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1、学习必备 欢迎下载 名师解惑：概率论与数理统计繁杂知识点 导语：概率论与数理统计是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。从研究必然问题到处理随机问题，不仅大多数初学者感到比较困难，对于曾经学过概率论与数理统计的广大考生来说也觉得问题不少，特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。从近几年的硕士研究生入学数学考试阅卷结果也可以看出，这部分试题得分率普遍较低，有些考生甚至完全放弃这部分试题。针对刚刚发布的 06 年考研数学大纲，为大家在这个方面做些总结。1.准确把握概率的公式、概念，理解题意 我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后
2、不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等
3、于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用 A1 表示第一次取到次品，A2 表示第二次取到次品，A3 是第三次取到次品。如果 A 表示第一次不取到次品，B 表示第二次不取到次品，C 表示第三
4、次不取到次品，求ABC 绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品 P（C|AB），第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是 P（ABC）。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。2.几何型概率及概率数理统计的复习 几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里，还没有考。明年是否可能考呢？几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很小，如果考也是考一
5、个小题，或者是选择题或者是填空题或者在大题里运用一下概率的模式，就是一个事件发生的概率是等于这个事件的度量或者整个样本空间度量的比。这个度量的话指的是面积，一维空间指的是长度，二维空间指的是面积，三维空间指的是体积。所以几何概率指的学习必备 欢迎下载 是长度的比、面积的比和体积的比。重点是面积的比，是二维的情况。几何概率其实很简单，是一个程序化的过程，按这四个步骤你肯定能做出来。第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形，第二步把几何图形画出来。第三步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量，就是刚才所说的面积或者体积求出来。第三步代公式。以前
6、考过的几何概率的题度量的计算都是用初等的方法做，我推测下次考的话，可能会难一点的。比如说用意项，面积可能用到定积分或者重积分计算，把概率和高等数学联系起来。关于第二个问题，概率统计怎么复习，今年的考试分配很不正常，明年不会是这样的情况。我想明年数学一（统计）应该考一个八、九分的题是比较适中的。从今年考试中心的样题统计这一块是九分。数学三（统计）应该八分左右，统计这一块大家不要放弃，明年可能会考，分数应该是八、九分的题。至于复习，它的内容占了四分之一的样子。但是这一部分的题相对于概率题比较固定，做题的方法也比较固定，对考生来说比较好掌握，但这部分考生考得差，可能很多学校没有开这门课，或者开的话讲
7、得比较简单，所以一些同学没有达到考试的水平。其实这部分稍微花一点时间就可以掌握了。主要就是这几块内容一是样本与抽样分布，就是三大分布搞清楚，把他们的结构搞清楚，把统计上的分布搞清楚。然后是参数估计、矩估计、最大似然估计、区间估计、三种估计方法，三个评价标准，无偏性、有效性、一致性，重点是无偏性的考查，因为它是期望的计算，其次是有效性。一致性一般不会考，考的可能性很小。这三种估计方法重点也是前面两种，矩估计、最大似然估计，区间做了限制，考了很少，历年考试的情况也就是代代公式。最后一部分是假设检验这部分，这一部分我个人推测明年有可能考一个概念性的小题。一是了解 U 检验统计量、T 检验统计量、卡方
