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1、绝密 启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学(二)注意事项：1 .本试卷分第1卷(选 择 题)和 第I I卷(非 选 择 题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2 .回答第1卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4 .考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A =y|y=J 7=5
2、,集合则0 8)D A等 于OA.(0,4 B.4,+o o)C.0,4 D.(4,+o o)答案：C解：集合集=y|y=G3 =y|N 0,集合B=x|f -4X 0|=x|x(x-4)0)=x|x 4),则B=x 0 W x 0时，y=x+-2.当且仅当*=-,即x=l时，等号成立；XX当尢 i时，y o；当o x i,y l,函数y=x-l n工 一 1单调递增；当()o时，y o；当x o,y0,函数y=e +l x单调递增；当x 0,函数y=+l x单调递减，即当x=0取得最小值为2,故C正确：T T对于D选项，因为0 x 一 ,所以0 c o s x 0,b e,则 是的（）A.充
3、分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：D解：令/（犬）=半,r（x）二1-lnx2,可得当0 0：当时，/（力 3 ,所以a b e,所 以 少 以，即所以“地，可得2；5；而3?0,力 e时，3 3”是“加 加”的既不充分也不必要条件，故选D.2 28.已知丹、尸?分别为双曲线C：鼻一亲=1卜/。力 0）的左右焦点，”为双曲线左支上一点,6与y轴 上 点p正好关于“居 对称，则双曲线c的离心率为oA.l e-C.e V3 D.e -733 3答案：B解：设点片（-c,0）,设点M在第二象限，则点P在 轴正半轴上.由对称性可得|尸鸟|=伊用=田用|=2 c
4、,俨。|=,尸 国2|。制2=辰,所以NP5耳=60。，则/“6”=30。，所以，双曲线的渐近线y=今4的倾斜角。满足90。v a v 150。，a则-2 且，a3 a 3符合题意的安排方法有2520-6 3 0-630+180=1440种，本题选项为C.二、多项选择题：本 题 共4小题，每 小 题5分，共2 0分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有多项符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得5分，部分选对的得2分，有 选 错 的 得0分.对于 D,。=8,c =1 0,4 =6 0 ,c o s B =a2+c2-b29.-pl,随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()4
5、X012Pp-p2T-PpA.Pk=2)的值最大 B.P/=0):,A 错；p-p2=/?(1 -/?)8,则s i n A c o s 8B.若s i n 2A=s i n 23,则A A BC为等腰三角形C.若 A 8，则s i n A s i n 8D.若。=8,c =1 0,B =6 0。，则符合条件的A A BC有两个答案：AC解：对于A,因为若A H BC为锐角三角形且A 8,所以4+8=，2所以 所以s i n A s i n(g-B)=c o s B ,故 A 正确：对于 B,若s i n 2A=s i n 23,则 2A=2。或2A=兀一23.若2A=2 8,则 A8C为等腰
6、三角形；若2A=兀一2 8,则A+B =四，则 A8C为直角三角形，故B不正确；2对于C,由A 3可得。/九 所 以 二 与结合正弦定理可得s i n A s i n 8,故C正确:即c o s 6 0=艾 土 二，解得b=2后,只有一个解，故D不正确，2x8x1 0故选AC.1 1.已知函数/(X)是奇函数，是偶函数，并且当xe(O,l ,/(x)=2|x-2|-3,则下列选项正确的是)A.f(x)在(-3,-2)上为减函数 B./(x)在g g 上 x)()C./(x)在 1,2上为增函数 D./(X)关于x=3对称答 案:AB D解：因为“X)是奇函数，X +1)是偶函数，所以函数/(X
7、)的图象关于(0,0)中心对称，且关于x=l轴对称，则f(x)的周期为4，当xe(O,l 时，/(A-)=2|X-2|-3 =1-2.V,则函数/(.r)在xe(0,l)上递减,根据对称性可得J(x)在xe(l,2)单调递增,再 结 合 周 期 性 可 得 在(-3,-2)上为减函数，故A正确:“X)在小于0,根据对称性可得/(X)在x小于0,故B正确;/(X)的图象关于x=l轴对称，所以=/(2)=/(0)=0,所以f(x)不可能在 1,2上为增函数，故C错误；“X)的图象关于x=1轴 对 楸 又 力 是奇函数，所以f(x)的图象关于x=-1轴对称，因为/(的周期为4,所以/(x)关于x=3
