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1、第 1章 随机事件及其概率 1排列组合)!(!nmmPnm )!(!nmnmCnm 2关系运算 A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)BABA，BABA 3几何概型（1）S是直线上的某个线段,长度为 l(S),A是 S的一个子集，则落在 A 中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。（2）S是平面上的某个区域,面积为 u(S),则落在 A 中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。（3）S是空间上的某个立体,体积为 v(S),则落在 A 中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。甲乙两人相约在 7点到 8点之间在某地会面，先到者
2、等候另一人 20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。解：4加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)5减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)6条件概率 事件 B 在事件 A 发生条件下发生的条件概率为)/(ABP)()(APABP。7乘法公式)/()()(ABPAPABP P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)P(AB)0 8独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAP
3、ABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立.与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。9 伯努利概型 概率 P(A)=p,发 P(A)=1-p=q，用)(kPn表
4、示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率 P(B|A)，P(B|C)解135213391352135213391)(1)(CCCCCAPAP13521139213)(CCCABP13391352113921313521339135213521139213)()()(CCCCCCCCCCAPABPABP1352839513)(CCCCP1352626213513)(CCCCBCP839626213135283951
5、31352626213513)()()(CCCCCCCCCCCPBCPCBP 95604060222SuAuAP 600,600|,yxyxS 20,|,yxSyxyxA 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然AB 7.0)(AP56.0)(BP56.0)()(BPABP8.07.056.0)()()(APABPABP 例 1.21 某工厂生产的产品以100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01 2 3
6、 4概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10 件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。40()()()kkkPBPAPBA解设 B 表示事件“一批产品通过检验”，Ai(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则A0,A1,A2,A3,A4组成样本空间的一个划分，00()0.1,()1P AP B A10991110100()0.2,()0.900CP AP B AC10982210100()0.4,()0.809CP AP B AC10973310100()0.2,()0.727CP AP B AC1096
7、4410100()0.1,()0.652CP AP B AC814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0顾客买到的一批合格品中，含次品数为0 的概率是00040()(|)0.11(|)0.1230.814()(|)iiiPAPBAPABPAPBA类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4 件的概率分别约为 0.221、0.398、0.179、0.080。贝叶斯公式(Bayes)1()()()1,2,()()kkkniiiPAPBAPABknPAPBA 第二章 随机变量及其分布 1离散型随机变量 P(X=xk)=pk，k=1,2,，（1）0k
8、p，（2）11kkp 2 连续型随机变量概率密度 xdxxfxF)()(1)0)(xf;(2)1)(dxxf。3 分布函数)()(xXPxF )()()(aFbFbXaP 1 ,1)(0 xF x；2、单调不减性：若 x1x2,则 F(x1)F(x2)；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 右连续性：)()0(xFxF 对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，二项分布),(pnBXknkknnqpCkPkXP)()(，当1n时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p,P(X=0)=q 泊松分布)(X或者P()：ekkXPk!)(，0，2,1,0k，泊松分
9、布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p0，q=1-p。(k次试验，前 k-1次失败，第 k次成功)随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。00lim()()xxF xF xxdttfxXPxF)()()()=()F xf xbadxxfaFbFbXaP)()()()(平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地
10、会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生均匀分布 XU(a，b)：,0,1)(abxf 其他，xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X
11、落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布 积分公式：!0ndxexxn 正态分布 XN(,2);(越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峭)XN(0,1):N(0,1)函数分布 离散型 连续型 6826.01)1(21)(XPXP9974.01)3(23)3(XPXP9544.01)2(22)2(XPXP1122()xxXP xPXx21xx 0，xb。axb)(xf,xe 0 x,0 0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0)(xfxO 22()21(),(,)2xf xex xtdtexF222)(21)(.,21)(22xexxxdtexXPxxt,21)(22)