8、检验统计量，把这三个检验统计量的分布搞清楚。另外假设检验的思想和四个步骤了解一下就可以了。我想这部分考生少花一点时间，统计这个题是没有问题的，重点就是参数估计，就是三种估计方法，三个评价标准，重点在那个地方。3.概率知识掌握不够扎实如何应对复习困难 概率这门学科与别的学科是不太一样的，首先我建议这位同学你可以看一下教育部考试中心一本杂志，专门出了一个针对研究生考试的书，这个里面请我写了一篇文章，里面我举很多例子，你看了之后有一个详细复习方法。概率这门学科与概率统计、微积分是不一样的，它要求对基本概念、基本性质的理解比较强，有个同学跟我说高等数学不存在把题看不懂的问题，但是概率统计的题尤其文字叙
9、述的时候看不懂题，从这个意义上来说同学平常复习时候，只要针对每一个基本概念，要把它准确的理解，概念要理解准确，通过例子理解概念，通过实际物体理解概念。例如：比如我们一个盒子一共有十件产品，其中三件次品，七件正品，我们做一个实验，每次只取一件产品，取之后不再放回去，现在我提两个问题：一个是第三次取的次品是什么事件，这个事件就是积事件，第一次没有取到次品，第二次没有取到次品，第三次是取到次品，求这么一个事件的概率，但是换一个问题，我说你求前面两次没有取到次品情况下，第三次取到次品的概率，这个就不是积事件了，我第二个问题是知道了前面两次没有取到次品，这个信息已经知道了，然后问你第三次取到次品概率是多
10、少，这是条件概率，这个信息已经知道了，另外一个事件发生的概率，这叫条件概率，这是容易混淆的。还的一个重要组成部分从研究必然问题到处理随机问题不仅大多数初学者感到比较困难对于曾经学过概率论与数理统计的广大考生来说也觉得问题不少特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些从近几年的硕士研究的年考研数学大纲为大家在这个方面做些总结准把握概率的公式概念理解题意我们看这样一个模型这是概率里经常见到的从实际产品里面我们每次取一个产品而且取后不放回去就是日常生活中抽签抓阄的模型现在我说四句话大家看四个类型第一问我们求第三次取得次品的概率第二问我们求第三次才取得次品的概率第三问已知前两次没有取得次品
11、第三次取到次品第四问不超过三次取到次品大家看到这四问的话我想是容易糊涂的这是四个完全不同的概率但是你学习必备 欢迎下载 有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。4.结合实际例子，概率公式巧记忆 概率的公式并不多，背下来是基本的要求
12、，但是概率的公式和高等数学的公式相比，仅仅记住它是不够的，比如给一个函数求导数，你会做，因为你知道是求导数，概率问题，比如全概率公式，考试的时候从来没有哪一年是请你用全概率公式求求某概率，所以从分析问题的层面来说概率的要求高一点，但是从计算技巧来说概率的技巧低一些，所以我建议大家结合实际的例子和模型记它。比如二向概率公式，你可以这么记它，记一个模型，把一枚硬币重复抛 N 次，正面冲上的概率是多少呢？这个公式哪一个符号在实际问题里面是什么东西，这样才是在理解的基础上记忆，当然就不容易忘记了。5.数理统计分阶段复习的重点 考试要注意，只有数学 1 和数学 3 的同学要考数理统计，按照以前考试数学
13、1 一般来说考三分之一分数的题，数学 3 是四分之一，但是仅仅是一个很例外的情况，20XX 年数学 1 考了16 分的数理统计，但是今年没有考这部分，今年考试这个地方的命题是有一点有失偏颇，我个人的看法为了避免这样的情况，所以这个地方一定要看，一般要考 8 分左右的题是比较合适的，到底考什么，我可以把这个范围缩的比较小，考这么几种题型：第一个是求统计量的数字特征或者是统计量的分布，统计量大家知道就是样本的函数，样本就是 X1X2-Xn，就是期望、方差、系方差，相关系数等等，求统计量的数字特征。第二个题型，统计量既然是随机变量，当然可以求统计量的分布，20XX 年数学 3 是考了，20XX 年数
