若f(0)0,则A=|）0,当x W R 时，/2 0,所以8=第 20,则 A QB,故选：A
8、.2.（5 分）已知，是虚数单位，复数z 满足U=l +i,则|z|=（）ZB.Vioc.D.V3.|z|=|2|=J（_#+（_|）2=零.故选：C.3.（5 分）已知命题p：函数y =/。9 0,5（/+2久+a）的定义域为R,命题q：函数y=-（5-2a）x 是减函数.若pV q为真命题，pAq为假命题，为真命题，则实数a的取值范 围 是（）A.a Wl B.a 2 C.a 0对于任意实数恒成立，即方程7+2x+a=0的判别式=4 -4 l；命题q为真时，5-2a l=a 2.若p或为真命题，0 且“为假命题，p,q中有一真一假，:-1。为真命题，故p是假命题，q是真命题.若夕为假，（7
9、 为真时，d，解得a W l；故选：A.第5页 共18页、，4,4.（5 分）已知tan（7r+a）=可 则 c o s2 a=（）7 7 i 3A.刁E B.C.-p D.一25 25 5 5【解答】解：已知tan（7i+a）=*所以Cerna=可利用三角函数的定义，解得sina=,故 cos2ot=1 -2si n 2 a=1-32=7故选：A.5.（5 分）已知而=1,b=2,a2),由-16x 消 y 可 得-(16+8 F)x+16必=0,(y =k(x-4)o 16 i,X1+X2=8+F，XX2=16,Q|MF|=x i +1=x i+4,|N F|=簧+1=X2+4,1 1/+
10、%2+8 16+假 1 =一.MF NF 4(X1+X2)+X1X2+16 32+后+16+16 4.NF _ _ _=吧+_ 2 I F l 4 _i=1 9-MF 9+NF 一 9 NF 3,当且仅当W M =6时 取“=故的最小值为故选：D.7.(5分)算数书竹筒于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长乙与高儿计算器体积IZB袤/八的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么近似公式七八 相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为()
11、22A.7157B.一5028C.9D.337115【解答】解：设圆锥底面圆的半径为，高为/?,依题忌，L=2 n r1 9 3 99-n r2h=-(2nr)h,3 112.1 12 2 日 ri 28?r=五2兀 即n=g28即71的近似值为一.9故选：C.8.(5分)设奇函数/(x)在定义域2,2 上单调递减，则不等式f(2 x-3+f(l-x)2 0的解集为()第7页 共1 8页3A.-2,2 B.(-8,-7 3 7 3C.-g，-4 D.(-8，-u+8)【解答】解：./(x)是奇函数，.原不等式变形为：f(2 x-)fx-Y),又/(X)在定义域-2,2上单调递减，2 W 2.x
12、 彳 W 2 2 x 1 W 2,，一 寺 W x-13-4-X 0,f e 0）的一条渐近线被圆（x+3）2+尸=4所a2-bz截弦长为2,则 C的离心率为（）厂 V 6A.2 B.V 3 C.V 2 D.一2【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为笈-故=0,因为圆（X+3）2+y 2 =4的圆心（-3,0）,半径为2,双曲线C：-7=1 （a 0,b 0）的一条渐近线被圆（x+3）2+），2=4 所截弦长为2,所以圆的圆心到直线的距离为d=占 辿 L=V 22-I2=V 3,整理可得2 c 2=3/，所以双曲线的离心率为：e=坐.故选：D.1 2.(5 分)已知函数f(x)=9 2。+2)若
13、函数 g (尤)=/(/(x)J2-U2-2 x,x 0(a+A f (f(x)+a(a R)恰有7 个不同零点，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.-1,1 C.(-1,1)D.(-1,0)U (0,1)【解答】解：由 g(x)=/-(/(%)2-+a=0,可得/(f(x)-1 J 第 9 页 共 1 8 页(/(X)-0=0,则f (/(x)=1 或/(/(X)=，作出,f(x)的图象如图所示，则若，(x)=1,则 x=0 或 1=1+企,设，=/(x),由/(/(x)=1 得/(/)=1,此时/=0 或 r=1 +V 2,当，=0时，f(x)=r=0,有两个根，当/=1 +/时，f
