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1、绝密 启用前2 0 2 1 年普通高等学校招生全国统一考试数 学(一)注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选 择 题)和 第 I I 卷(非 选 择 题)两 部 分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2 .回答第1 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3 .回答第I I 卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4 .考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。1 +i3A.-1 B.-2答案：B.2-i(2-i)(l-i)l-3 i第I卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共
2、 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z =(i为虚数单位)，其共枕复数为W,则Z的虚部为OC.i D.i21 3.解：因为=-:-=-=-1,1 +i (l+i)(l-i)2 2 21 3 3所以它的共规复数5 =-+-i,其虚部为一，故选B.2 2 22 .集合M=4R=(l,2)+?(2,3),?eR,N=“=(2,3)+(T 1),R,则MAN等 于()A.(1,2)B.(3,5)C.(-1,2)D.(3,-5)答案：B解：根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合“中，=(1 +2 7、2 +3 Z)；在集合N 中，:=(2-1,3
3、 一 1),1 +2 m =2 n-，解得2 +3 m=3 -1要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，.二 元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，“2 =1 =2 此时 =(3,5),故选B.3 .已 知 元二次方程a/+x+c =O 有两个不同的实数根七,王，则“2 4且玉+%4 ”的 是 2 且 毛 2A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解：已知小w是元二次方程以2 +版+c =O 的两个不同的实数根，当为 2 且巧 2 时，可得不 马 4,+x2 4 ；当为1 q 4 且N+占 4 时，可取x=1 0,x2=
4、0.5 ,此时不满足%2 且毛 2,所以 川 2且 2”是 内 占 4 且芯+七 4的充分不必要条件，即“芭 电 4 且+为 4”的充分不必要条件为“22且为 2 ，故选A.4 .若。=0.3 0 ,6 =0 严,c =l.203,则 a,b,c 的大小关系是()A.a b c B.c b a C.b c a D.a c b答案：B解：函数y =0.3,在R 上是减函数，.0 0.3O7 0.3O3 0.3=l,乂丁箱函数y =在(0,w)上单调递增，0.3 1.2=1,:.c b a,故选 B.5 .把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中,则四个
5、小球都没行放入相同颜色的纸盒中的概率为()A.竺81nB.-8-1-256c-1D-1答案：B解：将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为n=4*=256,四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，=34=81,O 1所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为P=,故选B.256由于经过点P与耳鸟的内切圆圆心/的 直线交x轴于点Q,6.己知 sin(a-2)4噜(0.sin(兀-2a)则 一-L=()sin a+cos a则PQ为N4PFz的角平分线，则。到直线尸耳、PF2的距离相等,A.迈2116x/41D.-2051 6 a205。挈所以_幽_固所以S阿匹日
6、钾5m网网PF同 理 可 得 西-丽 国-两答案：C解：:sin(a-=35/4 10由比例-露鬻相二呼3,.*.sina-cosa=-59 8将两边同时平方得 sin?a +cos2 a-2sin a cos a =,则 sina-cosa=0,25 25又因为一*2一3 所以椭圆的离心率小二c 恸1Q=于1故选A.0 a 0,cos a 0.8.在三棱锥P-A BC中，已知A4=4,NBAC=90,AB=,AC=石，若三棱锥P-ABC:.sin a+cos a=/(sinar+cosa)2=Jl+2sina cosa=,16.sin(7i-2a)_ sin 2a _ 2sinacosa _
