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1、2021年高考数学模拟训练卷(106)一、单项选择题(本大题共4 小题，共 12.0分)221.“m 1 是“方程上乙=1表示双曲线”的()m m-1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知直线y=-x +2与双曲线y=:的交点坐标为(),A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,-1)D.(1,1)3,已知函数y=/(%)在 R 上是增函数，且/(2m +l)/(3 7 n 4),则 m 的取值范围是()A.(-00,5)B.(5,+oo)c.(-5,+8)D.(-8,-5).1 7 1X +2 X-2 .2 x-l,-x n e/V*,则X 1,
2、X 1a2013+02014=()A.4 B.1 C.；D.Y266二、填空题(本大题共12小题，共 36.0分)5.不 等 式 上 2 1的解集.6.某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，3549岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取50岁以上职 工 人 数 为.8.在等差数列 a j 中，已知%=1,前 5 项和55=3 5,则cig的值是9.已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则 这 个 三 棱 柱 的 体 积 为 .10.若sina=2cosa,则siMa+2cos2a
3、的值为.x 01 1.设变量x,y 满足约束条件2x+3y 9 2 0,则目标函数z=x+2y的最小值是X 2y 1 A B=2,则 荏 布=-13 .从I,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其 和 为 偶 数 的 概 率 是.14 .在 A B C中，已知4 8 =4,A C=7,B C边的中线4。=：,那 么 四.而=.15 .已知函数/(x)=s i n2x +s i n 2 x -c o s2%,则/(勺=.16 .在数列 a“中，若。4 =1，的2 =5,且任意连续三项的和都是15,则。2 0 1 8=.三、解答题(本大题共5小题，共6 0.0分)17 .已知函数人0
4、=示比(3尤+欠)+8的部分图像如图所示，其中4 0,3 0,1勿 0,函 数%)=壬 行(1)若a =1,求/(x)的反函数fT(x)(2)求函数y =/(x)./(-X)的最大值(用a表示)(3)设9(吗=/。)一/。一1).若对任意“6(-8,0 ,g Q)J g(O)恒 成 立,求 a的取值范围2 0 .已知双曲线C：-5=l(a 0,b 0)实轴端点分别为4(-4 0),&3,0)，右焦点为尸，离心率为 2,过4点且斜率1的直线/与双曲线C交于另一点8,已知4&BF的面积为(1)求双曲线的方程；(2)若过F的直线1 与双曲线C交于M,N 两点，试 探 究 直 线 与 直 线&N的交点
5、Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.2 1.阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系an+i =+1,an+1=+2,工 二？厮-1 中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的旧处，使问题完整，并解答你构造的问题.(如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分)设数列 5 的前项和为%，=1，对任意的n e N*,都 有 团；等比数列%中，对任意的n G N*,都 有%0,2bn+2=6n+i +3 6,且瓦=1,问：是否存在k e N*,使得：对任意的n 6N*,都有即尻三以力？若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由.【答案与解析
6、】1.答案：A解析：解：若次一工=1表示双曲线，则山(6 一1)0,得m 1或m V 0,7 7 1 7 7 1 12 2则“m 1”是“方程上一，=1表示双曲线”的充分不必要条件，m m-1故选：A.根据双曲线方程的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的标准方程求出，”的取值范围是解决本题的关键.2.答案：A解析：本题主要考查的是直线与反比例函数的位置关系，双曲线的性质的有关知识，根据题意可以得到(y=X+21，求解即可.If解：由题意得y=-X+21,y=-解得:则直线y=-%+2与双曲线y=:的交点坐标为故选A.3.答案：A解析：
7、解：.函数y=/(%)在 R 上是增函数，且f(2?n+1)/(3m -4),2m 4-1 3m 4m f(3n-4),可得2m+1 3m-4,由此可得m 的取值范围.本题考查函数的单调性，考查解不等式，利用单调性化抽象不等式为具体不等式是关键.4.答案：C解析：解：由题意，ar=p a2=/(|)=p 1-a3=f()=a4=/(1)=|,a5=/(1)=。6=/($=%。7=胜)=|，数列 即 从第三项起，组成周期数列，V 2013=3 x 671,._ 1 _ 5。2013=1，a2014=J o，,_ 7a2013+a2014=g-故选C.利用函数解析式，求出数列的前几项，可得数列 a
8、n 从第三项起，组成周期数列，从而可求02013+。2014 的值本题考查数列递推式，考查周期数列，考查学生的计算能力，确定数列是周期数列是关键.5.答案:(1,3解析：本题考查分式不等式求解，属于基础题.将分式不等式转化为(-l)(x-3)W 0且x-1 4 0,求解即可.解：由二；N 1可 得 2 0,X-l X-1即(x 1)(%3)W 0且x 1。0,解得1 0解析:解:画出约束条件2%4-3 y -9 。表示的平面区域,(.%2 y 1 0如图所示；化目标函数为y =-|x +|z,由图可知，当直线y =-2刀+：2过点B时，直线在y轴上的截距最小，由已?=o ，解得8(3,1)；.