14、(x)=t=1 +V 2,有 1 个根，则必须有f(/(x)=a(W 1)有 4个根，设/=/(x),由/(/(x)=a,可得/(/)=a,若 a=0,由 f(f)=4=0,可得 =-1 或=-2,因为/(x)=-1 有 2个根，/(%)=2有 1 个根，此时有3个根，不满足条件；若由/(力=小 可得，1 +V L 因为/(X)=，有 1 个根，不满足条件；若 0 aVl,由/(力=，可得-1 力0 或 2 V z 2V 1 +&,当-IV f i V O 时，/(%)=有 3 个根，当 2V/2V L +鱼 时，/(x)=/2有 1 个根，此时有3+1=4 个根，满足条件；若。=-1,由/(
15、力=小 可 得 0=垓或1 2=1,当/(X)=一|有 1 个根，当/(X)=1时有2 个根，此时有3 个根，不满足条件；若由/(力=a,可得一w V t i V-1或 0/21 或 1 C/3V 2,当一|tx-1 时，/(x)=t 有 1 个根，当 0/21 时，/(%)=配 有 2 个根，当 1 办 2 时，f(x)有 1 个根，此时有1+2+1 =4 个根，满足条件；若“01%+y 4 W 0 x 2y+2 2 0对应的平面区域如图：（阴影y 0平 移 直 线 产 一 加%由图象可知当直线产一%传 经过点A时，直 线 产-1 x+1 z的截距最大，此时z最大.噬TO解得A2）,代入目标
16、函数z=x+2y得z2 X 2+2 6故答案为：6.14.（5分）函数f （x）=3 9 -5x+9的图象在点（xo,f（xo）处的切线垂直于直线x+4y-1 2=0,则 M）=1.【解答】解：n（x）=3J?-5X+9,第11页 共18页：.f（x）=9/-5,由函数f（x）=3/-5x+9的图象在点（x o,f（x o）处的切线垂直于直线x+4y -1 2=0,得/（殉）=9 x02-5=4,解得 xo=I.故答案为：1.x2 y21 5.（5分）已知双曲线氏 -7 7=1 （0,6 0）的左、右焦点分别为为，尸2,A,Ba2 b2是双曲线上两点，且A B/F F i,FA=AB=F2BF
17、IF2,则双曲线E的离心率为1+V3_.1 c y/3c【解答】解：A B/F F 29/1川=依用=尸2 6=尹 产2,可得A（-分）,3c2代入双曲线方程可得I-=1,并且廿=2-a1,4a z 4b z整理可得 o 4-8a 2c 2+4a 4=（）,即-8e2+40,e 1,解得 e=1+V 5.故答案为：l+V l1 6.（5分）“任意的a u a,均有“0”是“任意b u 0,均有ba”的 充 要 条 件.【解答】解：若“任意的a u a,均有0”成立，则a 0,.对“任意的a u a,均有a厂成立.若“任意的a u a,均有a 0，则a仇.此时对“任意的a u a,均有a 0”成
18、立.二“任意的a u a,均有。0”是“任意kB，均有6 a”的充要条件，故答案为：充要条件.三.解 答 题（共5小题，满 分60分，每小题12分）1 7.（1 2分）已知等比数列“”的公比为g.（1）试问数列”+所+|一定是等比数列吗？说明你的理由.（2）若 =9 46,a l a 2a 3=27,求 斯 的通项公式及数列 （-1）+4a”的 前n项和Sn.【解答】解：（1）数列。+如+1 不一定是等比数列.理由如下：若 q=-l,则 4+1=（1+q）=0,此时数列 刖+劭+l 不是等比数列;若q*-1,则数列 珈+祈+1 一定是公比为q的等比数列，故数列 珈+斯+1 不一定是等比数列.第