8、对称，故D正确，综上答案为AB D.1 2.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第，?(!=（4,x-3）,且。b,/.（x-2）（x-3）-3 x4=0,x=-lBJCX=6,又.,向量a与b方向相反，i =T,故答案为一 1.1 4.已知抛物线C:/=-4 y的焦点为F,抛物线C上一点A满足|A F|=3,则以点A为圆心,A F为半径的圆截x轴所得弦长为.答案：2石解：由题意，抛物线.d=-4 y,可得焦点户（0,-1）,设4天,），0）,根据抛物线的定义，可得|A F|=%+1=3,解得为二一2,即A到x轴的距离为d
9、=2,所以圆截x轴所得弦长为2,以2 -d?=2 6-2 2 =2石，故答案为2行.15 .已知xwRywO,则（工+；）2+（工一2y最小值为答案：4解：*+?2+&-2），）2看作两点A（x,x）,B（%2 y）之间距离的平方，.2点A在直线y =x上，点B在曲线y =上，x 1/=（-）,=4-令 马=i,解得x=c,取 点 仇-夜,衣）,x r x 所以依一夜二&l=2,即（x +L）2+（x 2y）2 最小值为 4.V 2 y16.若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三极柱模型，使其底而在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则 所 制 作 的 正 三 棱 柱 模 型 的
10、 高 为，体积的最大值为答案：半，8立解：如图，正四面体A 8 C。的内接正一棱柱O E/一。首先D,E,F-：个顶点必在正四面体的：.条棱上，才能使得:棱柱体积最大,正四面体A 8 C O棱长为6,则高为4M=/-住X6）=2遍,设正三棱柱高为/?,底面边长为。，因为平面O E F平面88,所以=迪，=渔（2后 一/?）,6 2#2SD E F=4 Q 瓜-Q 底一4 4 4 oV=SDErh=hQ 巫-h）2=X2/1X（2/6-h）x（2 卡-h）8 16V*产*0y=8夜，当且仅当2=2后-，即/,=亚时等号成立.3则所制作的正三棱柱模型的高为半，体积的最大值为8 0.Gcsin B-
11、C；c s；=0 转化为百（510抽。一 8 。85 8）=sinA,所以-J5cos(B+C)=sin4.而 A=TC-8 C,所以 J5cosA=sinA，即 tarv4=/J，.A 为ABC内角，.-.0A/5)xsin；=3+G,.ABC的面积为3+(2)由(0)+6cos28=6,得 12sin28=9，a b c Jr在ABC中，由正弦定理得=，且4 二一,siM sinB sine 3/.sinBsinC=,4o2.(lit 1 .2 r，/5.1D=-7C-C,/.s in C s in-C=snr C+sinCcosC=3 I 3 J 2 2 4-(l-co s2 C)+si
12、n2C=-4、7 4 4ncos2C=V3sin2C.得 tan2c=9，3.2Ce(0野).2C=S 或2C=*18.（12分）已知各项为正数的数列 q ,其前项和为S”，8s“=（2凡+1 且=（1）求数列 4 的通项公式；（2）若7；=%N+4 T y+q i 3 +i +a z 3 T+q T ,求7；.3n+2-6/7-9答案：(1),=；(2)Tn=-4又因为A8CO为平行四边形，所以A8J_8C,AD A.DC,解：由8S,=(2q,+l)2,得8sli“=(4”+1)2,将以上两式相减，可得8q,”=(2a4l+l)2-(2a+l)2,则(2q“-9-(2q,+炉=0,所以(加
13、用+2)(2+,-2 a-2)=0.由于数列的各项均为正数，所以又=1,所 以 卬=.(2)由题意可得7；=小3 i+(/T 3 2+(-233+.+23 i+l3z,则 37；=小 32+(-133+(-234+2,3+13”“,由-可得 27；=-3n+32+3、3,+K+3”+3w+,32(1-3H)3W+2-9=-3n+-L=-3/1+-1-32则73 2一：一919.(12分)在四棱锥。一 A3CD中，四边形ABC。是边长为4的菱形，PB=BD=PD=4&因为A5=4，BP=4fi，P 4=4 6，所以ABZ+BP=AP2，所以因为281 BC=B,所以43_1_平面8尸C，所以A
14、3_LCP,因为AD=4,DP=4 yb，PA=4 jL 所以AO?+DP?二人 尸2，所以AD_LOP，因为PnOC=。，所以 A/3_L平面PC。，所以 AO_LCP,因为ADnA8=A,所以PC_L平面A3CO.(2)由(1)知，CD,CB,CP两两垂直，分别以8,CB,CP所在的直线为x,5，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，在:角 形P8C中，PCVPS-B C-，则 A(4,4,0),5(0,4,0),C(0,0,0),D(4,0,0),E(0,2,0),P(0,0,4),所 以 方 二 (T,2,0),因 为 变=2,而=2屣=(_o,4F=4D+DF=f-,-,0|.FE 3
15、 5 5 5 J k 5 5/丽=(4,4,T)，设平面QA厂 的 一个法向量为/w=(x,y,z),即4x+4y-4z=0PA=4x/3.(1)证明：PC_L平面 A8CO；令y=l，得x=-2,z=-l，于是取旭=(-2,1,-1),又 由(l)知，底面A8CO为正方形，所以4C_L5),因为PC_L平而ABC。，所以PCJ_Q,因为A C r)PC=C,所以平面A C P,所 以 丽=(4,-4,0)是平面PAC的 个法向量,12 G-x/6x/32-2 冽 一 而 岳 Z7 D A 厂 的 T-,1、Q lilll m e Z)Ie,、偏丽)1“办I X田 用 广 r A。加 人 少
