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1、2021年高考数学模拟训练卷(64)一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)1 .己知集合用=用/4 4,N=-2,3 ,则MnN=()A.0 B.-2 C.3 D.-2,3 2 .下列函数中定义域、值域都是R 的为()A.y =3X B.y =】o g/C.y =D.y =t an x3 .已知s i n (3 a)c o s a=则c o s(2 a+9=()A 麟 B.C.J D.g4.己知抛物线M=2 p y(p 0)的焦点为F,P(Xo,2)为抛物线上一点，A,B 分别为其准线上的两点，且 4B|=1,若AB尸的面积为3,则|PF|=()A.5 B.6 C.7 D.85 .
2、执行如图所示的程序框图，若输入上的值为9,则输出的结果5 为()开始A.1 0 9B.48输入左C.1 9D.66 .某几何体的三视图如图所示，则其表面积是()3A.367r+6B.567r+6C.36T T+10D.56n+107.已知圆M：(x+V7)2+y2=6 4,定点N(b,0),点尸为圆M 上的动点，点。在 NP上，点 G在线段M P上，且 满 足 沛=2 而，G Q NP=0 9则点G 的轨迹方程是()A4 +?=I BV+=Ic 会X8.如图，已知正三棱柱ABC-的各条棱长都相等，则异面直线4B 和41c所成角的余弦值为()9.在力BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
3、,已知(a+b c)(a+b+c)=3 a b,且c=4,则 ABC面积的最大值为()A.8V3 B.4V3 C.2V3 D.V310.己知数列 0 的前项和Sn=：n(n+l),n e N*,b“=3a+(-1)时1斯，则数歹此砥 的前2n+1项和为()11.“十六两秤”是我国曾经使用非常广泛的一种称重衡器.秤杆上1两 1星，每斤共计16颗星,分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿.买卖交易时，短 1两“减福”、少 2 两“亏禄”、缺 3两“折寿”，商家以“货真价实、童叟无欺”自 律.“十六两秤”的记数采用的是十六进制，即“逢十六进一”，10以及10以上的数字分别用A,B,C,D,E,尸表示，如
4、A O I.)表示十六进制数，将它转换成十进制的形式是1 0 X 1 62+0 x 1 61+1 X 1 6 =2 5 6 1.那么将十六进制数吗 一 ”转换成十进制的形式是()A.1 51 7-2 B.1 6 1 6-2 C.1 61 6-1 D.1 51 5-12 21 2 .已知+=1 表示焦点在y 轴上椭圆，则根的取值范围为()7711 2 171A.(1,2)B.(1,|)C.(1,+8)D.(|,2)二、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .已知位=(2,1),B=(x,2)，且方+B与方一 2 5 平行，则 x 等于1 4.已知函数/(x)=s i n(a)x +w
5、)(3 0,0 勿 b 0)过点4(0,1),且离心率为冬(1)求椭圆C的方程；(2)过4作斜率分别为自，心的两条直线，分别交椭圆于点M，N,且心+%=2,证明：直线MN过定点.2 1 .已知函数/(x)=x l nx(l)求函数在点(e j(e)处的切线方程;(2)设实数a /，求函数在 a,2 a 上的最小值；2 2 .在直角坐标系x Oy中，直线小x =2,曲线C：黑,丁。为参数).以。为极点，x轴的一 乙 十 乙siTtcp非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(3谭).(1)求直线，1和曲线c的极坐标方程：(2)在极坐标系中，已知射线%：。=a(0 a 今与，C的公共点分别为4,
6、B,且|0川 0B =8 V 3.求 M O B的面积.23 .已知/(久)=|久 一2a|+|2%+a|,g(%)=2%+3.(1)当a=l时，求不等式/(%)V 4的解集；(2)若0 Q 3,且当工 时，/(%)V g(x)恒成立，求的取值范围.【答案与解析】1.答案：B解析：解：M=x -2 x 2 ,且 可=-2,3 ；M C N =-2.故选：B.容易求出集合M=x|-2 x 9,n=4,S=2 x l+4=6不满足条件葭 9,n=7,5=2 x 6 +7=19不满足条件n 9,n=10,S=2 x 19+10=48故选B.6.答案：A解析：本题考查几何体的三视图及几何体体积的求法，