12、()(xx1)()(xxxy()()(51)XxFxP XxP X落在以为中心，3为半径的区间(-3,+3)内的概率相当大,落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不计 dyydFyfYY)()(平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一
13、副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生第三章 二维随机变量及其分布 联 合 分 布 离 散 型),2,1,(),(),(jipyxYXPijji Y X y1 y2 Y3 P(X=xi)x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23 X3 P31 P32 P33 P(Y=yj)1 连 续 型 二维随机变量的本质 )(),(yYxXyYxX 联 合 分 布 函 数,),(yYxXPyxF 称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，
14、或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。（1）;1),(0yxF （2）F（x,y）分别对 x 和 y 是 减的（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，.离散型与连续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，边 缘 分 布 离散型),2,1,()(jipxXPPijjii；),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型；dyyxfxfX),()(.),()(
15、dxyxfyfY 条 件 分 布 离散型；iijijppxXyYP)|(,)|(jijjippyYxXP 连续型)(),()|(yfyxfyxfY；)(),()|(xfyxfxyfX 独 立 性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf0 随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若
16、X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1和 5Y-2独立。()(,)()(,)XFxFP XxP Xx Yx()(,()(,)YFyFP YyyyP XY（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1ijijp xydudvvufyxF),(),(平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立
17、必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生二维均匀分布 其他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域 D 的面积，称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。若(X，Y)服从矩形区域ax b,c y d上的均匀分布，则(X，Y)的两个边缘分布仍为均匀分布，且分别为 二维正态分布 二维正态分布，（X，Y）N（).,
18、2221,21,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 可以推出 XN（).(),22,2211NY 但若 XN（)(),22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。函数分布 Z=X+Y)()()(zYXPzZPzFZ ,对于连续型，fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。卷积公式:1()0Xaxbfxba 其它1()0Ycxdfxdc 其它dxxzxfzfZ),()(),(zdyyyzfzfZ),()(),(z设随机变量X,Y相互独立且分布函数分别为FX(x),FY(y)则M与N的分布函数分别为()()()M
19、XYF zF z F z)(1)(11)(zFzFzFYXNzyxgdxdyyxf),(),(特别地，当X,Y相互独立时，dxxzfxfdxxzxfzfYXZ)()(),()(dyyfyzfdyyyzfzfYXZ)()(),()(或其中，fX(x)，fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度。上式也称为fX(z)与fY(z)的卷积，记为fX(z)*fY(z)即X,Y相互独立时，fZ(z)=fX(z)*fY(z)M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一
20、人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 niiXW12 的分布密度为
21、 .0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2分布，记为 W)(2n，其中 .2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf ).(t 我们称随机变量T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntnt F 分布 设)(),(2212nYnX，且 X 与
22、 Y 独立，可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn ),(1),(12211nnFnnF 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1,n2).第四章 随机变量的数字特征 一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望(平均值)nkkkpxXE1)(dxxxfXE)()(E(X+Y)=E(X)+E(Y)；E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。函数的期望 Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(
23、X)dxxfxgYE)()()(平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到
24、岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生方差，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2（1）D(C)=0；D(aX)=a2D(X)；D(aX+b)=a2D(X)；D(X)=E(X2)-E2(X)（2）D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。矩 k 阶原点矩k=E(Xk)=iikipx k 阶中心矩.)(kkXEXE=iikipXEx)(，k=1,2,.k 阶原点矩k=E(Xk)=,)(dxxfxk k 阶中心矩.)(kkXEXE=,)()(dx
