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1、均值不等式归纳总结 1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab (当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx 即或 (当且仅当ba 时取“=”）4.若0ab，则2abba (当且仅当ba 时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa 即或 (当且仅当ba 时取“=”）5
2、.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解：(1)y 3x 212x 2 23x 212x 2 6 值域为 6，+）当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植
3、时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值(2)当 x0 时，yx1x 2x1x 2；当 x0 时，yx1x=（x1x）2x1x =2
4、值域为（，22，+）解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx 的最大值。解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xxg不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx Q，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 例 1.当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx 为定值，故只需将(82)y
5、xx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立
6、故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy 当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx （当且仅当 x1 时取“”号）。技巧四：换元 解析二：本
7、题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x 1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt （当 t=2 即 x1 时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()Aymg xB ABg x，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10
8、,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑
9、上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx (3)12sin,(0,)sinyxxx 2已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3203x，求函数(2 3)yxx的最大值.条件求最值 1.若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 .分 析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33 和都是正数，
10、ba33 632332 baba 当ba33 时等号成立，由2 ba及ba33 得1 ba即当1 ba时，ba33 的最小值是 6 变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求 x,y 的值 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。错 解：Q0,0 xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy 故 当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和
11、最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值min12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy 等号成立条件是xy，在1992xyxy 等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在
12、利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy Q，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,且1ybxa，求yx 的最小值 技巧七 已知x，y为正实数，且x 2y 22 1，求x1y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 22。同 时 还 应 化 简1y 2 中y2前 面 的 系 数 为 12，x1y 2 x 21y 22
13、 2 x12 y 22 下面将x，12 y 22 分别看成两个因式：当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求
14、解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即x1y 2 2 x 12 y 22 34 2 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a302bb1，ab302bb1
15、 b2 b 230bb1 由a0 得，0b15 令tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab 18 y 118 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号
16、又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab 令uab 则u222 u30 0，52 u 32 ab 32，ab 18，y118 点评：本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab
17、的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数 W3x 2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab2 a 2b 22，本题很简单 3x 2y 2（3x）2（2y）2 2 3x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0，W2 3x 2y23x 2y 10 23x 2y 10(3x)2(2y)2 10(3x2y)20 W 20 25 当且仅当时
18、取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值变式
19、:求函数152152()22yxxx 的最大值。解析：注意到21x 与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 又0y，所以02 2y 当且仅当21x=52x，即32x 时取等号。故max2 2y。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式 1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 1）正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)
20、8abc 例 6：已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa，可由此变形入手。解：Qa、b、cR，1abc 。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc gg。当且仅当13abc 时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy 191xy，991.xyxykx
21、ky1091yxkkxky 10312kk 。16k ，,16m 当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解
22、但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .分 析：1 ba 0lg,0lgba 21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小 当且仅当时取即或当且仅当时取若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取若则当且仅当时取当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以求它们的积的最小值正所谓积定和最小和定积最大求最值的用一求最值例求下列函数的值域解值域为当时当时值域为解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值解因所以首先要调整符号又对要进行拆凑项不是常数所以当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用均值不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用均值不等式求最大值变式设求函数的最大值