14、学 3 考了，所以这个地方也是重要的题型。其次第三种题型是参数估计，你要会求。要考你背两到三个区间估计的公式就可以了，所以为什么这个地方考的次数最多，每一种方法你都要会做。第四种题型就是对估计量的好坏进行评价，估计是无偏是有效的还是抑制的。20XX 年就考了一个大题。另外第五种题型就是假设间接这个地方，这么年以来只考过两次，而且从 99 年以来练习五年这一章是没有考，可能考一个小题，考一个什么题，就是把统计量写出来，你会不会把分布写出来，以填空的方式。另外一种考法，它的只对什么进行检验，对什么参数进行检验，你把统计参数写出来。第三种方法，设计一个问题，把架设检验的十个步骤做出来，第一个步骤是提
15、出架设，第二步写出检验统计量。这个部分也不会出一个大题，应该是以小题的形式出现。的一个重要组成部分从研究必然问题到处理随机问题不仅大多数初学者感到比较困难对于曾经学过概率论与数理统计的广大考生来说也觉得问题不少特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些从近几年的硕士研究的年考研数学大纲为大家在这个方面做些总结准把握概率的公式概念理解题意我们看这样一个模型这是概率里经常见到的从实际产品里面我们每次取一个产品而且取后不放回去就是日常生活中抽签抓阄的模型现在我说四句话大家看四个类型第一问我们求第三次取得次品的概率第二问我们求第三次才取得次品的概率第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品
16、第四问不超过三次取到次品大家看到这四问的话我想是容易糊涂的这是四个完全不同的概率但是你学习必备 欢迎下载 6.重要知识点考生不要投机取巧 考研数学公式手册20XX 年考生必备 对于数学一的考生或者数学三的考生来说，这个类型是考试的重点，每门课程重点有很多，不是每个重点都考，只要重点的地方考生不要投机取巧，比如参数估计，三种方法，那就是矩估计方法，极大似然估计方法，区间估计方法，这三种方法前两者是重点。大家记几个公式就可以了，20XX 年数学一考了区间估计的填空题。你对前面两者要熟练掌握，前面两种对整体没有做限制，所以命题空间比较大。如果命题空间小考的可能性有很小。你四个步骤一定要掌握，刚才有网
17、友说那个计算量太大，考试的题计算量不会太大。第一步一定要把函数会写出来，数量函数有两种：一个是总体是离散型的一个是连续型的，你都要会写出来，离散型是指联合分布率，连续型是联合密度，因为这个联合密度和联合分布率都具有独立性，都是等于边缘密度的乘积，做任何一个，只要考这类型的题第一步少不了，你的问题属于会把 L 似然函数写出来，把 L 写出来以后下面求 L 关于未知参数最大值点的问题，这是高等数学微积分里面最基本的问题，所以一般的话，我们先取对数，取对数以后令这个函数对未知参数的导数等于零，这个偏导数或者导数等于零的解就是可能的极值点。当然也可能出现这种情况，偏导数等于零的方程没有解的情况，只考过
18、一次，这个时候找未知参数的边界点，取值范围的定义域找到它，这个 2000 年考过一次，这个大家要注意，有解没有解的都会做了你就不怕他考了。7.概率问题的重点及得分方法 这个可以看作我们概率一个基础，我不知道这个网友是考数学几，随机变量分布这是一大块内容，基本每都年考一点，还有一个就是数理特征和数理统计基本考一个大题，概率和数理统计这部分如果从复习角度来看我们首先要理解概念，我认为这里面有三个典型途径：第一古典概率，一个概率的公式的推算，第二个途径就是利用我们的分布信息来求概率，我们涉及到一维的也可以是二维的，即可以是离散型的也可以是连续型的，都有求概率的方法，我们讨论概率统计里的问题，比如分布
19、函数问题，本身就是求概率，你只要知道求概率统计三个途径，所以我讨论分布函数，由分布函数可以讨论概率分布函数，源头是分布函数，分布函数基础是求概率，通过这个角度把握我认为概率统计发现不是你想象的那么复杂了。这里面重点的是二两者，第一种古典概率考的是排列组合，这个是初中内容，稍微难一点古典概率的题，同学没有过多关心，不会从这个角度考的，而是根据我刚才的分析。所以把握这种思路以后，实际上概率统计知识应该把线性代数，特别比高等数学更好拿分。另外稍微应该注意一下概率统计里面随机事件和随机变量之间的转换关系。我们可以通过随机事件引进随机变量，反过来也可以，所以大家复习时候。讨论随机事件之间关系问题也可以借
