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1、2021年高考数学模拟训练卷(62)一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)1 .己知集合4 =0,1,2,3 ,8 =1,3,4 ,则4n B的子集个数为()A.2 B.3 C.4 D.1 62 .已知复数2 =。一1 +9 2-2)1 在复平面上对应的点落在第四象限，则实数。的取值范围是()A.(-V 2,l)B.(1,V 2)C.1,V 2 D.(-V 2,V 2)3 .若等比数列 即 ,前项和,且a 2 a 3 =2%,：为a 4 与2 a 7 的等差中项，则=()A.2 9 B.3 0 C.3 1 D.3 34 .函数y=1 翼 s in(2 7 r x +：)的单调递减区
2、间是()A.一 扛 小 +灯(ke z)B-(T+*+k(ke Z)C.|+/c,|+fc(/c e z)D.1 +/C,|+/C(fc e z)5 .若尸为抛物线C：y2 =4 x 上一点，尸是抛物线的焦点，点 A的坐标(3,0),则当|P 川最小时，直线尸产的方程为()A.x 2 y 3 =0 B,x 2y-1 =0 C.x =3 D.x =16 .如图所示，半径为1 的圆。是正方形MNPQ 的内切圆.将一颗豆子随机地扔到正方形MN P Q内，用 A表示事件“豆子落在扇形0EF(阴影部分)内”,则P(4)=()C弋D-i7.已知3 0,在函数y=2 s 比(3%+。)与y=2 c os(3
3、%+0)的图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为2 百，则3=()人 c-lD.18 .设 尸1，尸2是双曲线。圣一，=1缶 0/0)的左、右焦点，。是坐标原点.过户2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|P&|=遍|02|,则C的离心率为()A.V5 B.2 C.V3 D.V29 .周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断:甲不在看书，也不在写信：乙不在写信，也不在听音乐；如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是()A.玩游戏 B.
4、写信 C.听音乐10.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是()fflMM过点P作该正方体的截面，当截面D,更C.4D迪31 1 .已知正方体跖 一 公 九 的 劣 的棱长为2,点P在棱A。上，平行于平面/AC且面积为旧时，线段A P的长为()A.V2 B.1 C.V31 2 .已知函数f(x)满足x/(x)f(x)=x e*且/(-1)=3 则x 51 4.某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，工和y须 满 足 约 束 条 件y W2则该校招聘的教Q V 6师最多是 名.1 5 .已知曰|=1,a b=2,则向量（2己一-）7=.1 6 .各项都为正数的数列 即，其前项的和为%,且=
5、（历；+病）2（n2 2）,若以=2+*“n言，且数列%的前 项的和为，则=三、解 答 题（本大题共7小题，共82.0分）1 7.如图，在四边形 A B C。中，4B =3,B C =7 CD=1 4,BD=7,乙 BAD=1 2 0 .（1）求 边 的 长；（2）求AABC的面积.1 8.如图，三棱柱A B C -&B 1 G的所有棱长都是2,441 1平面A B C,D,E分别是A C,C C 1的中点.（1）求证：4后1平面41 8。；(2)求二面角。-B E-a的余弦值.1 9.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了 30名男生和20名女生的该学科成
6、绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分).5796425412542041o410456789(I )。)请根据图示，将2 x 2列联表补充完整;优分非优分总计男生女生总计50(ii)据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？(n)将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分的人数X的分布列与数学期望.参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a4-h+c+d).参考数据:P(K2 ko)0.1000.0500.0250.0100.0050
7、.001ko2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.已知椭圆C：+3=l(a b 0)的两个焦点为Fi，尸 2,离 心 率 为 争 点 A，B 在椭圆上，耳在线段AB上，且力8尸 2的周长等于4 b.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过圆O：/+y 2 =4上任意一点尸作椭圆C 的 两 条 切 线 和 PN与圆。交于点M,N,求 PMN面积的最大值.21.已知a e R,求函数/(%)=?+In x-l 在区间(0,e 上的最小值.22.已知曲线C 的极坐标方程是p-6 c o s 8 +2 s in e+：=0,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，