7、 25 _16屈 -.-.sin a+cos a sina+cosa sin a+cos a J41 205工7.已知椭圆的方程为*+?=l(a 0),F鸟 为椭圆的左右焦点，尸为椭圆上 在 第 象限的一点，/为尸百鸟的内心，直线P/与x轴交于点Q,若|P0|二 3|/Q|,则该椭圆的离心率为()1112A.-B.-C.D.一2 3 4 3答案：A解：如图，连接阴、叫,/是APK6的内心，327r的外接球的体积为k，则三棱锥尸-ABC的体 积 为()3口 28 超 n 9A.1 B.-C.D.Z3 3答案：AA Q O解：设球半径为R,则上兀E=丝 兀，R=2,3 3而24=4,所 以 小 是
8、球的直径，球心。是 孙 中点，A B A.A C,所以8C中点E是直角AABC的外心，所以OE_L平面A8C,乂A Eu平面A 8 C,所以QEJ_A上，BC=XIAB2+AC2=2,AE=-B C =,OE=VOA2-A 2=V22-12=/3,20是AP中点，所 以/_ 八因=2%_八因=2乂3 5 0腔.0七=2 :乂!、1*6*6 =1,故选A.可得用、/鸟分别是ZPK外 和NP鸟耳的角平分线,p点 停,0）是f（X）的一个对称中心点B.“X）的图象是由y =s i n 2 x的图象向右平移g个单位长度得到C./（X）在p y上单调递增D.孙三是方程/（X）-等=0的两个解，则,一 演
9、|向.=二、多项选择题：本 题 共4小题，每 小 题5分，共2 0分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有多项符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得5分，部分 选 对 的 得2分，有 选 错 的 得0分.9下列说法正确的是（）A.线性回归方程二 乳+对应的直线一定经过点伍 同3B.5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为三5C.某中学为/解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容 量 为1 00的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为4:3:3,则应从高二年级中抽取3 0名学生D.“两个事件是对立事件”的充分不
10、必要条件是“两个事件是互斥事件”答案：A B C解：对A,线性回归方程 二 必+对应的直线一定经过样本中心点,亍），故A正确；答案：B C D解:/(x)=si n x c o sx+/3 si n2 x-所 以f （戈）=5 5访2工 一 一对B,C1 3恰好收到1件 次 品 的 概 率 为 言 =,故B正确;J 33对C,应从高二年级中抽取1 00 x =3 0名学生，故C正确：4 +3 +3对D,若两个事件是互斥事件，则两个事件不一定是对立事件：若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所 以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件”,故D错误,故选A B C
11、.1 0.已知函数/（x）=si n x c o sx +6 si n 2 X一 叶，则下歹i j结论中错误的是（）-si n 2 x+2fr(l-c o s2 x气2 2c o s2 x=si n 2 x 1,I 3 j对于A：令2工一3=而（攵 ），解 得 工 答+加wZ）,当2 =1时，x =y ,所以点（g,o）是 的 一 个 对 称 中 心 点，故A正确;对 于B ：y =si n 2 x的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为对于 C：当x w I I M,（与，兀）而函数y =si n x在（与，兀）上单调递减,_2 3故C错
12、误;对于D：令5 m（2*三）二亭，解得2工一 =+2E或2 x-1 =1 +2E（Ae Z）,即x =U +E或x =+E（kZ）,所以卜一9|=故 D错误，3 2 m,n 6综上，故选B C D.1 1.在AABC中，角A B,C所对的边分别为凡b,c,则能确定8为钝角的是（）A/i/iC X)B.A,C均为锐角，且si n A c o s CC.A,C均为锐角，旦ta n A+t a n 8+t a n C v O1).a2+c2 b2答案：A C解：对于A：A B BC 0,即一丽 觉=一|丽 J瓦 卜os B 0,可得c o sA vO,又B为三角形的内角，所以8为钝角：对于B：A,