20、用随机变量之间关系分析，这是概率统计方面大家应该注意几个比较典型的知识点。8.概率论重点预测 这个问题不好说，这个问题比较大，要是我预测一下的话，这么几个知识点你可以把握一下，平常我们讲课当中的重点当然要复习。比如事件的关系和概率的性质，我认为这个地方会考一个小题，这个地方要熟练掌握。另外一个需要注意的是 BERMOULLI（贝努利），因为这的一个重要组成部分从研究必然问题到处理随机问题不仅大多数初学者感到比较困难对于曾经学过概率论与数理统计的广大考生来说也觉得问题不少特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些从近几年的硕士研究的年考研数学大纲为大家在这个方面做些总结准把握概率的公
21、式概念理解题意我们看这样一个模型这是概率里经常见到的从实际产品里面我们每次取一个产品而且取后不放回去就是日常生活中抽签抓阄的模型现在我说四句话大家看四个类型第一问我们求第三次取得次品的概率第二问我们求第三次才取得次品的概率第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品第四问不超过三次取到次品大家看到这四问的话我想是容易糊涂的这是四个完全不同的概率但是你学习必备 欢迎下载 个里面涉及到一个重要的分布，我统计一下历年考试，这几种分布考查过，考的最多排在前面三位的是正态分布、贝努利分布，指数分布，BERMOULLI排第二位，这里面一个重要的问题这几年一直在考。再就是求分布函数的题一定要多看两个例子，这个
22、基本得考。去年我在这个地方讲一个题，考的题比我讲的简单一些，就是一个 13 分求分布函数的题。这是碰上的，不是押上的，求分布函数这个地方是一个问题。另外二维求联合分布率，另外一个问题是求数学期望，求数字特征。统计这部分最可能考的应该还是参数估计还有估计的评价标准，评价标准主要是无偏性和有效性的考查，特别提醒 20XX 年考生，这是大纲里面规定的一章内容，连续五年没有考了，我感觉 20XX 年会考一个小题，考一个什么小题我可以说的差不多，那就是三种考法，一种把统计写出来，另外一种考法要考生写出统计，他说出是哪一种类型的检验，要有什么检验统计量你要会做出来，另外就是给出假设统计量，把你的结论写出来
23、，这四个步骤要掌握，这个地方考大题可能性不大，可能会考一个小题。20XX年考生要看一下这部分内容，虽然不是考试重点，但是可能会考，是最基本要求的考查。9.数理统计中考试重点及参数估计比重 参数估计这部分它占数理统计的一多半内容，参数估计这块应该是最重要的。统计里面第一章就是关于样本还有统计量分布这部分，这部分就是求统计量的数字特征，统计量是随机变量。统计里面有什么题型？一个参数估计，一个求统计量数字特征或者求统计量的分布，统计量是随机变量，任何随机变量都有分布。自然会有这样的题型。求统计量的数字特征，求统计量的分布，然后参数估计，然后估计的标准。统计这个内容对大家来说应该是比较好掌握的，题型比
24、较少，你比较好把这个题做好。10.参数估计中区间估计此类复杂公式如何掌握 区间估计不是考试重点，属于最低层次的，只要知道两到三个区间公式就可以了，以前只考过前面两个，你多记一个留有一些余地，这个地方要求比较低，复杂的公式你不一定非得记住。的一个重要组成部分从研究必然问题到处理随机问题不仅大多数初学者感到比较困难对于曾经学过概率论与数理统计的广大考生来说也觉得问题不少特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些从近几年的硕士研究的年考研数学大纲为大家在这个方面做些总结准把握概率的公式概念理解题意我们看这样一个模型这是概率里经常见到的从实际产品里面我们每次取一个产品而且取后不放回去就是日常生活中抽签抓阄的模型现在我说四句话大家看四个类型第一问我们求第三次取得次品的概率第二问我们求第三次才取得次品的概率第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品第四问不超过三次取到次品大家看到这四问的话我想是容易糊涂的这是四个完全不同的概率但是你