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1、绝密 启用前2021年普通局等学校招生全国统一考试九双曲线2-今=|（。/）的 一 条 渐 近 线 方 程 为 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 ）注意事项:理科数学i.本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。后 屈 币 2币A.-B.-C.-D.-3 7 2 7答案：A解：由题意，双曲线-二=1（。0力0）的一条渐近线方程为y=h 22.回 答 第1卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。可得凹=正，所以a：c=G：2:近，解得e=叵
2、,故选A.h 2 33.回答第H卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4.已知向量a=(l,0),网=G，且 _L(a+b),则卜+2 b|=()4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。A.2B.a第I卷（选择题）c正.VD.3一、选择题：本大题共12小题，每 小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=（7）,+V 0 2内2,），6 2 ,则集合M的真子集的个数为（）A.29-1B.28-1C.25D.24+1答案：A解：集合1),(0,0,0),答案：D解：由4 _L(a+b)=a(a+b)=0=a2+Q =0,因为同=1,所以“功=-1
3、,所以|。+2同=5/（+2力2=%2+41 +42=3,故选D.故其真子集的个数为2。-1个，故选A.ifi-2i2.已知复数2=巴l-2 i若z在更平面内对应的点位于第三象限，则实数，的取值范围为（）A.(-oo,-6)答案：BB.STC.(4,+oo)D.(6,+oo)/w+4+(2/w-2)i _ m+4 2m 2.555因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则7+4 c-0 5,解得2 0 时，令/?(x)=2 x+s in x,则(工)=2+c o s x 0,故(x)(0)=0,故当 0 时,/(x)l,故排除D；而 f(-1)=一号1 0,故排除A,故选B.6.已知x,y
4、e R,则“甘 卜 凶 ,可化为一)+a+)N 1,有(/、+2x _ 2)+白(*+ex)1,有(炉+5+a(靖+1)2 0,得 a 2,一 (靖+、)又由+e X N 2,有一2=，故选C.2 21 0.在 体 积 为 8 的 正 方 体 ABC。-A M G A 内部任意取一点P，能使四棱锥尸A5C。，P-A B B ,P-B B g C,P-C C D,P-D D A,P A 耳G 0 的体积大于g 的概率为()故选C.1A.-31B.-6c-1D.8答案：I)解：作与正方体每个面平行且距离为L的截面，从而可以在正方体内部得到个小的正方体，由题2意 可 得 当P点落在小正方体内部时，能
5、 使 四 棱 锥PA 5 C。，P-A B B ,P-B B C,P-CCDyD,P-DD A,PA 4GA 的体积大于g,根据几何概型概率公式知P =8 =-.故选D.8 83 4 7 T 4 7 T1 1.已知函数f(x)=匚s in公E+-C OS 0 X (O K x V )的值 域 为 一/，其中00,则c o s(一5 5 4 _ 5 4457 14的取值范围是()A.7 32 5,5B.C.D.7_ 42 5 1 5答案：I)解：因为/(x)=s in(v+e)(其中s in夕=1,c o s 9 =1,0夕 0,0 x,所以7 4 4因为g(9)=，且所以g(兀一。)=，=故3
6、4；3+夕兀一尹，即g 一夕/兀一2夕.当0 m 9兀一2夕 兀时，y=c o s x单调递减,因为 c o s(g-Qsi npg 8sg 20=e*=s in 7 _ c o s 吟总总,所以c o s7 42 555，故选D.上一点，且NM玛=2/6似4 =生，|M 4|=：,则该摘圆的离心率为CA近 B 1 c 2逝 D62 2 3 3答案：B解：设|叫|二弓，则/;+&=2。=2,由余弦定理得归目2 =|“用2 +|A/7|2_2|A/|Af f；|c OS y,即4 c 2 =9+、+4弓=+弓/一斗弓=4一径,所以二4-4 c 2,因为 AF p W F.=+S4AM鼻 ,所以;
7、斗弓 s in =7 t =g/j|4卜$h1三+；4-IM AP s in y.整 理 得 化=+4).|眩1卜 即4-4C2=2X；,整理得C2=1,1 c 所以c =一,。=1,e =一,故选 B.2 a 2第II卷(非选择题)二、填空题：本 大 题 共4小题，每 小 题5分，共2 0分.1 3 .(x-0(l-3 x)的展开式中V的系数为答案：2 7解：由x-C：(-3xy+F*)c：(-3.r),=2 7 x 3,所以V的系数为2 7,故答案为2 7.1 4 .若函数y=e -3 e +3的值域为 1,7 .试确定x的取值范围是答案：(-b 0)的左右焦点分别为。鸟,点M是椭圆上一点
8、，点A是线段G6解：令/=/,则 了 =/一3，+3；令 1 /一3 7+3 4 7,解得一 或2K/S 4,即一1 或2 K/4 4,解得工4 0或ln2KxKln4,所以中11510矛盾，所以不满足,综上可知0 a V 2,故答案为0aV 2.故x的取值范围是（-oo,OU0n2n4.15.在ABC中，内 角A,B ,C所对的边分别为a,b,c,H(sin A-sinC)=(6+c)(sinB-sinC),8=2,则ZVIBC的周长的最大值是.答案：6解：因为(sin A-sinC)a=(/+c)(sin B-sinC)所以(4-c)a=(/?+c)(/2-c),即 /+，-b2=a c,
