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1、小口演练篇 模拟试题助突破丁 子 土 杂1买高 考 数 学2022年78月，jg凋豳高善薇等婀甘肃省秦安县第二中学 罗文军一、选 择 题；本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已知集合 A=N=2-6工+8V O,为 线 段B G的 中 点，记/=b,彳 声=c,则AD=().A.3(b+c)oB=3|言*，则 c q n(c=B.我+白)oA.1,2)B.(4,5)C.(l,2 U r4,5 1D.(-1,2 J U E 4,5)2.若 z=3+2i(其 中 i 为
2、 虚 数 单 位)，则8+4i=()ozz-9A./T3 B./16-C./6 D./53.在 A H C 中，G 为 A B C 的 重 心，DC.-j-b+y c4.已 知 P C I,2)为 角 a 的终边上 一 点，则sin a(l+2sin a cos a)(、2(sin a-Feos a)A-y B-yc-f D.弓5.古 希 腊 著 名 数 学 家 阿 波 罗 尼 斯 发 现：且 满 足 M A=M Be(1)求 椭 圆 C 的 离 心 率；(2)试 判 断 是 否 为 定 位，并说明理由。21.(12分)已知函数RH)=等 三。证 明：当 x 0 时 V I,(2)sin 1+
3、sin *+sin*+r +sin 士V7T(二)选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 22、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按所做的 第 一 题 计 分。22.【选 修 4一4：坐标系与参数方程】(10分)在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，曲 线 C 的方程 为 H 2+/-2=0(,2 0)。以坐标原点为极 点，工 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系。(1)求 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 和 参 数 方程；(2)设 点D在 曲 线 C 上，曲 线 C 在 点 D处 的 切 线 与 直 线 C 3 =何+？平 行，试确
4、定点D的 坐 标。23.1 选 修 4一5：不等式选讲】(1 0 分)(1)证 明：=H-r-(其中 P p q P+Q0,q 0,7 n,e R)并指出等号成立的条件,、s in x ,c o s Z,j ,(2)求 函 数/(x)-+一及一(其中a ba,b为 非 零 实 数)的 最 小 值。(责 任 编 辑 王 福 华)20演 练 篇 模 拟 试 题 助 突 破岸 去 注 夕 瞭 高 考 数 学2022年78月J才 上 为 五 丁 J平 面 内 到 两 个 定 点 的 距 离 之 比 为 定 值 4。且入*1）的 点 的 轨 迹 是 圆，此 圆 被 称 为“阿波 罗 尼 斯 圆”。在 平
5、 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已知点 动点 P 满足|P A|=笈|P B|,记 点P的轨迹为曲线E,若 直 线,=工与 曲 线 E 交 于 M,N两 点，则|MN|=（）.A.3/2 B.2 /3C.等 D./2 26.攒 尖 是 我 国 古 代 建 筑 中 屋 顶 的 一 种 结构 形 式，通 常 有 圆 形 攒 尖、三 角 攒 尖、四角攒尖、八 角 攒 尖，多 见 于 亭 阁 式 建 筑、园 林 建 筑。下面以四角攒尖为例，如 图 1,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥（图 2）,已知该正四棱锥的底面边长为4米，侧 棱 长 为 2/5 米，则该正四棱锥的外接球的表面积为（图1
6、图2AI O OK 2 5 7r-B-T5 07r l O O nC 工 D.丁7.将 函 数y=/3 s i n 2x c o s 2x 的图像先 向 左 平 移 左 个 单 位，再 向 下 平 移 1 个 单 位，5则 平 移 后 的 图 像 的 对 称 中 心 为（）oA.傅,0）骁 W Z）B .（.+当，-1）柒 Z）C.修,一（*Z）D.（.+薮，o）ae z）8.往 正三 角 形 内 随 机 放 入 m 个 点，恰有n个 点 落 入 正 三 角 形 的 内 切 圆 内，则 n 的近似 值 为（）。4 /3 n ZnA.-B.-m m3 /3 n 2 /3 nm m9.已知函数是奇
7、函数，且 函 数/（N一2）是 偶 函 数，当 0 V x V 2时，f（z）=l o g 3+2,则 f 管）=（）.A.1 B.2C.1 D.2v2 储10.已 知 椭 圆。：方+庐=1（.6 0）的 上 焦 点 和 下 焦 点 分 别 为 F-F 2,离 心 率 为e=，过 F,的 直 线 交 椭 圆 C 于N 两点，且 M NF?的 周 长 为 4 /3 ,A为 椭 圆 C的 右 顶 点，F 为 椭 圆 C 上 一 点，则|AP I的最大 值 为（）._ 3 2A./2 B.-C.3 D./311.已 知 数 列 a.满 足。”+1=丁 匚，且的=，记 数 列 a“的 前”项 和 为