19、1 2页 共1 8页(2)由 44。5=9 6,且。445=3。6；得 43=9.因为 41 0243=27,所以磅=2 7,则 02=3,9所以q=W=3,6 Z i=1,所以 的通项公式为an=3nt,1 _ Qn故57 1=-1 +2 3+4-+(l)nn +4 x?当 n 为偶数时，Sn=n +2(3n-1)；当 为奇数时，Sn=1(n+l)-(n +l)+2(3n-1)=-方(n +5)+2 3”.信n +2x(3-l),n为偶数,所以S”=(-(九+5)+2 x 3n,Tt为奇数1 8.(1 2分)已知在 AB C 中，角 A,B,C的对边分别为m b,c,且 +8+c=1 2.(
20、I )若 a=2,b=5,求 c o s A 的值；8 A(II)若 s i n Ac o s2 +sinBcos2-=2s i n C,且 AB C 的面积为 l O s i n C,试判断 AB C 的2 2形状并说明理由.【解答】解：(1)ua+h+c=2f=2,b=5,cosA2 bc52+52-22 _ 23 _2x 5x 5 25DA(2):AB C 为直角三角形，sinA cos2+sinBcos2=2 sinC,sinA 1+学sB _|_ sinB 1+：。=2 sinC,即 s i r L 4+s i n8+s i r L 4 c os 8+c os A s i nB=4
21、s i nC,A s i nA+s i nB+s i n(A+8)=4 s i nC,.A+B+C=n,A+B=n -C,即 s i n(A+B)=s i n(n-C)=s i nC.s i n A+s i nB=3 s i nC,由正弦定理得 a+b=3 c,；+A+c=1 2,可得 4 c=1 2,解得 c=3.从而a+b=9.又A B C 的面积为l O s i nC,1A -absinC=lOsinC.2B P ab=2 0,，。=5,2=4 或=4,b=5,第 1 3 页 共 1 8 页又.7=3,可得cosB=溶曰=啮宴=0,可得B为直角,乙 CL C ZX4-XD.ABC为直角三
22、角形.19.(12 分)如图在三棱柱 ABC-4BC1 中，BA=BC,BA A.BC,且 441 _L平面 A B C,。、E、尸分别是棱AB、A C.4 c l的中点.(1)求证：平面A8CC1平 面 仍 iCi=DE；(2)若 A 4 i=A C,求二面角Ci-O E-F 的余弦值.【解答】(1)证明：连接以。，E 分别是棱AB、AC的中点，.,.D E/BC,由三棱柱的性质知，BC/BC,：.D E/BC,即 B i、Cl、E、。四点共面,.DEu平面 E BC,平面 ABC,，平面 ABCn平面 E BiCi=D E.(2)解：以 B 为原点，BA、B C、BBi所在的直线分别为x、
23、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 B A=B C=2,则 A4i=AC=2或,Ci(0,2,272),D(1,0,0),E(1,1,0),F(1,1,2V2),：.D E=(0,1,0),D F =(0,1,2V2),D Cr=(-1,2,2或)，第1 4页 共1 8页 设平面O E 尸的法向量为其=(x,y,z),则而,W =,即=Lm-D F =0 b +2伍=0令 x=l,则 y=z=0,Am=(1,0,0),同理可得，平 面 的 法 向 量/=(2V 2,0,1),)c os /2 27 2n=而 诵=芦=丁由图可知，二面角C l -DE-尸为锐角,2V 2故二面角C -D E
24、-F的余弦值为 丁.20.(1 2分)己 知 动 圆 过 点(2,0),被 y轴截得的弦长为4.(1)求圆心M 的轨迹方程;(2)若AABC的顶点在M 的轨迹上，且 A,C关于x 轴对称，直线BC经过点尸(1,0).求证：直线A 3恒过定点.【解答】解：(1)设动圆圆心例(x,y),由题意，可得V x 2+22=J+2)2+y 2,两边平方整理得V=4 x,所以圆心M的轨迹方程为)?=4 x；(2)证明：由题意，直线8 c经过点尸(1,0),设 B (x i,j l),C(X 2,2),直线 B C 的方程为 x=f y+l,与 抛 物 线 方 程 联 立 A 得至I J/-S -4=0,显然
