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1、卷01-2021年新高考金榜冲刺模拟卷(江苏专用)数学试卷一、选择题：本 题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 =卜b=l og2(/-1),3 =卜 卜=，%-2卜 则408=()A.(-1,2 B.2,+oo)c.0,+oo)D.(l,+oo)【答案】D【解析】因为A=卜b=l oS2(d -1)=卜卜1 ,8 =y|y =4_ 2 =y|y z o,所以 An5=(i,+8).故选：D2.已知i是虚数单位，若z =l-i,则(1 +z)；的模为A.1 B.V 2c.V s D.V io【答案】D【解析】(1 +z z =z
2、+1 z=l +i+2=3+i.所以(1 +z)工的模为质.故选D.3.设f(x)是奇函数f(x)的导函数，/(1)=0,当%0时4 (x)2/(x),则使得/(x)0时,有 矿(x)2/(x),即 V (x)-2/(x)0,g(x)0,即函数g(x)在(0,+8)上单调递增.又f(x)是/上的奇函数，/(-x)=-/(%),g(-x)=-x2=_g(x)，故函数g(x)为奇函数，由奇函数的对称性可得g(x)在(YO,0)上单调递增.又/(1)=0,.4-1)=0,g=半=0,.g(T)=_g=0.所以当x l时g(x)0,当0 c x 1 时g(x)0,当-l x 0,当x -4时g(x)0
3、,由/(幻 0可得，g(x)=华，X即要使f(x)o成 立,只 需g(x)0成立;所以/(x)0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的 人 数 占 总 人 数 的 则 此 次 数 学 考 试成绩在90分到105分之间的人数约为A.100B.200C.300D.400【答案】D【解析】由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为X=105,所以尸（X 2 105）=0.5,因为P（XN120）=而，所以尸（105WX1120）=0.4,由对称性知P（90X 0,|夕|0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若对于任意的无eR,g（x）W g刍，则。的值可以为（）【答案】
4、C【解析】因为/(0)=2,所以2 0 sin e =2所以sin夕=*且|。1/2 sin 2x+(-2a),又因为对于任意的x e R,g(x)T T所以a=-&兀,k.e Z sH.a=-k 兀,k.e Z,所以。可取,12 11 12 11 12故选：C.8.已知椭圆C：卷+=1(a b 0)点P,A在椭圆上，且直线以过原点。，过点P垂直于力 的直线 3 -交椭圆于点B,过P点垂直于x轴的直线交椭圆于点Q,直线A8交PQ于点D,若PO=P Q,则椭圆C4的离心率6=()A1 D V2 也、GA.B.C.D.2 2 2 3【答案】C【解析】由题意设点 P(xi,y i),则点 A(-xi
5、,-yi),Q(xi,-yi),因为 P D =P Q,设 D (x,y)则(x-xi,y-yi)=(0,-2),解得 x=xi,y=-,所以 D (x),4 4 2 22纹2%丁M+22ay2两式作差可 得:一叱,所 以%=jki,即 六=g,无a y+%4玉 xt+x2,y,4(y+%)4 b2 b2 1则 MA=2=，又 R4_LP8,故 kpA k08=-二-=-1，所以=,%玉+a2 a2 4所以椭圆的离心率为，上故选：c.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选借的得0分，部分选对的得2分.9.若点A（玉
6、,y）,1在点A和点8处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（）A.x i 0B.0 x i lC.二最小值为eD.x ix z最大值为e【答案】CD【解析】e*+1 x（因为/（%）=一，点 A&,y）,3（%2，%）（玉 1-e x 1X因为/（幻 在点A和点B处的切线互相垂直由导数几何意义可知，在点4和点8处的切线的斜率之积为-10当 X o,所以方程无解.即不存在西 1,所以J l 1所 以%0,所以A、B错误;对于C,可 知 这=己,令g(x)=,(xW l)X 的 X“X、所以 g(x)=一X I 7X-1)1令 g(x)=0,得 尤=1所以当x l时，g(x)o,则g(尤)=在x
7、l时单调递减所以8(月=在 =1时取得极小值，即最小值为g m i n =J=e,所以c正确;X 1对 于D,可知Xj X2=玉 ex令=xe,(xW 1)则 hx-ex+xex令(x)=e*(l +x)=O,解得 x=l所以当x 1时，h x)0,则hx=xe*在x 1时单调递减当一1 0,则 (x)=xe 在一1%W1 时单调递增所以/i(x)=靖 在x=-1时取得极小值，即最小值为(1)“血=.当x=l时取得最大值，(1)1 1 1 a x=e，所 以D正确.1 1 ,G当1 V演 n=-：-=万 广 4 厂 2贝 宁=1，./(力=对于 A,力 展开式通项公式为：Tr+t=C；x24-
