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1、精心整理 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式 一般地，假设12,.,na aa为 n 个非负实数，它们的算术平均值记为 几何平均值记为 11212(.).nnnnnGa aaa aa。算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。1212.nn
2、naaaa aan ，即nnAG，当且仅当12.naaa 时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法）（1）当2n 时，已知结论成立。（2）假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对0,1,2,.,iaik有 精心整理 11212.(.)kknaaaa aak。那么，当1nk 时，由于 1211.1kkaaaAk ，11121.kkkkGa aa a，关于121,.,ka
3、aa是对称的，任意对调ia与ja()ij，1kA和1kG的值不改变，因此不妨设1121min,.,kaa aa，1121max,.,kkaa aa 显然111kkaAa，以及1111()()0kkkaAaA可得 111111()kkkkAaaAa a.所以11112111(1).kkkkkkkAkAAaaaAAkkk 即12111.()kkkkkAaaaaA两边乘以1kA，得 111211112111.().()kkkkkkkkkkAaa AaaAaaa aG。从而，有11kkAG 证法二（归纳法）（1）当2n 时，已知结论成立。（2）假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对0,1,2,.,i
4、aik有 1212.kkkaaak a aa 。那么，当1nk 时，由于 从而，有11kkAG 证法三（归纳法）（1）当2n 时，已知结论成立。（2）假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对0,1,2,.,iaik有 1212.kkkaaak a aa 。那么，当1nk 时，由于 证法四（归纳法和变换）司经营管理中心乙方根据中华人民共和国民法典及双方合意为明确甲乙双方在联营协作过程中权利义务和责任经甲乙双方友好协商订立此合同并共同遵守第一条基本文件甲方需向乙方提供盖有公章营业执照组织机构代码证等有关证许可证质检报告等有关证照复印件及法人代表证明书授权书第二条经营范围与经营方式甲方在提供方米场地
5、不转移场地所有权详见附件一场地图纸乙方在该场地营销其有权提供品牌餐饮娱乐服务具体服务项目见附件二餐饮娱乐服务乙方必须自己办理与经营有关一切证照文件包括但不限于娱乐经营许可证卫生许可证有关消防及环境保护等批准文件工商执照等乙方应于每月日前向甲方支付物业管理费人民币元乙方经营场地水电费采暖费用由乙方另行支付餐饮娱精心整理 证法五（利用排序不等式）设两个实数组12,.,na aa和12,.,nb bb满足 1212.;.nnaaabbb ，则1 122.nna ba ba b（同序乘积之和）1122.jjnjna ba ba b（乱序乘积之和）1211.nnna ba ba b（反序乘积之和）其中1
6、2,.,njjj是1,2,.,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是12.naaa 或12.nbbb 成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设12120,0,1 则对12,0 x x 有 12121 122xxxx等号成立的充分必要条件是12xx。琴生不等式（Jensen）设(),(,)yf x xa b为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)ixa b(1,2,.,)in，我们都有 11221 122()().()(.)nnnnf xf xf xfxxx 或 其中10(1,2,.,)1niiiin 习题一 1.设11,1a bRab。求证：对一切正整数n
7、，有 2.设,a b cR求证：3.设123,x xx为正实数，证明：4.设,a b cR1abc ，求证：5.设,x y zR，且xyz，求证：司经营管理中心乙方根据中华人民共和国民法典及双方合意为明确甲乙双方在联营协作过程中权利义务和责任经甲乙双方友好协商订立此合同并共同遵守第一条基本文件甲方需向乙方提供盖有公章营业执照组织机构代码证等有关证许可证质检报告等有关证照复印件及法人代表证明书授权书第二条经营范围与经营方式甲方在提供方米场地不转移场地所有权详见附件一场地图纸乙方在该场地营销其有权提供品牌餐饮娱乐服务具体服务项目见附件二餐饮娱乐服务乙方必须自己办理与经营有关一切证照文件包括但不限于
8、娱乐经营许可证卫生许可证有关消防及环境保护等批准文件工商执照等乙方应于每月日前向甲方支付物业管理费人民币元乙方经营场地水电费采暖费用由乙方另行支付餐饮娱精心整理 6.设,a b cR，满足2221abc，求证：3abbccacab 7.设,a b c d是非负实数，满足1abbccdda，求证：8.设n为给定的自然数，3n，对于n个给定的实数12,.,;na aa 记(1)ijaaijn 的最小值为m，求在22212.1naaa 的条件下，m的最大值。司经营管理中心乙方根据中华人民共和国民法典及双方合意为明确甲乙双方在联营协作过程中权利义务和责任经甲乙双方友好协商订立此合同并共同遵守第一条基本文件甲方需向乙方提供盖有公章营业执照组织机构代码证等有关证许可证质检报告等有关证照复印件及法人代表证明书授权书第二条经营范围与经营方式甲方在提供方米场地不转移场地所有权详见附件一场地图纸乙方在该场地营销其有权提供品牌餐饮娱乐服务具体服务项目见附件二餐饮娱乐服务乙方必须自己办理与经营有关一切证照文件包括但不限于娱乐经营许可证卫生许可证有关消防及环境保护等批准文件工商执照等乙方应于每月日前向甲方支付物业管理费人民币元乙方经营场地水电费采暖费用由乙方另行支付餐饮娱