8、S,则S?02 =（）OA.1 010 B.1 012 2 02 3 -2 02 1C 丁 D.丁12.已知函数/（J：）=I n N,g（N）=3 rr,/（TH）=g（九），则？nzi 的最 小 值 为（）。二、填 空 题：本 大 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 2 0 分。13.设 函 数f （工）=v1 一4 工-,rr 0,a b21演练篇模拟试题助突破高 考 数 学 2022年 78 月中孝生去理化b 0)的 离 心 率 为 e=4 ，则 双 曲 线 C 的渐近4线 方 程 为 _ _ _ _1 6.在 长 方 体 A B C D-A.B.C.D,中，AB=/5,A D =
9、1,A A=傍，E 为 CCi 的中点，则 异 面 直 线 A E 与 C D 所 成 角 的 正 切 值为_ _ _ _.三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 172 1 题为必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。(一)必 考 题：共 6 0 分。17.(12 分)在 A A BC 中，内角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,6csin A=2sin C.现 有 以 下 两 个 条 件：a 2+&z-c Z=/3 a 6；
10、csin A从 这 两 个 条 件，一ru n。一o n”一U M Wo.ois*U.UMI 0 1)05中 任 选 一 个，求 4 A B C 的 面 积。18.(1 2 分)如 图 3,在 直 三棱 柱 A B C-A iB iG 中，NACB=90,CA=CB=AAi=2,M,N 分 别 是 A：B 与 C G 的 中 点，G 为A B N 的 重 心。(1)求 证：M G J_平 面 A B N；图3(2)求 二 面 角 BA N-B 的 正 弦 值。19.(1 2 分)某 中 学 组 织 了“迎 新 杯”知识竞 赛，抽 取 1 2 0 名 考 生 的 成 绩(单 位：分)按9 5,1
11、 0 5),105,1 1 5),1 1 1 5,125),125,135),1135,145口 分 成 5 组，制成 频 率 分 布 直 方图，如 图 4 所 示。图4n(1)估 计 这 1 2 0 名 考 生 的 平 均 成 绩 及 方差(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作代 表)。(2)由 直 方 图 可 认 为 考 生 成 绩 Z 服从正态分布，/)，其 中林 分 别 取考生的平均 成 绩 和 考 生 成 绩 的 方 差 1,利 用 该 正 态分 布，求 P(109.55V Z V 133.45).附：/142.75=1 1.9 5,若 ZN(，/),则
12、 P(/zaZ Z b 0)的 左 焦 点 和 右 焦 点，a bA),A2为 椭 圆 C 的 左 顶 点 和 右 顶 点，P 为椭圆 C 上 异 于 A-A,的 一 点，直 线 F A,与直4线 F A?的斜率 之 积 为 一,2?玛 玛 的周长为 2(3+/5).(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程。(2)若 过 点 F2的 直 线 I 交 y 轴 于 点 M,直 线 I 与 椭 圆 C 交 于 N,P 两 点，且 M N=入时，存=,吟，当 直 线 Z 的 倾 斜 角 变 换时，探 究 2+t 的 值 是 否 为 定 值。若 是，求出A +t 的 值；若 不 是，请 说 明 理 由。
13、21.(1 2 分)已 知 函 数/(x)=ln 工+-a C aC R)。(1)求 函 数”工)的极值；(2)若 函 数、=/(工)的 图 像 与 直 线 y=m 交于 和 B(z 2，a)两 点，且 y iV=2,证 明 (红 产)0.(二)选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 22、2 3 题中任选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做的第一艇计分.22.修 修 4 4：坐标系与参数方程】(10分)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以 坐 标 原 点 为 极点，工 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系。设/JE=5cos 0,曲 线 C 的 参 数