8、3r=(-l)r C；x24-4 r.x J令2 4-4厂=0,解得：r=6,、(力 展开式的常数项为(一球 或=2 8,A错误；对 于B,/(1)=0,即/(x)展开式的各项系数之和为0,B正确；对于C,/(x)展开式中二项式系数最大值为C；=7 0,c正确；对于 D,=(_ j +i)8=o，D 错误，故选：B C.三、填 空 题(本 题 共4小题，每小题5分，其 中 第1 6题分值分配为前3分、后2分，满分共2 0分)y 1 6x1 3.已知为正实数，则上+的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.x 3 x+y【答案】5【解析】为正实数，y 6x y 1 6-F-1-则 x 3x+
9、y x 3 +，x令上=，0,xy 1 6x y 1 6 1 6-1-=1-=/H-则 x 3 x +y x 3+)3 +f，X由于 0,r+3 0,则7+也=1+3 +生-3 N 2 j 1 +3)x叵3 =5,r+3 f+3 V t+3当且仅当，+3 =)-时，即：f =l时取等号，t+3所以上=l=x=y,Xy 16x则上+的最小值为5；x 3 x+y故答案为：5.1 4.对 圆*一1)2 +(y-l)2 =1 上任意一点 P(X,y),若点 P到直线4 :3 x-4 y-9 =0和6：3 x-4 y +a=0的距离和都与x,y无关，则a的取值区间为.【答案】6,+0 0)【解析】点P(
10、x,y)到直线4 ：3 x -4 y -9 =0和4 ：3 x -4 y +a=0的距离和为/|3 x-4 y-9|3 x-4 y +|V 32+47 +A/32+47因为d与x,y无关，所以距离之和与点P(x,y)无关,如图所示，当6：3-4+。=0在圆左上方时，尸点与 直 线 的 距 离 之 和 均 为4，。的距离，即此时与X,y的值无关，当直线4与圆相切时，化简得卜1|=5,解得a=6或a=-4 (舍去)所以“26,故答案为：6,+8)1 5.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到
11、数列 4 ,则(1)a35=；(2)若a“=2 0 2 1,贝i j =2 3 42 46 7 8 95 7 910 11 12 13 14 15 1610 12 14 1617 18 1920 21 22 23 24 2517 19 21 23 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36图甲26 28 30 32 34 36图 乙【答案】62 1 0 3 3【解析】(1)由于1+2+3+4+5+7=2 8,所以5位于第8行的第7个数,因为第8行的第一个数是2 6+1 1+1 3=5 0,第8行是一个首项为5 0,公差为2的等差数列，故6 5 =5 0+2 x 6=6
12、2；(2)1 +3 +5 +8 7 =+8=1 9 3 6 2 0 2 1.2故 4=2 0 2 1 在第 4 5 行，第 4 5 行第 1 个数是 1937,=2 0 2 1 =1 9 3 7 +2(2-1)=左=4 3,即 =2 0 2 1在第4 5行的第4 3个数，因此“=1 +2+3+4 4+4 3 =1 0 3 3.故答案为：62：1 0 3 3.1 6.在矩形 A B C Z)内有E、尸两点，其中？1 B =1 2 0 c m，A E =1 0()g c m，E F =8 0辰m，E C =60限m，Z A E F =N C F E =60。,则该矩形A 8 C 的面积为 c m?
13、.（答案如有根号可保留）【答案】1 4 4 0 0百【解析】如图，连接AC交ERF。，Z A E F =Z C F E =60 ：.AE/F C,：A E O-/CF O,A E O E 1 0 0 7 3 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _C F O F 6 0 G -3 ,E F =O E +O F =8 0百，A O E =5。瓜 O F=3 0 7 3，在 A E O中，由余弦定理可得，A O=V A E2+O E2-2AE O E -c o s Z A E F=7 3 0 0 0 0+7 5 0 0 -2 x 1 0 0 x 5 0 7 3 c o s 6
14、 0 0 =1 5 0,同理，在 C F O中，由余弦定理可得O C =9 0，；.A C =AO+OC=2 4 0,在 R/QABC 中，可得 6C=JAC1r 4 =120百，则矩形面积为 AB 8C=120 x 12 0 g =14400百(cm2).故答案为：144006.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 加=(cosB,2c-2)，n=(cos A,a)且加，b=acosC+-csin A cos?A+cosAcos(C B)=sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.已知D A 5c中，三个内角A,B,C所对的