8、建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线/经过点P(3,3),倾斜角a=p(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线/的参数方程；(2)设/与曲线C 相交于A,B两 点,求|4B|的值.23.已知函数f(x)=|x+1|+1 一2|.(1)求不等式/Q)5的解集；(2)若不等式/(x)0,则 2 k;r 2nx+0的增区间即可.此时 2/OT 2 7 r x+7 +2kM lc eZ),得一L +k 0,在函数y =2 s i n(o)x +。)与y =2 c o s(o x +。)的图象的交点中，距离最短的两个点间的距离为2 6=|(-)2 +(2 V 2)2,故选B.8.答案：C解析
9、：本题考查双曲线的几何性质，联立方程求出P的坐标是解题的关键.解：双曲线C：2-，=1 的一条渐近线方程为y =gx,F 2 P 的方程为y =-(x-c),联立解得P(9,?),所以|O P|=a,PF2=J(土+c)2 +(g)2=V c2+3 a2PFr =V 6|O P|,所以 6 a2 =c2+3a2,c2=3a2,e=V 3,故选C.9.答案：D解析：本题考查合情推理，属于基础题.关键是通过矛盾进行排除.解：由知甲在听音乐或玩游戏，由知丙在听音乐或玩游戏，由知乙在看书或玩游戏，故甲和丙只能在听音乐和玩游戏中选择，所以乙只能在看书，则丁在写信，所以甲在听音乐，则丙在玩游戏，乙在看书，
10、丁在写信.或甲在玩游戏，则丙在听音乐，乙在看书，丁在写信，故选D.10.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P-4 B C 0,如图所示;则该四棱锥的高为2,底面积为1 x 2=2,所以该四棱锥的体积是V=x 2 X 2=故选：B.根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积.本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题.11.答案：A解析：本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查学生空间想象能力，属中档题.P M D B i，P N U C B&A B M,交于N,则截面PMN为平行于平面当。道 的一个截，再
11、利用三角形面积公式求解面积，可得线段AP的长.解：设4P=/L4D,4 0,分别作P N C B 交 A B于M,交于N,则 AM=4V=144,此时截面PMN为正方体中过点P 的一个截面，且平行于平面BiDiC,如图所示：由4 PMN为边长为2 a；1的等边三角形，则5 “=乎(2近/1)2=百，解得4=四，2故线段4P 的长为在.故选A.12.答案：C解析：根 据 题 意 得/(乃=空/丝=6，+竽，构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，然后求解函数的极值即可.本题考查函数的导数的应用，函数的单调性与函数的极值的关系，考查计算能力.解：当x 0,g(%)单调递增，故当 V 0 时，g(x
12、)g(-l)=0,即当 V 0 时，/(%)展开式的通项，分别取r值求解计算.本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.14.答案:1 0-2 x y 5解析：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件x-y W 2 ,X 5由题意由于某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，且 x 和 y 须满足约束条件k-y W 2，又%则向量（2 1 一 石）2 a-b-b2=4-1 =3-故答案为3.16.答案:4n2+6n2n+l解析：解：由题意可得，Sn0Sn=(JSw-1+倔)2(n 2)yfn.=y/sn-l+即数列、匹 是 以 后 为 公
13、差 以 后=何为首项的等差数列-6=7 1 何 sn=n ax，:当几 2时，Qn=sn-sn_i=层-(n-I)?%=(2n-1)由当九=1时，适合上式“咏+工=吧+型 2=1+二+1 _ 工=2+2(二n an an+1 2n-l 2n+l 2n-l 2n+l k2n-l 2n+l,-7；=2n+2(l-1 +|-|+-I-T)=2+2(l-熹)n.4n=2n H-2n+l_ 4n2+6n-2n+l故答案为：生 理2n+l由题意可得，历=疝 二+何，结合等差数列的通项可求用，进而可求治,然后利用nN 2时,斯=Sn-S-i式可求即，然 后 代 入%=凿+优 后，利用裂项求和即可求解本题主要
14、考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，及数列的裂项求和，属于数列知识的综合应用17.答案：解：（1）在AABD中，由余弦定理，可得：B D2=A B2+A D2-2AB AD-cosl200,B|J：72=32+/ID2-2 x 3 x 710 x（-1）,解得：4D=5或一8（舍去），故 AO=5.（2）由已知,BC2+B D2=CD2,所以，Z.CBD=90,在ABD中，由余弦定理，得cos4ABD=力8 2+8。2-4。22ABBD32+72-52 _ 112X3X7-14所以 sin 乙4BC=sin（乙48。+90）=cos 乙48。=协所以 SM B C=-BC-
15、sin/ABC=1 x 3x 7 V 3x =芋.解析：（1）在 480中，由己知及余弦定理即可解得AD的值.（2）利用勾股定理可求NCB。90,利用余弦定理可求COSNAB。的值，利用诱导公式可求sin/ABC,进而利用三角形面积公式即可计算得解.本题主要考查了余弦定理，勾股定理，诱导公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题.18.答案：证明：（1）AB=BC=C 4,。是 AC 的中点，BO J.4C,v AA1 1 平面 ABC,u 平面A41clC,二 平面441GC _L平面A8C,又平面A41clec平面ABC=AC,8。u 平面ABC,BD