13、C均为锐角，si n A c o s C等价于si n A si n 一 C),又因为y =si n x在(0,g)上单调递增，所以C,即 A +C g,B =7 t-(A +C)0，ta n C 0,又 ta n A +t a n 8+t a n C v O,所以 ta n 8 v O,故 B 为钝角；2 2 1 2对于D-cr+c2 h2,所以c o s 3=+0,所以B为锐角，故D错误，,lac练上选A C.(2r-,+1 2 .已 知 函 数f(x)=L ,帆 X X2 Xy X4,则()A.x,+x4=21,!C.-e2 X)-1 x2 2 V2vx2 X-2 =0,故g(x)是偶函
14、数，且最小值为 0.当x 0时，g(x)=2*l n 2-2 7 1 n 2 =(2*-2 T)l n 2 0,所以g (x)在(),+)上单调递增，J I；0二0,若/&)=/(/寸，且B.XyX2=1J _1D.2-e-e 2 Xj +x2+x3+x4 =。，当时，直线y =a与函数/(x)的图象有四个交点.数形结合可知Xa +x,=2,故A正确：由/&)=/(当),得|l n(F)|=|l n(F)|,又根据题意知$-1 三，所以l n(-W )=-I n(-演),即l n(一玉)+l n(9)二0,即也凡七二0，所以占 毛=1，故B正确:令|l n(F)|=|l n(-w)|=g,则l
15、 n(-x J=T，l n(F)=-g,1 _ 1得 E =-e2,x2=-e 2,2,因此一/一1 天 一0 2,故C正确：11又一代 x,-1 时，+X,+乙 +七=2+玉 +一,司且函数y =2+x +J在(-1,-1)上单调递增，!_ 1所以 2 /一6 2 xi+X 2+X 3+X 4 0),与直线y=3 x-4平行的切线斜率*=3=+2 x,解得x=l或x=；,当x=l时，=即切点为(1,1),此时点p到直线-=3X-4的距离为d=e竟=半：当x=g时，即切点为(g q-ln 2),3 _ 2 .,11此时点P到直线y=3 x-4的距离为：d=讨-=4=(”-41n2)屈 V10,
16、V10 V10 40 5故答案 为 平.O 216.已知正四面体A 8 8内 接 于 半 径 为 的 球O中，在平面BCD内 有 动 点P,且满足2AP=4&,则|8 P|的最小值是一；直 线A P与 直 线8 C所 成 角 的 取 值 范 围 为答案：2 6-2拉，L3 2J解：设A在面3 c。内的投影为E,故E为三角形BCD的中心，设正四面体A BCD的校长为x,球0的半径为R.则B E=2X X X=叵，AE=JAB-BE?二典，3 2 3 3依题可得，球心。在AE上，R2=BE2+(AE-RY，代入数据可得X=6,则 3E=26 AE=2y/6,又 4P=4及，PE=y/AP2-A E
17、2=2y/2,故P的轨迹为平面BCD内以E为圆心，2&为半径的圆,BE=2 6B,P,E三点共线时，且P在BE之间时，18Pl的最小值是2石-2&.以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，4(0,0,2旬,B(2/3,0,0),C(-/3,3,0),D(-,-3,0),设P(2及cos6,2sin0,0),(?eO.27t).故 丽=(2夜 cos 0,2岳in 0,-2#)，BC=(-3 A 3,0).设直线A P与直线BC所成角为白，.A P B C -6#cos。+6人 sin。1 .*cos a=.BCAP4&x 6=sin2_252.cosa e2252又aw 0,故a
18、w2故答案为2 6-2垃，7 1 7 13 27 1花3,2BF*C四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)已知数列%的前”项和为S”，且S”.1-2S“=S“-2 S“T(n2).q=2,a,=4.(1)求数列 q 的通项公式；(2)求数列(2+la,的前”项和7”.答案：(D 4=2 ；4=6+(2-3 2向.S,-2S=S-25.,(2).S”、-S.=2S-2S.,=2(5-5.,)(2),%产 2 a(2),义=4=2q,所以数列 ,是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列 勺 的通项公式为勺=2.(2)据(1)可得(2 l)
19、q=(2 -l)2,所以7；=lx2i+3x22+5x23+,.+(2-l 2,27；,=1X22+3X234-+(2W-3)-2W+(2W-1)-2/1+,22 x f I-2-)两式相减得一1=2 +2x(22+23+2)-(2-12”“=2+2x 冷-(2/?-l)-2rt+l,化简得 7；,=6+(2-32Z.18.(12 分)AA5C 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,、&=b 卜in A+JScos A)./3sin C=sin 网sin A+GCQS A),/3sin(4+5)=sinBsin A+/3sinBcosA./3 sin A cos 8+sin 3 cos