9、所以可得(a+c)2-3ac=4,所以(a+c)?-可a+c|4 4,解得a+cV4.2当且仅当a=c=2时等号成立,三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.12分）已知 叫 数列满足q=3,3q,“-9q,=32.1）证明：数列/为等差数列；3+2”“_g.4 4解：（1）依题，任两边同时除以3*。故（a+c）m、=4,所以A4BC的周长的最大值为6.得 细 一 组=1,4=,3+1 3 3 11 6.已知函数/(x)=-lg(7x2+1 -xj+sinx+2 x,若/(ax-2e*+2)0在xe(O,*)上恒成立，则正实数。的取值范围为.答案：
10、0aW2解：因为/(x)=_lg(5+sinx+2x；易得/（x）为奇函数，且/（同为增函数;又因为/（0）=lgl+0+2x0=0,所以/（6 -2/+2）0在（0,+8）上恒成立0/（01-2“+2）/（0）在（0,的）上恒成立,故数列 于j是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)得 争=1+(-1)=，可得q=.3,所以。“+2”=3+2,则数列 q+2的前项和S=lx3i+2i+2x32+2?+3x33+2+x3+2,所以 S”=(lx3i+2x32+3x3?+.+x3)+(2i+22+2?+2)，令 7；=lx3i+2 x 32+3 x 33+.+x3”，所以依-2Z+2 0
11、在（0,+1）上恒成立,则 3(=1X32+2X33+3X34+X3”,设(x)=2e-2,所以(工)=2/-，且2/2,由T D可得一27；=3+3?+33+.+3n-nx3=心；)一”3/,+,当时，hx）=2ex-a 0,所以刈 可 在似+上递增，所以妆x）=0,满足:当4 2时，令（大）=2 -=0,所以x=In所以M H在 上 单 调 递 减，在（in,+8）上单调递增,3 3川 nx3w+,-1-4 2所W字+哈+警=5+2-.18.（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市.民报名参加，其中男性12 0 0人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的
12、方法随机抽取了 10 0位市民进行调查,根据调查结果发现分数分布在4 5 0 9 5 0分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于7 5 0分的得分者称为“高分选手”.(1)求。的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)现采用分层抽样的方式从分数落在 5 5 0,6 5 0),7 5(),8 5 0)内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望；(3)若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列2 x 2列联表，并判断是否有
13、9 7.5%的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？属 于“高分选手”不属F “高分选手”合计男生女生合计(参考公式：K2=-T，期中=o+0 +c+d)(a +b)(c+d)(a +c)(b +d)样本平均数为天=50 0 x 0.1 5+60 0 x 0.35+70 0 x 0.2 5+80 0 x 0.1 5+90 0 x().1 0 =670,中位数650,众数60 0.(2)由题意，从 550,650)中抽取7人，从 750,850)中抽取3人,随机变量x的所有可能取值有0，1，2,3.3 4)=笔4=0，1，2,3),J o所以随机变量X的分布列为：X0123P351 2
14、 0631 2 02 1?2 011 2 0随机变量X的数学期望E(X)=l+2 x三+3*工=.,)1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0(3)由题可知，样本中男性60人，女性40人，属 于“高分选手”的2 5人，其中女姓1 5人：得出以下2 x 2列联表;属 于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生1 05060女生1 52 540合计2 5751 0 0K2、=-n(vad-bc)1 0 0(1 0 x 2 5-1 5x 50)50 ,-=-L =5.556 5.0 2 4(a +b)(c +d)(a +c)(6+d)2 5x 75x 40 x 60 9所以有97.5%的把握认为该市
15、市名属于“高分选手”与性别有关.P(K2k)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 722.70 63.8415.0 2 46.6357.8791 0.82 8答案：(1)4=0.0 0 35,平均数670,中位数650,众数60 0；(2)分布列见解析，期望为，；(3)1 0填表见解析，有97.5%的把握认为.解：(1)由题意知 H X)x().O O 1 5+a+O.(X)2 5+().(X)1 5+O.(X)l)=l,1 9.(1 2 分)如图所示，直角梯形4 8 CD中，A DHB C、A D 1AB,B C=2 A B =2 A