14、 方 程 为(6 为参6 =3sin 0数)，直 线 I的 极 坐 标 方 程 为 4pcos 0-5Psin 0+40=0。(1)写 出 曲 线 C 的 普 通 方 程 和 直 线 I 的直 角 坐 标 方 程,(2)求 曲 线 C 上 的 点 到 直 线 I 的最小距离 和 最 大 距 离。2 3.1选 修 4 5：不等式选讲】(1 0 分)设函数/(x)=|x 1 1 +|x+2|。(1)求 不 等 式 八 )4 的 解 集；(2)设 a,b,c R 一 函 数/(公 的最小值为 且，+2+上=m，求 证：a+2 6+3 c)3。a 2b 3c(责任 编 辑 王 福 华)22参考答案与提
15、示中孝生去理化高考数学 2 0 2 2 7 82022年高考数学模拟试题（1.C 2.D 3.B其 内 切 圆 的 半 径 为 厂 由 几 何 概 型 随 机o4.A提 示，因 为t an a=?=2,所 以s i n a(l +2 s i n a c os a)1 z.-TY：-;-T-=-z-s i n a(s i n a+Z Cs i n a 十c os a)2模 拟 的 知 识 可 得,S内 切 S正 三 角 影1 s i n2a+s i n a c os a 1c os a)=于/-s i.n 2 a 十I -c-o-s 2-a-=V,-t an2 a H-t an a 1 22 b
16、 2 3t an2a H-1 2 2?+l 5 5.D 提 示：设F(N,y),由 题 设 可 得，/(x +l)24-y2=/2 /(i-2)2+y 2 ,整 理 可得 曲 线E的 方 程 为(=-5)2+/=1 8,圆心(5,0)到 直 线1 y =0的 距 离 为d=I R n I B 万10 UI 1_,由 弦 长 公 式 可 得I MN I/r+(-i)2 2=2/r!a2=2 /1 8 y=顾。6.A 提 示：记 该 正 四 棱 锥 的 高 为 八,其外接球的半径为 R,则 h=/p A2_(AB l=/(2 /5)2-(2 /2)22 /3 ,因 为6 火)2 +(等AB?=R。
17、所 以（2 /3 R）2+（2 笈=R2,解 得 =皆，故该 正 四 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为S=4KR2=5 区）2 1 00立4 nxe -3-7.B 提 示：因为 y=3 s in 2工-c o s 2N=2 s in（2H-?）,先 向 左 平 移 左 个 单 位 得 到y =2 s in（z +年）一 套=2 c o s 2，再 向 下平 移1个 单 位 得 到y =2 c o s 2 2一1。令2N=，得 n =g 十，其 中 女 Z,所 以y=2 c o s 2N 1 的对称中心为（Z+T,-I）aez）-8.C提 示 设 该 正 三 角 形 的 边 长 为a,
18、*2所以71=-3-3-nm9.A 提 示：因 为 z-2）=f（一工一2）=f（z +2）,所 以 f （了）=f +4）,所以/（工）=/（工+8）,所以f（豹=/(8+T)=/(T)=logj 7+2=1。10.B 提 示：由 题 设 条 件 可 得，C _ 代a 3 la=自Y L 解 得 所 以 椭 圆C的 方4 a =4 Z3 9 I d =1,I-/7,程 为q+=1,则设P（H。，八），则O A P =/Uo-l)2+y o =/(Xo I)2+3(1 xj)=/2(z o+1)+.。因 为 一10卬 a ,e e e时，无(m)0。所 以“切).=九()=-1 nI n 1=
19、1 oe e 3e二、填 空 题13-T1411 4.-提 示：由 题 设 条 件 可 得，4sin A(等cos C H-sin C)，所 以g sin Asin C=sin Acos C o 因为 O VA VJT,所 以sin A 0,所以 tan C=因为 0 V CV，所 以 C=会所 以 S ABC=y absin C =1 乂，乂 倍 _ 8-X 2 X-oat+2/=-7)解 得ai+10 d=1 1,_23 29所 以S”=.n(n 1),23.n(n 1)9-1-a=:n H-=2 2 2 49(101引 l 而10 201 e、，u-1 0 1=d”9Q Co因为与下了最
20、接近的Z o o 1 o18.(1)以C为 坐 标 原 点CA,CB,CG所 在 直 线 分 别 为z轴，)轴，z轴，建 立 如 图1所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系C-jcyzo由 已 知 可 得，C(0,0,0),A(2,0,0)，旧(0,2,0),G (0,0,2),A1(2,0,2),B1(0,2,2)e由 中 点 坐 标 公 式 可 得，正 整 数 为6,所 以S”的 最 小 值 为S6-o15.y=-1-x 提 示：因 为 =G由 重 心 坐 标 公 式 可 得，4T)。双 曲 线C的 渐 近 线 方 程 为,=土木工。所以破=(一4 ,一：J J23),A B =所 以M
21、GA N =(得X(2)+16.玉-提 示：连 接B E,因 为A BCD,所 以 异 面 宜 线AE与CD 所 成 角 为N B A E。因 为 BE=/B CJ+CE2=/倒、砌穿=年，所 以/6 B E 2/30-tanZ B A E =福=后=10 三、解答 题17.由 正 弦 定 理 及 已 知 条 件 可 得，ab=20若 选 条 件 ，由 余 弦 定 理 可 得，cos C=xo+(_f)X l=0；AS=(y)X(2)4-(y)X2+(-1 吆=二_ _所以 M G A N,M G A B,所 以 MG_L平 面A B N。(2)由(1)知，平 面A B N的 一 个 法 向
