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1、（12）条件概率 记为)/(ABP)()(APABP。（13）乘法 乘法公式：)/()()(ABPAPABP（14）独立性 两个事件的独立性)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP（15）全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶斯公式 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。（17）伯努利概型 knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。（1）离散型随机变量的分布律 （2）
2、11kkp。（2）连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。1 0)(xf。2 1)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF 称为随机变量 X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到
3、X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x 内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5 )0()()(xFxFxXP。（5）八大分布 0-1 分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 knkknnqpCkPkXP)()(，其中),(pnBX。nkppq,2,1,0,10,1，泊松分布 ekkXPk!)(，0，2,1,0k，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限
4、分布（np=，n）。型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称
5、随机变量服从参数为其中的正超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM记为H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。记为 G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b 内，其密度函数)(xf在a，b 上为常数ab 1，即 ,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b 上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP1221)(。指数分布 其中0，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 记住积分公式
6、：!0ndxexxn 0，xb。axb)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变
7、量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt222)(21)(。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex，x，分布函数为 xtdtex2221)(。如果X),(2N，则X)1,0(N。1221)(xxxXxP
8、。第三章 二维随机变量及其分布 连续型 对于 二 维随 机 向量),(YX，如果 存 在非 负 函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，.（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为),2,1,()
9、(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型 X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY 连续型 在已知 Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY；在已知 X=x的条件下，Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp有零不独立 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 0 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布
10、函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其
11、他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D的面积，则称（X，Y）服从 D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2221,21（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型，fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。型
12、离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中
13、的正2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 niiXW12 的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W服从自由度为 n 的2分布，记为 W)(2n，其中.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ t 分布 设 X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf ).(t 我们称随机变量 T 服
14、从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntnt 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分
15、布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正F分布 设)(),(2212nYnX，且 X与 Y独立，可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F分布，记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征（2）期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X
16、)E(Y)，充分条件：X 和Y独立；充要条件：X和 Y不相关。（3）方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和 Y独立；充要条件：X和 Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（5）二维 随 机变 量 的数 字 特征 二项分布),(pnB 期望 方差 泊松分布)(P p)1(pp 几何分布)(
17、pG np)1(pnp 超几何分布),(NMnH 均匀分布),(baU p1 21pp 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布
18、记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正 正态分布),(2N 2ba 12)(2ab 指数分布 1 21 t 分布 2 期望 n 2n 函数的期望 0 2nn(n2)（6）协方 差 的性质（7）独立 和 不相关 方差 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(协方差),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(相关系数 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2 dyyfYEyYDY)()()(2(i
19、)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).YYYXXYXX （1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为.11lim1niinXnP 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随
20、机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A发
21、生的次数，p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1limpnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。（2）中心极限定理),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。（3）二项定
22、理 若当),(,不变时knpNMN，则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当0,npn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性
23、质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正 常见统计量及其性质 样本均值 .11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112niixxnS 样本k 阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,F分布 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(21N
24、的 一 个 样 本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(/2122222121 nnFSSFdef 其中,)(11211211niixxnS ;)(11212222niiyynS)1,1(21 nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F分布。（3）正态总体下分布的性质 X与2S独立。第七章 参数估计（3）区间估计 置信区间和置信度 设总体 X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,121P 那么称区间,
25、21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布
26、设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正 已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间 nxnx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(/ntnSxt (ii)查表找分位数 .1/nSxP（iii）导出置信区间 nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1()1(222nSnw（ii）查表找分位数 .1)1(2221SnP （iii）导出的置信区间 SnSn121,1 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2 00:H nxU/00 N（0
27、，1）21|uu 00:H 1uu 00:H 1uu 未知2 00:H nSxT/0)1(nt)1(|21ntt 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随
28、机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正00:H)1(1ntt 00:H)1(1ntt 未知2 220:H 202)1(Snw)1(2n)1()1(22122nwnw或 2020:H)1(21nw 2020:H)1(2nw 型离散型随机变量的分布律连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变随机变量的分布函数本质上是一个累积函数可以得到落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间内的概率分布函数具有如下性质是单调不减的函数即时有即是右连续的八大分布分布二项分布泊松分布其中记为或者泊松分布为二其他则称随机变量在上服从均匀分布记为分布函数为当指数分布时落在区间内的概率为则称随机变量服从参数为的指数分布记住积分公式其中的分布函数为正态分布设随机变量的密度函数为为常数则称随机变量服从参数为其中的正