16、 J L 平面A 4 1 G C,又A E u 平面4 4 1 G C,BD _ L A E.又 在正方形A A i G C 中，D,E分别是A C,C C i 的中点,根据相似三角形，易得&D 1 A E.又A W C B D =D,BDu平面&B D,AE 1 平面4/0.解：(2)因为B D _ L 平面4 4 1 G C,根据题意，取&G中 点 凡 以 力 凡DA,D B 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,0(0,0,0),F(l,-l,0),B(0,0,V 3).当(2,0,遮)，丽=(0,0,DE=(1,-1,0).西=(2,0,0),西=(1,1,遮),设平面O 8 E 的一个
17、法向量为沅=(x,y,z),则偿柒 令“1,则行=(1,1,0),设平面B B i E 的一个法向量为记=(a 力，c),则 i 一 厂，令c =疗，则元=(0,3,百)设二面角D-BE-Bi的平面角为仇 观察可知。为钝角，,一、m n V6cos =,|m|-|n|4/.cosO=f故二面角D B E -B i 的余弦值为彳.解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(1)推导出B O J.4 C,从而平面4 4 心。_ L 平面A 8 C,进而B D 平面4&G C,BD 1 A E,再 求 出
18、 J LA E,由此能证明4 E 平面(2)取4G中 点 凡 以。尸，DA,D B 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角。一B E-B i 的余弦值.19.答案：解：(1)(。根据图示，将2x2列联表补充完整如下:(i t)/的观测值:优分非优分总计男生92130女生11920总计203050n(ad-bc)2 _ 50*(9x9-11x21)2 _?7 0 6(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-20 x30 x20 x30所以能在犯错误概率不超过1 0%的前提下认为该学科成绩与性别有关;(n)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此可将男女生成绩的优分频率/
19、=号=|视作概率;从高二年级中任意抽取3 名学生的该学科成绩中，优分人数X服从二项分布8(3,|),P(x=k)=c 其|)k(|)3 f=0,1,2,3,X的分布列为：数学期望E(X)=3 x|=3.X0123P2 71 2 5541 2 53 61 2 581 2 5解析：本题考查了2 x 2 列联表，考查二项分布和数学期望，独立性检验的应用，是一道中档题.(I)列出2x2列联表，计算片 的观测值，判断即可;(U)根据优分人数X服从二项分布8(3,|),求出X的分布列和E(x)即可.20.答案：解：(1)，.9 力 8 尸 2 的周长等于48，且出在边48上,.(BFi+FF2)+Q4&+
20、AF2)=4百，:.2Q+2。=4V3 即。=V3，又,e=-=,A c=V2a 3b=yja2 c2=1，椭 圆。的标准方程为：2 +y2=i；3 J(2)依题意,设P(&,y o),设过尸点的直线为y-y 0 =3(%0),记b=-k xQ+y0,整理得：y=kx+b,并代入椭圆方程，得：x2+3 k2/+6kbx+3b2 3 =0,令&=0,得9k2b2 -3b2-9k2b2+9fc24-3 =0,9k2-3 b2+3 =o,即3 k2-h2+l =0,又1 b=-k xQ+y0,3k2 -k2xl+2fcx0y0%+1=0,=3 yo 4-%o 3 0,./ct-k2=J?0-*0又:
21、以+据=4,即 据=4-XQ,kr-k2=-1,过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C 的两条切线均垂直，MN为圆。的直径，当 P 点为(0,2)时，APMN面积的最大，最 大 值 为 4 x 2 =4.解析：(1)通过椭圆定义及 ABF2的周长等于4 V可知a=百,利用e=9，可知c=企,通a 3过b=7a2 c2可知b=1,进而可得结论；(2)通过设P(xo，y。)及过尸点的直线为y-y o =k(x-a),并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0,计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点p 作椭圆c 的两条切线均垂直，进而计算可得结论.本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题
22、方法的积累，属于中档题.21.答案:解:尸(*)=_/+)=詈,a 4 0时,f(x)0,f(x)在(0,+8)递增,f(x)在(0,e 无最小值，0a 0,解得：x a,令(x)0,解得：0 x a,二函数/(x)在(0,a)递减，在(a,e 递增，fmin=/()=1+lna-l,a 2 e时，f(x)223.答案：解：(1)由题意知f(x)=3,-l x 2,(-2%+1,x 5得，当 N 2时，由2%1 之5,得%之 3,当一 1 x 5不成立，当 4 时，2%+1 5得 不 -2,综上原不等式的解集为(8,2 U 3,+8)(2)若不等式/(%)-x2+6%+6 的解集非空，则/(%)=2%1,与y=-x2+6x+m有交点，即当y=2%-，与y=-产+6%+m相切时，切点为(2,3),此时m=-5,J/(X)5.解析：(1)结合绝对值的意义将函数转化为分段函数形式，然后进行讨论进行求解不等式即可.(2)若不等式/(%)-x2+6%4-m的解集非空,转化为f(x)=2%-1,与y=-x2+6x+m有交点,利用数形结合进行求解即可.本题主要考查绝对值的应用，结合绝对值的应用将函数表示为分段函数形式是解决本题的关键.