25、xfXExk k=1,2,.切比雪夫不等式 E（X）=，D（X）=2:22)(XP 期望E（X）方差D（X）EX（X-1）/备注 0-1分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp n(n-1)p2 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n t 分布 0 2nn(n2)二维随机变量的数字特征 期望 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数
26、的期望),(YXGEijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(23)1(2qpq平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出
27、生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2 dyyfYEyYDY)()()(2 协方差 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).).()(11YEYXEXEXY，D（X）=cov(X,Y)=XX;D（Y）=YY。Cov(X,Y)=cov(Y,X)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X 与 Y 的相关系数(标准协方差):XY=)()(YDXDXY
28、X的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均方差”|1，当|=1时，称 X 与 Y 完全相关：1)(baYXP 完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa 而当0时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的：0XY cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩 1、A=E(X)为 X的 k阶原点矩（k阶矩）(k=1,2,)，数学期望 E(X)即为 X的一阶原点矩；2、B=EX-E(X)为 X的 k阶中心矩(k=1,2,)，方差 D(X)即为 X的二阶中心矩。3、k
29、l=E(X Y)为 X、Y的 k+l 阶混合原点矩(k,l=1,2)。4、.)()(lkklYEYXEXEu为随机变量的k+l 阶混合中心矩(k,l=1,2,)。协方差矩阵 C C=(C)=YYYXXYXX 第五章 大数定律和中心极限定理 大数定律X 切比雪夫.1)(11lim11niiniinXEnXnP若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则.11lim1niinXnP 伯努利.1limpnPn 当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小.0limpnPn 辛钦.11lim1niinXnP )()(*XDXEXX则E(X*)=0，D(X*)=1),
30、(Cov*YXXY若记 1.若随机变量 X 与 Y 相互独立，则0XY；反之不真。2.若（X，Y）N（,222121），则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。)()(,)()(CovYDYEYXDXEXXY平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性
31、设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生中心极限定理 ),(2nNX 列维林德伯格/独立同分布的中心极限 棣莫弗拉普拉斯 nnXYnkkn1 xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22 二 项定理 若当),(,不变时knpNMN，则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。泊 松定理
32、若当0,npn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n其中 k=0，1，2，n，。第六章 样本及抽样分布 数理统计的基本概念 所研究的对象的全体称为总体,总体的每一个基本单位称为个体.从总体 X中抽出若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,Xn)。n称为样本容量。（nxxx,21）为样本函数，其中为一个连续函数。若中不包含未知参数，则（nxxx,21）为一个统计量。),(),(221121nnnxXxXxXPxxxF)()()(2211nnxXPxXPxXPniinxFxFxFxF121)()()()(iipxXP)(样本的联合分布律为 1()niiP Xx当总体X是连续型时，Xf(x
33、)，则样本的联合密度为 niinxfxxxf121)(),()()()(),(22112211nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且 具 有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk 设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为 当总体X是离散型时，其分布平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是
34、相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生常见统计量及其性质 样本均值.11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差.)(1112niixxnS 样本 k 阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1 样本 k 阶中心矩 nikikkxxnM1
35、.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*为二阶中心矩。正态 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(/Nnxudef t 分布 tntnnntfn,)1()2()21()(212 =。样本函数),1(/ntnsxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1的 t 分布。(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称；(2)f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即 定义 若XN(0,1)，Y2(n)，X与Y独立，则).(ntnYXT t(n)称为自由度为n的t分布。p xettftn,21)
36、()(lim223、(1)t分布表构成(P296)：Pt(n)=p(2)Pt(n)tp(n)=p，tp(n)为水平p的上侧分位数)(1ntp)(ntp平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张