22、量为 丽 江=(一 高,_9_等)。设 平 面A B iN的 一 个 法 向 量 为n=(I,y,z)9 因 为 A B：=(2,2,2),B iN =(0,a2+bz-c2Zab/3 ab2ab于，所 以sin，所乙U一2,1),所 以以 SgBc=absin C=-1-X2X-=-o若 选 条 件 ，由 正 弦 定 理 可 得，sin C(n A BX=0,J.g,即 2卫+2*+2z=0,令)=1,得 力=-1,258参考答案与提示中考生弟理化高考 数 学&2 年 78 月一2,所以 n=(-l,l,-2)o4.j.一、MG n 2故 cos=-=c-=r-设 二 面 角A.-A B-N
23、的 大 小 为6,则sin 0=/l -cos2 /l-得)=-y-所 以 二 面 角B.-A N-B的 正 弦 值 为/5 y o19.(1)由 题 图 可 得 这120名 考 生 的 平 均成 绩 及 方 差 分 别 为7=100 X 0.1+U 0 X0.2+120X 0.3+130X 0.25+140X 0.15=121.5,i2=(100 121.5)2 X 0.1+(110 121.5)2XO.2+(120 121.5)2 X 0.3+(130 121.5)2 X 0.25+(140 121.5)2 X 0.15=142.75.(2)由(1)可 知，=3=121.5,a =/142
24、.75=11.9 5,所 以 考 生 成 绩 Z NC121.5,11.952)。故 P(M-OV Z V“+T)=P(1 0 9.5 5?8后本9/+J4 5/3694 2 +49221.（1）函 数”工）的 定 义 域 为（0,+o）,当 O V z V l 时，f （N）V（h 当 X 1 时，/7 x）0o所 以 函 数f （力）的 单 调 递 减 区 间 为（0,1）,单 调 递 增 区 间 为（1,+8）。所 以f （土）极 小 值=f （l）=l-a,无 极 大值。(2)要 证f (+x,2)%+=22XI+x2-2-1T 0,即 证-1。由 题 设/(X1)=f(Z2)=m，可
25、 得I n斗1 1-a=m =In x2-a oN1工2e“工】N2(ln 孙 一In N)_n所 以-=1,即 证1 2-X x2 X X2(In x2-In%1)2 X2-N1因为 OVNiVHz，所 以乙只 需 证X2 XiIn x2-In Jr】叵一叵,/皿/*2 /x1X2，即 证 In 一 V1 X i59中学生弟理化萼慧与鬣年7 T月一、选 择 题1.A 提 示：由 已 知 可 得，集 合 A =1,0,集合 13=1,2 ,所 以 4 0 2 =1 。o 地一 m u 2(3+i)2(3+i)2.B 提 不：因为 z=_2，三2=葭 3+1)=-1+3所以 z =z =-1/(
26、-1)2-F32=/T0e3.D提 示：根 据 题 意，命 题 p：V x R,2工+1 1 0,所 以 p 是 真 命 题；命 题 q C r)=c o s(2工 十 给 卜 其 最 小 正 周 期 为 竽，所 以 q 是 假 命 题。故。A(r q)是 真 命CJ令/看=1),设 g()=In i2-+1 9 I7 则 g(E)=-1 亍所 以 g Q)在(1,+8)上 单 调 递 减，所 以 g(f)V g(l)=0,故 In 产 一 成 立。工1 I X1 I所 以，(卫 拦)0.Xy,=5cos 0,得 曲 线 C 的 普 通3sin 0,2 2方 程 为 表 十 方 T。将 pco
27、s 9=1 ,ps i n ,代 入 直 线 I 的极 坐 标 方 程，可 得 直 线 I 的 直 角 坐 标 方 程 为4N 5y+40=0。(2)在 曲 线 C：言 十 卷=1 上 任 取 一 点尸(5cos0,3sin 0),则 点 P 到 直 线 Z 的 距 榭 为_|20cos 0 15sin+40|d=-z-=/4T125cos(6+9)+40|行 1 4-其中 cos G P =sin p =/41-5，35当 cos(G+w)=-1 时，de s -5/5 A T_ 15 /41=1 -；当 COS(9+9J)=1 时,H m,=I 40段5|=/4165/4T41 所 以 曲
28、 线 C 上 的 点 到 直 线 Z 的 最 大 距 离皿 65/IT 315/41为 7,戢力、距 离 为 TZ o41 41|2N-1,N -2,23.=，3,2 V z 1。当 nW 2 时，由/*(力)2 4 彳导一2x 1 2 4,所 以 力&-当 一 2 V*4 不 成 立，舍 去；当 x l 时，由/(x)4 得 2x+l 4,所 以 1 5。综 上 可 得，不 等 式/(x)4 的 解 集 为/5 3 1产 nW或)o(2)由(1)知，八%)最 小 值 为 m=3,所以工+2+工=3a 2b 3c 所以 3(a +2b+3c)=(a+26+3 c)(-H 上+：)(汗 白+/2b 3-rV a 2b 3c/G /2b/3F =3?,所以 a+2 6 +3 c 3。(责 任 编 辑 王 福 华)60