16、为，贝IJCOSO COS(叼 mBD所以二面角F-B 4-C的大小为6(2)如图，取8C的中点为,在线段DE上取一点F使 得 二2,求二面角歹-B 4-C的大FE 3小.答案：(1)证明见解析；(2)6解：(1)因为AB=AD=4，BD=46，所以AB?+AD2=60，所以ABJ.AD，2 0.1 2分)某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为，神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为Pi-3 2 1)若 月 二 ，生=，则在第一轮
17、游戏他们获“神投小组”的概率；4(2)若P 1 +0=,则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号1 6次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时P i ,p2的值.2 7答案：(1)；：(2)理论上至少要进行2 7轮游戏，P l=p2=.解：(1)由题可知，所以可能的情况有：甲投中1次，乙投中2次；甲投中2次，乙投中1次；甲投中2次，乙投中2次.故 所 求 概 率 八C 寸扑佗再唱弓+(喏目(琮.|卜|，(2)他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为P=C；PI(I-PJG 3)2+G(PJ2 Gp 2(i-P 2)+c；(p J 2 c s 2)2=2 P|P 2(P|+P
18、2)-3(j 2(p 2)2,因为 P l+P 2 =g，所以尸=g|P 2 _ 3(p j 2(0)2,4 1 1因为0 p2 1,/?!+/?,=-,所以 W P l 4 1,-p2 I,又 PW24P l；，=所以 5力 0)左顶点和上顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若4、B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线=3一1上存在一点p,使得三角形2 4 B为正三角形，求AB所在直线的方程.答案：(1)土+),2=1；(2)y =0或x+y =0.3 解：(1)因为直线x G y+g =0与X轴交于点卜6,0),与y轴交于点(0,1),又直线x-J 5 y+6 =0经过椭圆
19、C:：+=1 左顶点和上顶点，a2 b可得。=百，b=,椭圆C的 方 程 为 2 =1.(2)设A(4 y),则8(-,一乂)，当直线A B的斜率为0时，A B的垂直平分线就是)轴，y轴与直线/:x+y-3=0的交点为P(0,3),：AB=2y/3,PO=3,A Z Z 4 0=6 00,R 4 8是等边三角形，直线A S的方程为y=0：当直线A B的斜率存在且不为。时，设A B的方程为y=kx,代 入 椭 圆 方 程 消 去 得(3/+1)/=3,设A 8的垂直平分线为y=-7.r,它与直线/:x+y-3=0的交点记为P(x 0,%),KV A4 B为等边三角形，.应有|P 0|=,lab2
20、+g 厂，弘2 +3代入得到 生 =百.与2,解得左=0(舍)或攵=一1,V a-i)2 3 k2+i此时直线A 8的方程为)二一工，综上，直线A B的方程为)，=。或x+y =o.2 2.(12 分)已知函数 J (x)=gx 2 -at.(1)若 g(x)=/(x)-x+aln x,讨论 g(x)的单调性；已 知=2/(x)T ln x-4 a+2,若方程。)二()在；,+8)有且只有两个解，求实数。的取值范用.(1 9 ln 2 答案：(1)答案见解析：(2)I.解：(1)依题可得g(x)=：x 2-(a+l)x+aln x ,函数g(x)的定义域为(0,+8),所以，(x)=I/l)+
21、qj J“+Dx +j(l)(x”)X X X当a V O时，由g(x)0,得x l,则g(x)的增区间为(1,+8).当0。1时，由g(x)0,得a x 0,得或*1,则g(x)的增区间为(0,a)和(1,+。).当a=l时，g(x)0,则g(x)的增区间为(0,+8).h(x)在H，+8 1上有两个零点，即关于x方程2a=x-l nx+2在2 )x+2数根.人,、x2-x ln x +2 1,1 E i,、+3x-2 1n x-4 x +2 町则。+2尸.,2 c 今，1 (2 x l)(x +2)令p(x)=+3x-2 1n x-4 ,xe,+,i/iij p (x)=-,.2 /x显然”(x)NO在+o c)上恒成立，故p(x)在+8)上单调递增.因为爪1)=0,所以当x e 时，有P )0,即 工)0,HJ f(x)0,所以f(x)单调递增.因为(；)二殍,0)=1,r(4)=3-l n 2 /1 l所以a的取值范围是惇。转.；,+)匕有两个不相等的实当a l 时，由 g(x)(),m x ().得x a,则g(x)的增区间为(0,1)和(a,*).(2)(x)=2/(x)-x ln x-4 a+2=x 2-2 ar-x I n x-4 a+2.