7、属于中档题.由几何体的三视图得到原几何体的形状是关键.解：原几何体由一个圆锥和一个长方体组成，圆锥的底面半径为4,高为3,母线长为5,长方体的长为2,宽为1,高 为 1,S=7 rx 4 x 5 +7rx4!+lx l x 2+l x 2 x 2 =36开 +6.故选A.7.答案：A解析：解：/；(x+V7)2+y2=6 4,定点N(V 7,0),点 P 为圆M 上的动点，M(-V7,0),PM=8,点。在 NP上，点G在线段MP上，且 满 足 沛=2 而，GQ-/VP=0.Q为 PN 的中点且G Q L P N,二GQ为 PN的中垂线，PG=|G/V|,.-.GN+GM=MP=8,故 G 点
8、的轨迹是以M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长a=4,半焦距c=夕，短半轴长 b=V 1 6-7 =3，点G 的轨迹方程是巨+亡=1.16 9故选：A.由已知得。为 PN的中点且GQ1PN,GN+GM=MP=8,从而得到G 点的轨迹是以M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长a=4,半焦距c=V7，由此能求出点G 的轨迹方程.本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义和性质的合理运用.8.答案：A解析:本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，以A 为原点，在平面A8C内过A 作 AC的垂线为x 轴，以AC为y 轴，以 力 4 为
9、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB】和&C所成的角的余弦值大小.解：以A 为原点，在平面ABC内过A 作 AC的垂线为x 轴，以AC为 y 轴，以441为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱4BC-的各条棱长为2,则4(0,0,0),当(,2),4(0,0,2),C(0,2,0),彳瓦=(6,1,2),砧=(0,2,-2),设异面直线AB】和&C所成的角的余弦值为。,则 cos。瓯AB卜l-A砧iC|l =_ 而|-2而|=_?1 异面直线A B】和&C所成的角的余弦值大小为工故选A.9.答案：B解析：本题考查三角形的余弦定理和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档
10、题.利用余弦定理求解C,根据基本不等式即可求解 4 B C面积的最大值.解：由(a +b c)(a +b +c)=3 a b,可得 a?+b2 c2=ab,由余弦定理得c osC=H+FjU=i.2ab 2V 0 C 2ab 1 6(当且仅当a =b时，取等号)，A 16 ab.A B C面积S =-absinC 2时，an=Sn-Sn_ j =|n(n+1)-|(n-l)n=n.故斯=n.bn=3a +(-I)-%=3n+(-I)”-。,则数列 4的前2 M +1 项和S 2 n+1 =(31+3 2 +32 n+1)+1 -2 +3 -4 +-+(2 n-1)-2 n+(2 n+1)3(l
11、-32 n+1)f、32n+2-1=-+(n+1)=-+n.故选：A.由数列的前项和求出数列 即 的通项公式，代入勾=3 而+(-1 尸-%丸，整理后分组，然后利用等比数列的前八项和得答案.本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前项和，是中档题.11.答案：C解析：本题主要考查进制的转化，属于基础题.解：由题意得!1 5 x 1 6 1 5 +1 5 x 1 61 4+1 5 x 1 61 3+.+1 5 x 1 6 =乱 二=I O1-161 61 6-1故选C.12.答案：B解析：解：方 程 工+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，7711 2 m可得 2-f-1,解得1V