20、 A=sin 8 sin A+石 sin B cos A,:.A/3 CO S B=sin B,tan B=6,/()B /3,0),B(2,0,0),4(0,-2 6,8),片(2,0,4),G(0,2 8,2),因 此 通=(2,2 0,0),戢=(0,0,4),福=(2.2 6,4),晅=(0,4百,2).设平面A B q的法向量“=(x,y,z),所以卜 竺=，即 卜+底=,则=(-百,1,0)；n-B B,=0 4 z =0 v 同理可得，平面ABC的一个法向量，”=(3 j 5,L-2 j 5),、m n-9 +1 VlO期5,心 丽 行 一 号故二面角B -A B 1 -C 的余
21、弦值为2 0.(1 2分)2 02 1年4月1 5日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛.第轮比赛共设有四道题，规定，答 对 第 道 题 得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分.每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于一2分时，停止答题，淘汰：当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮.每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束.假设参赛者甲对第一、二、三、四 题 回
22、答 正 确 的 概 率 依 次 为P 且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用g表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求4的分布列和数学期望E(J).答案：(1)：(2)分布列见解析,E =3.3.40解：用K(i=l，2,3,4)表示甲第i个问题回答正确，N；(i=l,2,3,4)表示甲第i个问题回答错误，3 111则p(M)=g,P(M2)=-,P(M,)=-,P(M4)=-；p(N)=丁 P(N2)=-,P(M)=1 P(M)=(1)记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，贝I J：P(g)=P(M,M2M3)+P(NlM2M3M4)+P(MiN2M3M4
23、)+P(匕 0),过椭圆右焦点5且垂直于工轴的直线与椭圆在第/h2一象限交于点P,已知椭圆左焦点为耳(-石,0),三角形尸片。的 面 积 为 手，不垂直于x轴的直因为NAQO=N 3 Q O,所以砥Q+即Q=0,.J.y kx,+in kx-,+m _玉一 3 七一 3 而一 3 “i 3即（攵、+z）（x,-）+（Jex、+/n）（X 1 ）2kx、Xr+（/k（x、+x,）=。，得24（4 广一4）一8加（加一生叵k）_叵2（1 +422）=0,化简得m=-6 k，3 3直线A B的方程为y=k（x-5,所以，宜线AB恒过定点（石,0）.线与椭圆相交于A 8两点，点M为线段A 8的中点.(
24、1)求椭圆。的标准方程；(2)点。(殍,0)总满足NAQO=N 4 Q O,证明：直线A 8过定点.答案：(I)+/=1：(2)证明见解析.4解：(1)依题可得户的坐标为(石,SN FQ=$百可得g =又/=从+02,c=6 解得。=2,Z?=l.故 椭 圆 的 方 程 为?+产=1.(2)证明：依题可得宜线A 3的斜率存在，设直线A 5的直线方程为)，=依+加,设A(s，y),网 超,%)，M(x0,y0).上,2=1由77+，可得(4公+1 b 8 k加:+4-一4 二 0,y=kx+mA=16(422-m2+1)0 即 n f-8/77?4/一 4,*+*=7 7中 占七=炉22.(12
25、分)己 知 函 数 制=+4.x(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；2)设g(x)=/(x)+$若对任意的工(),+oo),都有g(x)/恒成立，求a的取值范围.答案：(1)g p O ；(2)a .八，、Inx ri-、1-lnx解：令g(x)=，则g(x)=X X当0 0：当x e时，g(x)0，所以g(A)在(0,e)上单调递增，在(e,+0 时，g(x)f YO：当x=e时，g(1)二；当x f+o o时，g（x）-0.所以当0 -a ,，即-2 a 0,f(x)有两个零点,综上所述，满足条件的。的取值范围是a 0,不等式g(x)V e”恒成立,0),则 F(x)=-；-XX2令 h(x)=x2ex+I n x,则/?(x)=(x2+2 x)ev+0,.(4)在(0,+?)上为增函数,又人(l)=e0,方(！)=弓 一1 =/“一1 0,1)使得 (,)=0,即,e +I n X。=o，:.Ox X o时，(“0，F x)0,F,(x)0,F(x)在(七,+x)上单调递增，xo由片e*+I n.%=0 ,可得与淖=I n =fl n l e 闻，%/I x j令心)=，则/(%)=/(I n ,又 x)=(x +l)-0,./(X)在(0,+?)上单调递增，x0=I n -,/.I n xQ=-xQ,e =,与e =1,%)=至