9、z的最小值为3 +2 x 1 =5.故答案为：5.画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值.本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题.12.答案:4解析：本题主要考查向量数量积计算，考查学生计算能力，属于基础题.解：因为在 A B C中，|荏 一 前|=|南+前所以|荏-而=|四+产,即荏2一2荏前+近2=A B2+2A B-A C+A C2所 以 南,前=0,所以 A B C是直角三角形;所 以 四-JC=A B-（A C-A B）=-|4|2=-4故答案为-4.13.答案：|解析：解：由题意知本题是一个古典概型，从6个数中随机抽取2个不同的数有德种不同
10、的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4,2、6,4、6,1、3,1、5,3、5,6种取法，由古典概型公式得到P=*=|,故答案为：由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从6个数中随机抽取2个不同的数有叱种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4,2、6,4、6,1、3,1、5,3、5,6种取法，代入公式得到结果.数字问题是概率中的一大类问题，条件变换多样，把概率问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.14.答案：-8解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题.由平行四边形法则可知2而=A B+A C两边平方即可求出荏 A
11、 C.解：A D是B C边的中线，2 A D =A B+A C，.（而 +而）2 =（2而）2,A B2+A C2+2 A B-A C 4 而、1 6+49+2值前=49，解 得 荏 前=-8.故答案为：一8.15.答案：等解析：本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题.直接利用二倍角公式将原式化简即可求解.解：/(%)=s in2%+s in 2 x co s2%=s in 2x (co s2%s in2%)=s in 2x co s 2 xJ 1 2 6 6 2 2 2故答案为上出.216.答案：9解析：本题主要考查数列的周期性的应用，根据条件求出数列的周期性是解决本题的关键，属于中档题
12、.根据条件判断数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性进行转化求解即可.解：任意连续三项的和都是15,A an+%1+1+%i+2=15，同时1+1+%+2 +n+3=15,贝 IJQ九 +an+i +an+2=an+1+an+2+an+3,即 为i+3=anf即数列是周期为3的周期数列，则 由=1，a12=5,=1，。12=。9=。6=。3=5,则由 +。3 =15，得=9,贝 卜2018=0672X3+2=a2=%故答案为9.17.答案：解：(1)由图可知：解得：(1=I A+8=0 I 8=2代 入%4),得sin(2 x +0)=1,g+w=+2/OT,/C 6 Z,又|。|,0=?
13、所以：f(x)=2sin(2x+弓)+2.(2)由题意得：g(x)=2sin(2(x ：)+弓)+2 2=2sin(2x ,所 以:g(x)的最小值是一2,此 时:2 x-=-+2kn,X的取值集合是 Xx=+k7l,ke Z).解析：本题主要考查三角函数图像与性质的应用，属于中档题.(1)由题意得，直接运用求函数解析式的方法化简即可求解;(2)由题意得，直接运用三角函数图像与性质的方法化简即可求解.18.答案：(12分)解：圆锥的侧面积S傅=兀n=24兀.P0=V62-42=2V5.：,V=-itr2h=也至兀(4分)(2)连 M O,过 作 MO 1 4。交 A O 于点。，连。C.又.M
14、 D 遍，.又0C=4,0 M=3.又MD尸0,W M C等于异面直线M C与P O所成的角或其补角.又M。/PB,4M O C=60或 120.(9分)当 乙M O C =60。时，.MC=g.；.cos4D MC=近=等.MC=arccs詈当NMOC=120。时，M C=V37.-.coszDMC=,zDMC=arccos 综上异面直线M C 与尸。所成的角等于arccos萼 或 arccos等.(12分)解析：利用求圆锥的侧面积公式和体积公式计算；(2)先作后求,过“作M D 1 A 0,从而MD PO,4 D M C 即异面直线MC与 P0 所成的角.本题考查圆锥的侧面积和体积的计算和