15、边分别是“，b,c.(1)求A的值；(2)若。=百，口4 6 c的 面 积 是 巫，点 是8 c的中点，求4 0的长度.2(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】条件选择见解析；(1)(2)旦.3 2【解析】选 ：由得acosB=(2c-b)cosA,得 sin Acos B=2sin Ceos A-sin Bcos A,得 sin(B+A)=2sin C cos A,1JT又 sin(B+A)=sinC,sinCw O,所以 cosA=,又 0A，所以 A=.23csin A，根据正弦定理得s i n B =s i n A c o s C 4-s i n C s i n A，3
16、所以 s i n(A +C)=s i n A c o s C+f s i n C s i n A，6所以 s i n A c o s C +c o s A s i n C =s i n A c o s C +s i n C s i n A，3h所以 c o s A s i n C =s i n C s i n A .因为 s i n C wO,所以 t a n A =6，3冗乂0 A v;r,所以A =一.3因为 c o s?A 4-c o s Ac o s(C -B)=s i n 5 s i n C ,所以 c o s A -c o s(B +C)+c o s(C-8)=s i n B s
17、i n C ,所以 2 c o s A s i n B s i n C =s i n B s i n C因为Be(0,乃)，CG(0,),所以s i n B s i n C w O，所以c o s A =，271又0A ，A =,得。2+c?0 c =3.由ABC的面积为 正，得be=2,所以+0 2=5.2u u i r i zu u n u u ox因为M是BC的中点，所以AM=,(A3+A C),从而|=；(|而F+l恁5+2通.*)=；,2+/+匕4=(,所以AM=也.21 8.已知公差大于0的等差数列 为 的前n项和为S 0,且满足。3。8=-9,(1)求数列 为 的通项公式(2)若
18、丁=|O l|+|O 2|+|O 3|+.+|a n|,求丁的表达式；。5+。6=-8.Sc(3)若用=,存在非零常数c,使得数列 6 是等差数列，存在“SN*,不 等 式 左 0成立,n+c n求 k的取值范围.【答案】(1)G n=2/7 -1 5；(2)T“=一 2+1 4 ,7 2【解析】(1)根据题意，因为数列%是等差数列，设其公差为d,则有。3+。8=。5+。6=-8,又由。3。8=-9,则有。3 =1，。8=-9或。3=-9,。8=1，因为 d 0,故可得。3=-9,0 8 =1,则 5 d=。8 -。3=1 0，解得 d=2,O 3 =Q i+2 d=-9,故 0 i=-1 3
19、.故。=2。-1 5.(2)根 据(1)中 所 求,令%=2。-1 5 0,解得，7.5,故数列的前7项均为负数，从第8项开始都为正数.当 n 7 时，T =(q +/+L +%)+/+L +%=S”2 s 7 =1 4 +9 8综上所述：Tn=一 2 7(3)由(1)4 an=2n-1 5.则 S =/一 1 4，故可得a JT4,因为存在非零常数，使得其为等差数列,n+cT3 3 3 4 8故可得6+/?3=2 匕2，即-1-=-,整理得c2+1 4 c=0,c+1 c+3 c+2解得c=-1 4,c=0 舍 去.故匕=2 1 二 弛-1 4=n 则存在n W N*,不等式一 一女 +nn
20、min设/（无）=x+L,由对勾函数可知，当尤=L=x=有最小值，3 /1 4XX,1 4 2 3 ,当=3 时，y=n-1=；当 c=4 时，yn 31 4 1 5n+-n 2故y=+”的最小值 为，则攵,”即可;n 2 2故k的取值范围为（,+8）21 9.如图，在四棱锥产一A B C。中，底面A B C。为直角梯形，AD/BC，N A 0 C =9O，平面2 4。，底面4B C D,N P B C =90，E 4=A D =2 B C =2,C D =BA 8（1）求证：PA=PD-,（2）求直线PC与平面MB所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）巫.35【解析】（I）取A
21、D的中点Q，连接3Q.-.A D/B C,。为 A D的中点，A D =2 8 C =2,/.BC/QD ,B C =QD,四边形BCDQ为平行四边形，,BQ/CD.-.-Z AD C=90,：.A D L B Q.N P B C =90，AD/BC，:.AD PB.又 PBCBQ=B,二4），平 面 心。.尸。（=平 面23。，PQ LAD.由。为AT的中点，得PA=PD.（2）.平面PATJ_平面 ABC。，平面PADPI平面 ABCD=AD,PQAD,P Q u平 面 出。，P。，平面 ABCD.：.PQ,AD，QB两两垂直.以。为原点，分别以QA,QB,QP所在直线为X轴，y轴，Z轴，