37、红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生分布2 设 n个相互独立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)，则 称为自由度为 n的2分布。（1）(1)构成 P2(n)=p，已知 n,p可查表(P298)求得;(2)。样本函数),1()1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1的2分布。F 分 布 样本函数),1,1(/2122222121 nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1,1(21 nnF表示第一自由度为
38、11n，第二自由度为12n的 F 分布。(2)2分布的可加性)(121nX)(222nXX1,X2 相互独立，则X1+X2 2(n1+n2)p)10(295.0)(2122nXnii0,00,)(212)2/(212/yyeyyfynnnnE)(2nD2)(2 水平为的上侧分位数分位点 2()Pn求 解：20.95(10)3.940)(2n 若X2(n1)，Y2(n2)，X,Y独立，),(2121nnFnYnXF 称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，其概率密度为 0,00,)1)(2()()/)(2()(2/)(2122122/212121111yyynnnynnnnyhnnnnn
39、p F分布表(P294)及有关计算(1)构成：PF(n1,n2)=p(2)有关计算PF(n1,n2)=p =Fp(n1,n2)性质：11(,)(,)F m nFn m平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有
40、一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生正态总体的抽样分布定理 1.若 则 2.设(X1,X2,Xn)是正态总体 N(,2)的样本，则 (1)(2)(3)第七章 参数估计（1）点估计(用某个函数值作为总体未知函数的估计值)矩估计 极大似然估计 样本的 k 阶原点矩为 nikixn11).,2,1(mk 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,
41、1),(,1),(样本的似然函数,简记为Ln.),;(),(11122nimimxfL 为样本的似然函数。),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL 最大似然估计量。miLiiin,2,1,0ln 估计量的评选标准 无偏性 若 E（）=，则称 为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性 若)()(21DD，则称21比有效。一致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 ,0)|(|limnnP则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且),(0)(nD则为的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总
42、体的一致估计量。区间估计(对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值)1,0(NnXU),(,221NXXXiidn与S2独立)1()1(222nSn222211()()niiXnX)1(ntnSX3.设(X1,X2,Xn)是正态总 体N(,2)的样本，则 4、(双正态总体的抽样分布)设(X1,X2,Xn1)是N(1,12)的样本，(Y1,Y2,Yn2)是N(2,22)的样本，且相互独立，S12，S22是样本方差，则 (1)(2)称为混合样本方差。12221212()()(0,1)XYUNnn)1,1(2122222121nnFSSF*2212121212222
43、112212()(2)1/1/(1)(1)2wwXYTt nnSnnnSnSSnn(3)进称为样。一步,假定,就有,其中混合本方差 平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求
44、条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生置 信 区间 和 置信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,121P 那么称区间,21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。单 正 态总 体 的期 望 和方 差 的区 间 估计 设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：（i）
45、选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间,21。已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间nxnx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(/ntnSxt(ii)查表找分位数.1/nSxP（iii）导出置信区间nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1()1(222nSnw（ii）查表找分位数.1)1(2221SnP（iii）导出的置信区间SnSn121,1 第八章 假设检验 基本步骤 1）提出零假设 H0（2）选择统计量 K（3）对于检验水平查表找分位数（4）由样本值nx
46、xx,21计算统计量之值 K；将与K进行比较，作出判断：当)(|KK或时否定 H0，否则认为 H0相容。第一类错误(弃真错误)当 H0为真时，作出拒绝 H0的判断,记=P拒绝 H0|H0真；第二类错误(取伪错误)当 H0不真时，作出接受 H0的判断,=P接受 H0|H0假 单正态总体均值和方差的假设检验 平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也
47、都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2 00:H nxU/00 N（0，1）21|uu 00:H 1uu 00:H 1uu 未知2 00:H nSxT/0)1(nt)1(|21ntt 00:H)1(1ntt 00:H)1(1ntt 未知2 220:H 202)1(Snw
48、)1(2n)1()1(22122nwnw或 2020:H)1(21nw 2020:H)1(2nw 平面上的某个区域面积为则落在中的概率为是空间上的某个立体体积为则落在中的概率为甲乙两人相约在点到点之间在某地会面先到者等候另一人分钟过时就离开如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达试计算二人能够会面事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥多个事件的独立性设是三个事件如果满足两两独立的从一副扑克中张任取张设为至少有一张红桃为恰有张红桃为恰有张方块求条件概率解某种动物出生后活到岁的概率为活到岁的概率为求现年为岁的这种动物活到岁的概率解设表示事件活到岁以上表示事件活到岁以上显然例某工厂生