15、异面直线所成的角的计算，属基础题.19.答案：解:(1)当a =l 时，f(x)=S)，-1+2X=,y即2=：-1=号，则0 y 0,0 t a.g)=鬲 =w?当a g(0)恒成立，且。(。)=士 一 也，2-a 1 1 一 a2+3a+2 1+a i+呆怛成乂，J 0 V Q y/2当a&时，5(X)-r pp-2-3令2 或 一 32土 一 年=胸 餐 不 恒 成 立，舍去综上，a的取值范围是(0,企.解析：(1)根据反函数定义求解即可；(2)根据y =/(x)-/(-%),判断函数y的单调性即可求解最大值.本题考察了反函数的求法、函数的单调性、最值、恒成立问题，注意分类讨论思想的运用
16、20.答案：解：(1)设双曲线C:(一 卷=1 3 0 0)的焦距为2 以因为离心率为2,所以c =2a,b=近a，(y =%+Q联立|小 y2 得：%2 a x 2 a2=0,所以点8 的坐标为(2 a,3 a).因为F(2 a,0),所以。4 衣尸的面积为：x 3 a x 3 a =所以a?=1,双曲线的方程为/一匕=1；3(2)设/V(x2,y2),直线 A/N 的方程为久=m y +2,直线4 1 M 的方程为y =念(4+1),直线4 N的方程为y =云 我 一 1)，所以点。的横坐标为和=多 力+外 以 一%+尢2 r 2%+力+%X=m y+22y2.得：(3m2-l)y2 4-
17、12my+9 =0,x -T=11 2 m 9乃+丫 2 =一 赤,y i y2=.所以XQ=。1。2+0 2为一。1+。2 _ (m V l+2)为+(血为+2)-1 -刈+丫2x z-X z y i+y i +，2 O%+2)y2-(m y2+2)yt+%+y2_ 2.旷 1 乃+3吐+%_ 2 m xs;+3 旷 2+一 个 2 _ 2y_ 1_3 yf-3r y/-12m、-.1 2 m -o2-(5 -y2)4y 2+5 2所 以 直 线 与 直 线&N的交点。在直线X =1.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，圆锥曲线中的定点定直线问题，圆锥曲线的综合应用，考查学生分析问题的
18、能力以及计算能力，属于较难题.利用双曲线的性质，得到c =2a,b=V 3a,联立直线与双曲线方程，得到点B 的坐标，结合4 4 B 尸的面积为(求出。2 =1,得到双曲线的方程.(2)设/V(x2,y2),直线用N的方程为久=m y +2,得到直线4 N的方程，求出点0的横坐标,联立方程2=7+:结合韦达定理化简软=二 为y=7+学+啜.二”一II X2-3-=1%，2 T 2%+%+、2 (m y1+2)y2-(y 2+2)y i+3,i+y 2即可得到交点Q在定直线上.21.答案：解：设等比数列 九 的公比为q.因为对任意的n N*,都有2 勾+2 =垢+1 +3%，所以2 q 2 =q
19、 +3,解得q =-1 或|.因 为 对 任 意 的 N*,都有%0，所以q0,从而q =|.又瓦=1,所以=(|)吁.显然，对任意的九G N*,bn 0.所以，存在k N*,使得：对任意的n e N*,都有也，即卸三苏记=,n e N*.下面分别就选择作为条件进行研究.因为对任意的n N ,都有t l n+l =2 即+1,即即+1 2 =：(即-2).又臼=1,即%-2=1力0,所以即一2#0,从而=4,所以数歹I J 叫一 2 是等比数列，公比为也得斯2 =(吁1,即a n=2 (nT.所以。=肥=卢 不 从 而=露=,+1-1由 S 1 得 n N 1,得:cr=c2,当71 2 2
20、时，cn+1 cn,所以，当九=1或 2 时，7 取得最大值，即最取得最大值.所以对任意的n WN*,都 有 得 言=,，即i 瓦 3。也，anb2 0,从而”二=署 生.Dn Cn由 怒 号 wi解得：得：当九工2 时，cn+1 cn当 n 3 时，cn+i 0,所以即 0,且久=2,an从而数列%是等比数列,公比为2,得0n=2 计1.所 以 金 二 耦 二 。，从 而 二=，1,所以J+Id，n Cn 3所以，言取不到最大值.n所以不存在k e N*,使得：对任意的7 1 6 N*,都有斯如W”解析：本题考查数列递推公式以及数列函数的特征以及数列的探索性问题，属于难题.首先根据数列递推关系可得%=（|尸-1.选 ，根据数列递推公式可得 上 =2；,；可得到2：W 1,进而求出结果;选 ，同理根据数列递推公式可得=翳 积，然后分类讨论即可求出结果；选 ，根据递推关系可得即=2 T.然后可得d =C）T 0,从而里J=gl,所以d+1 /，求出结果.cn