12、m x1-y2-x2-y1=0,即(2 +x)(3)=3(2-2 x),解得x=4.故答案为4.先求出五+1,为 一 的坐标，然后利用两个向量平行的坐标关系即打丫 2 尤 2丫 1 =0 即可解得本题主要考查了平行向量与共线向量的坐标运算，属于基础题.14.答案：?解析：本题考查了y=sin(6)x+尹)的图象和性质，属于基础题.由题f(0)=及图象特征，可得解：由题意知，/(%)=sin(3%+9),由图f(0)=sin(p=0 V 9 V根据图象特征，可得3 =?.O故答案为：O15.答案：2解析：本题考查逻辑推理的有关知识，属于中档题.解：甲要获胜，甲先摸2 个，这样还剩4 个，接下来乙
13、只能摸1个，下面甲摸一个，乙在摸一个，甲最后摸一个，甲一定胜，故答案为2.16.答案：1+e-解析：由题意可得/(X)=-ez-1-xex-1=-ez-1(x+1),令f(X)-1,令(x)0解得x 0),则:C Z 4 =2a2+，a专=，:-arq3=2arq+q2,alq4=口力，二 a1=2,q=2,故 an=2n.(n)an-l o g2(an)=n-2n,Tn=l，2 +2*2 2+2 7 =l-2z+2-23+-+n-2n+1,两式相减，整理可得一7；=(n -l)2 +i -2,Tn=(n-l)2n+1+2.解析：（I）利用方程组，即可求 a.的通项公式;（口）利用错位相减法，
14、求 斯 l o g 2（an）的前项和本题考查等比数列的通项，考查数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题.18.答案：证明：因为;1 =|,所以CE=：C S,在线段CO上取一点尸使CF二 子 连 接 所 出 凡 则 且。？=1.因为4B =1,A B/CD,/.A D C=9 0 ,所 以 四 边 形 为 矩 形，所以C D _L B F.又S A，平面 A B CD,A A D C=9 0,所以S A 1 CD,A D 1 CD.因为a z)n s a =4,所以C D 1 平面S 4D,所以C D _L S D,从而CD 1 E F.因为B F n E F =F,所以C 0 1 平面2
15、 E F.又B E u 平面B E F,所以C D J.B E.解：(2)由题设得%_8CD=?ABCD S 4=：X G x C D x A D)X S 4=2,又因为S B =J SA2+A B2=V 5，B D =y/A B2+A D2=后，SD =J SA2+A D2=2五,所以SASBD=I x S D x S B?一 S D)2 =巫,设点C到平面S B D的距离为h,则由/_BCD=%-s 8。得八=V 6,因为C E =J C S,所以点E到平面S B D的距离为工=辿.3 3 3解析：（1）在线段 8 上取一点F使C F =|cn,连接E F,B F,则E F S。且D F
16、=1,四边形A B F。为矩形，CD 1 B F.推导出S 4 1 CD,A D 1 C D.从而C D 1 平面S A D,进而C D 1 E F.由此能证明C D 1 平面 B E F.从而 C O 1 B E.（2）求 出/_BCD=2,SA S B D=i X S O xSB 2 一 G s D）2=粕,设点C到平面S 3。的距离为/i,则由VS_B C D=VJ S B D得h=述，由此能求出点E到平面S B D的距离.本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.19.答案：解：（1
17、）产品4 的产量为40 0,从中抽取样本容量为1 0,故 按 1：40 的比例抽取，同理产品B的产量为1 0 0 0,按 1：40 的比例抽取，从中抽取样本容量为2 5,所以产品C应抽取件数为1 5,故白=，解得x=3 6 0；40 240+X（2）用分层抽样方法在C产品中抽取一个容量为5的样本，则 M型号有2 件，N型号有3 件，从中任取两件所有的情况有:（M i，M 2）,（N ，M）,（N D，（N 2，M）,（MI，N J,（M L（”2，NI）,（M2,/V2）,（M 2，M）,共 1 0 种.故至少有一件是 M型号的有（M l，“2），（M 1，N 2）,（M 2，M）,（”2，牝
18、），（“2，必），共有7 种，所以至少有一件是M型号的概率P i（3）9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 这 8 个数据的平均数为 9,则与9 差的绝对值超过0.5 的有9.6,8.2,所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5 的概率P 2 =1 =;.解析：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题.（1）先求出A产品的抽样比例为1：4 0,可得产品8的抽样比例也是1：40 的比例抽取，故从B产品中抽取样本容量为2 5,可得产品C应抽取件数为1 5,再根据抽样比例为白求得x 的值；40（2）用分层抽样方法