16、 D =2,四解得 a =0.0 0 35,（1）求证：B DF上平面DCF；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析：（2）-孚.设向量刑与!的夹角为8,则m/i=M H|.c o s 8,.c o s 6=2 x l+0 x l+lx lx/1 5V l2+12+12-5/22+02+l2 5解：证明：连接B D,依题可得应，CD=血,二面角A-BE-F的余弦值为一半：.B D2+CD2=8 C2,：.B D C D,又四边形E D C F为矩形，平面以乂尸，平面A 8C O,。尸1.平面4 8 8，.。/_1 _ 8。，YC尸n 8 =C，班_1 _平面8尸，平面8D F _ L平
17、面。C F.（2）取6 c中点G,连接D G.如图，以。为原点，D4所在直线为工轴，0G所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间直2 0.（1 2分）椭圆C的方程为 +今=1（。60）,过椭圆左焦点耳且垂直于x轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P,椭圆的右焦点为F”已知t a nN P鸟耳=当，椭圆过点 1）求椭圆C的标准方程:（2）过椭圆C的右焦点6作直线/交椭圆。于A、8两点，交），轴于M点，若 必=4丽,砺=%瓯，求证：4+4为定值.角坐标系，则 A(l,0,0),8(1 J O),(0,0,2),F(-l,l,2),B E =(-1,-1,2),荏二 (0,1,0),B F =(-2,
18、0,2),设平面A B E的一个法向量为n=(工,y,z),f-x-y+2 z =0 Cz.不妨设x =2,y=0,则z =l,b=o.,.n=(2,0,1)；设平面B EF的一个法向量为m=（5,y,z j,口-乂+2 Z|=0-2+2 z,=0不妨设 =1,则片=1 ,Z j =1 Z H =(1,1,1),答案：（1）+/=1；（2）证明见解析.4.b2 2-2 2/Q解：依 题 可 知?耳=一,t a nZ P F F =-=a C=,a 2c所以 1 2。2 1 2。2 =2岛。，即6解得=a又；椭圆c过点*=1,联立可得/=4,=,2椭圆C的标准方程为 +）3=1.4.（2）设点4
19、（z，y J、3（孙 月），尸（石 ，由题意可知，直线/的斜率存在，可设直线/的方程为M工-yG）联立X-,.+V-=14 ,可 彳 导(4攵+1)/一86人2 1+1 2攵2 4 =0,由于点尸2在椭圆C 的内部，直线/与椭圆C 必有两个交点,由韦达定理可得X)+x,=,X),X-,-4K +1 12攵 2-44k2+.祝=4 再，血=4 瓯，得(、，)1一%)=4(6一芭，一)1)，(占，)2一%)=4(百 一 占，一七)，2,=-p,V3-x1-V 3-X2244 2 一 2(12公-4)A.I 几；-I f 6(3+占)-2工内 一 4 代+1一 百-$百 _ 七 3-7 5(菁+/)
20、+斗 G(122-4)-24A:24k2+21.(12分)已知函数/(x)=2 乎+.(1)试讨论函数/(1)的零点个数；(2)设g(x)=X2 一/(X),不 占 为函数g(x)的两个零点，证明：中 2 0：当x e 时，/,(x)0,所以/(x)在(0,)上单调递增，在(4+YO；?当x=e 时，/(A)=+：e当x+oo时，a,所以当a 0 时，/(工)有一个零点：当 一:a 0 时，有两个零点;/(工)没有零点.当。0,x所以函数/。)=V +m x-1在(0,+8)上单调递增,又/。)=0,列表如下：X(OJ)1(l,+oo)g(x)-0+gM极小值所以函数g(x)在(0,1)上单调
21、递减，在(1,y)上单调递增，设芭 9，可得0$1 v M，0 l),则(x)=1 +r-=v/0(x 1),X X X X函数h(x)在(1,-)上单调递增，所以人(占)=-21nx2 (1)=0,2当a=一时，力 有一个零点;所以g(M)-g(j)0，即 g(M)g(5)又函数g。）=/一 21吧 一。在（0,1）上单调递减,x所以所以X2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOx中，已知曲线C的参数方程为卜=6 +2 co s（学 为参数）,直线/的方程为y=I+2sin 夕x=/3+t2L-（
22、f为参数）.以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.丛,y-一zI-2（1）求曲线。的极坐标方程和直线/的普通方程；，-1）2=4,所 以 归 川-归 训=/2=6.23.(10分)【选修4-5：不等式选讲】已知函数/(x)=|2X-6|+|2X4-2|.(1)求不等式的解集；(2)若a,b,c为正实数，函数f(x)的最小值为Z,且满足J5a+c=f,求/+02的最小值.答案：(1)-2,4；(2)16.解：(1)由/(工)=|21-6|+|2汇+2|,x 4 1所以 小人小 C/S=-2WXW T：-(2x-6)-(2x+2)12-1 x3八 八 c/s n T%3外(2X-6)+(2X+2)5 2 =3VX，综上所述xw-2,4,所以不等式/*)K 12的解集为-2,4.(2)因为|2工 一6|+|24+2|之|(2人 一6)(24+2)|=8,所以函数J(x)的最小值为8,即f=8,所以十 力+c=8,由a,b,c为正实数,(a2+b2+c2(f2+1+1 j(y/2a+b+cX则 a2+b2+c2=-=16.4 4所以/+/?+/2 1 6.当且仅 当=2=时，取等号，V2 I I故/+/的最小值为16.得-6-3 =0,所以4+4=yf3