22、建立空间直角坐标系,则 Q（0,0,0）,A（1,0,0）,P（0,0,A/3）,8（0,后0）,C（-l,/3,0）,.定=（-1,6,-码，而=（-通=（-1,后0）,设平面PAB的一个法向量为 =（x,y,z）,则A Pn=0一 ，即ABn=0-x+yf3z=0,-x+/3_y=0.令z=l，得五=（百 ,1 设直线PC与平面PAB所成的角为。，.c PC-n I-V3+V3-V3I Vn）5则国和=g石=.即直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 变.3520.某社区计划开展一项 猜灯谜，获积分，换礼品 的活动，该活动的规则是每人至多参加三次：参与者前两次每猜对一次，则获得100积分，
23、猜错没有积分：如果前两次没有都猜对，则参与者不能参加第三次，如果前两次都猜对，则参与者可以自愿选择是否猜第三个灯谜，第三个灯谜猜对获得200积分，猜错扣1 0 0积 分.（每人每次猜一个灯谜）（1）为了了解喜欢猜灯谜活动是否与性别有关，社区工作人员从该社区的居民中随机抽取50人，得到的数据如下表.请完善表格，并判断是否有95%的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关.喜欢猜灯谜不喜欢猜灯谜合计男9女30合计35（2）小明准备参加猜灯谜活动，若小明猜对前两个灯谜的概率均为P,猜对第三个灯谜的概率为夕，小明在前两次猜灯谜中共获得1 0 0积分的概率为1，其中q w（O,l）.求P的值；小明准备从以下两种
24、方案中选择一种，其中方案一是无论前两次猜灯谜结果如何，均不参与猜第三个灯谜；方案二是前两次若没有全部猜对，则不参与猜第三个灯谜，前两次若全部猜对，则选择猜第三个灯谜.若1选择方案二所获得的积分的期望值大于选择方案一所获得的积分的期望值的一倍，则q应该满足什么条q件？参考公式及数据：*=（,+颂 c +d）（a +c）（d）其中=P(K2ktl)0.150.100.050.0250.0100.0050.001即2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282【答案】（1）列联表见解析；没有95%的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关；（2）P =1；-1 +V 1 0 ,-
25、7 1 .3【解析】（1）由已知数据可补全2*2 列联表如下:喜欢猜灯谜不喜欢猜灯谜合计男1 192 0女2 4630合计351 550,2 =50 x(1 1 x 6-2 4x 9)：/2 I，35 x 15 x 30 x 207.3.5 7 1 0,/(x)单调递增；当x e(e,+o o)时，/(x)l 时，/?(x)0.解得”上叵或“*9 q 3 3 3 e(O,l),：-q应该满足的条件是一：W 4 1 21.已知函数/(x)=x-a l nx ,。为实数.(1)若直线y =5是/(X)在x =x 0处的切线，求。的值：(2)若/(x)有两个零点内，x2,且王 e；(3)a .22e
26、*2【解析】(1)设切点为(无0，玉)-a l n%),因为/(x)=l-二，所以 e；(3)因为 g(x)=axg(x)=1-l nx1-l nx +a x2-ae2x22J Ce2、M+ax+X,皿+a x +x X 7,所以,2 (e+。12I x7乂因为g(%)在(0,+。)上单调递增，所以1一1111+“2一/2 0对7相(0,+0 0)恒成立,令 夕(%)=1 I nx+a x?一四2,x w(o,+o o),F(x)=-+2a r ,当a 4 0时，F(x)0时，令F(x)=O,解得x =,x e 0,时、F(x)0,所 以/(E L.=F=3 I1 I n 2a 92 0,2
27、23|1令 G(a)=+I n2tz-ae2,a e(0,-l-o o),G(r z)=e2当。e(0,止时，G(a)0,G(a)单调递增；当a e,+oo时，G,(a)0,G(a)单调递减,所以 G(a)WG(，=-1-=0,2 2所以若G(a)N O成立，则当且仅当a =能满足,2e综上可知：C I .2ex,2222.已知椭圆+1(。0)的离心率为噂，右焦点为F，上顶点为A ,左顶点为5,且a|必H F B|=1()+5 0.(1)求椭圆的方程;(2)已知C(T,0),。(4,0),点p在椭圆上，直线P C,PD分别与椭圆交于另一点M，N ,若CP=A C M 而=而，求证：4+为定值.
28、2 2【答案】（1）三+工=1;证明见解析.10 5【解析】（1）设F（c,0）.由题意得|E 4|=a,F B=a+c,=变，a2=h2+c2 1），-4,%）=4（%2 4,%），XQ =4（4 1）,九 二M，、/一/无2=4（1-/）,-ux2=8-4（2+/）,乂点P，M，N均在椭圆上,由v2 2工+九=1,10 5立+0=力,10 5且 犷 现 得叱 飞 一 丈，XQ+=一万（几 +1）.（2）2 2X0 j 0 _ 同理，由，10 5 且%=4丫2，得（“_ ）（X。+尤2）=_ 2正+迄 2 10,10 5/.x0+jux2=-1（/+1）.（3）联 立 得 彳玉JLIX2=（A+/）5.联 立 得2十 =一，*,*丸+为定值3-.