25、=1 6 a+1 6 0,所以 y i+y 2=4 f,yy2=-4,再设直线A3的方程为(Z W 0),与抛物线方程联立，得到女)?-4 y+4 机=0,由对称性知A(X 2,又 B(x i,y i),所 以-y i.V 2=赞，所以4=翟，即直线AB的方程为)=日+&(Z W 0),则直线A B 恒过定点(-1,0).21.(1 2分)已知函数/(x)=/配什(1 -x2).(1)证明：)x 2 1 +1;(2)(i )证明：当OVQV 4时，对任意工 (0,搭)，总有f(公 0；第 1 5 页 共 1 8 页(i i)讨论函数/(x)的零点个数.【解答】(1)证明：令g(x)=)x +-
26、l(x 0),则=妥.当 0 x l 时，g(x)l 时，g(x)0,故 g(x)在(0,1)上单调递减；g(x)在(1,+8)上单调递增，1所以g(x)2 g (1)=0,即仇工之一歹+l.1(2)(i)证明：由(1)知：/(%)=x2lnx+a(l%2)x2(-4-1)4-a(l-x2)=(%1)(1 a)x a.当。0,故/(x)0.()解:/(%)=x2Inx 4-a(-1),令(x)=仇 +a -1),则f(x)=x2(p(x).因为函数/(%)=/(p(x)的定义域为(0,+8),故 y=/(x)的零点与y=(p(X)的零点相同，所以下面研究函数y=(p(x)在(0,+8)上的零点
27、个数.=lnx+a(-1),d(x)=一 善=x 当 aWO时，0 在 xe(0,+8)上恒成立，.,.(p(x)在 尤(0,+8)上单调递增.V(p(ea)=0.存在唯一的零点用 E(e。，2),使 得 年(xo)=0.当“0 时，w(x)=。一丹*),可得y=(p(X)在x e(0,后)上单调递减，在(圆，+8)上单调递增.y=(p(x)的 最 小 值 为=lnyj2a a+于令?n(a)=lny2a a 4-则加(a)=1,所 以 加(a)在(0,上单调递增，在弓，+8)上单调递减，又 加(=0.-1_当Q=)时，y=(p(x)有唯一零点=V =1；第 1 6 页 共 1 8 页当O V
28、 a V 1,即OV岳 V I时，且3(侬)VO.Vp(1)=0,.p(x)在“赤，+8)上有唯一的零点 x=l.又 由(i)知：y=,即时，且乎(企a)e1.又0(2。)=徐 ，由函数零点存在定理可得y=(p(x)在ea)上有唯一零点,故 y=(p(x)在(0,V2a),(V2tt/+8)上各一个唯一零点.综上可得：当或Q另 时，函数/(x)有唯一零点；当 心 0 且时，函数f(x)有两个零点.四.解 答 题(共 2 小题，满 分 10分)22.(10分)已知曲线C 的 参 数 方 程 为 卜 黑sO(e 为参数)，在同一平面直角坐标系中，(y=sind，73将曲线C 上的点按坐标变换x=T
29、”得到曲线C,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴，-y=y建立极坐标系.设A点的极坐标为(|,兀).(1)求曲线。的极坐标方程；T C(2)若过点A 且倾斜角为二的直线/与曲线。交于M,N 两点，求的值.【解答】解：(1)曲线C 的参数方程为俨=(0 为参数)，利用平方关系可得：(y=smu%?曲线C 的普通方程为：y+7-1,将曲线C上的点按坐标变换卜=象 得 到 俨=华 ，代入得曲线。的方程为:/+/=1.ly=y y=y化为极坐标方程为：p=l.(2)A 点的极坐标为6，7 T).可得点A 在直角坐标的坐标为(一|,0),n因为直线/过点A 且倾斜角为7，6第1 7页 共1 8页tx=-
30、H -12 2,a 为参数),y=/代入方程：/+)2=1.得：r -t+=0.设 M,N 两点对应的参数分别为“，则 t+t2=tt2=不所以|AM|AN|=|ri/?昌.2 3.已知实数。0,函数/(x)=2 x-a+x+i|.(1)若f (0)0,/(0)=同+后|=a+?0,1-I解得y V a2,a 的取值范围为(*,2).n z1、1 o 7 1a-2x+(-x )=a-3x,x 0,/(x)=,c i 2Q x+x d,1 _,1 1,1Qa=Q+二a 一,一 二a Z2c x a+.%H.1 =o3%.1、aa Q+二a，x LQ-.,(/(x)a 1alm i n=f +-+-3,.a 2 3+77或a W 3 一 上,故实数a 的取值范围为(0,3-V7 U 3+V7,+8).第1 8页 共1 8页