19、在C产品中抽取一个容量为5的样本，则 M型号有2 件，N型号有3 件，用列举法求得从中任取两件所有的情况有共1 0 种，至少有一件是“型号的有7 种，从而至少有一件是M型号的概率的值；（3）求出这8个数据的平均数为9,其中与9 差的绝对值超过0.5 的有2 个，从而求得与样本平均数之差的绝对值超过0.5 的概率.20.答案：解：椭 圆 C：+，=l（a b 0）过点4（0,1）,可得b =1,且离心率为（=.a2-l =c2,解得a =2,所求椭圆方程为：9+y2 =i.(5 分)(2)当直线MN斜率不存在时，设直线方程为 =3则N(,s),ki=当 也=岑，则/q +2 =丫 +当=三=2,
20、t =-1.(7分)当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=kx+b,与椭圆方程联立：产？+户：4,ly=kx+b得(442 +l)%2+8kbx+4b2-4 =0,(xr+x2=设MQL%),N Q 2 J 2)，有(小 2(*).(10 分)2%2=时则 k+k=y1 T +2-1 _、6 2+巧乃一(巧+%2)_ 2kM0 +(匕-1)(%1+第2)12%!X2 xlx2 xlx2将*式代入化简可得:嗯普=2,即(k-b l)(b 1)=0,.k =b +l.(13分)直线 MN：y =(b +l)x +b =b(x +l)+x,恒过定点(-1,-1).(15分)解析：(1)利用椭圆C：
21、5 +=l(a b 0)过点4(0,1),以及离心率为当求出a,b,即可得到椭圆方程.(2)当直线MN斜率不存在时，设直线方程为久=3则N(t,s),然后求解t =-l.当直线斜率存在时，设直线方程为：y=kx+b,与椭圆方程联立：产+户：4,得(41+1)/+(y=kx+b8k b x +4 b 2-4 =0,设Mg%),W(x2,y2),利用韦达定理以及的+七=2,得到。与 b的关系,然后求解直线 MN：y =(b +l)x +b =b(x +l)+x,恒过定点(一1,一1).本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线系方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
22、平和分析推理计算能力.21.答案:解:团 得定义域为(0,+8)/(x)=li u-+1 又 f (e)=2故函数y =f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y =2(%-e)+e 即y =2x-e(2)f(x)=lu x +1,令/(x)=0 得x =p当x e(0,J 时f (x)0,单调递增.当nN 3时，在 a,2a 单调递增，f(x)min=/(a)=alna,当?。3时，得a?/3 tana=V 3,v 0 a -2,a=-3,.0B =2 V 3,0M =3,乙 M OB =g所以 SAMOB=0M 0B smM 0B=-x3x23x-=.2 2 2即 M O B的面积为延.2
23、解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题.利用互化公式x =pcosd,y=p s i n。可得；(2)联立极坐标方程，并利用极径的几何意义，三角形面积公式可得.23.答案：解：(1)当a =l时，不等式f(x)4即为氏一2|+|2%+1|4,当x一:时，不等式化为一(x 2)(2 x +1)4,解得一1 x 一；当一：W x 2时，不等式化为一(x-2)+(2x+1)4,解得一;W x 2 时，不 等 式 化 为 2)+(2久+1)4,无解；综上，不等式/(%)4的解集为%|-1 V x 1.当 0 V a V 3,且当工 一泉 1)时，/(%)=|x-2a 4-2%+a,/(x)g(%)恒 成 立 即 为-2a|0,所以 a 3 x 2 a 3 a在 G 一1)上恒成立，即 3Q 3%3 +a,所以，只需3 a-3 一会 解得a所以a 的取值范围为(0$.解析：本题考查函数的恒成立，绝对值函数以及分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.(1)分类讨论，去掉绝对值符号，即可求出不等式的解集；(2)转化f (x)g(x)为3 a-3 x 3 +a,然后求解a 的范围.