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1、学习必备 欢迎下载 高考不等式经典例题【例 1】已知 a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较 P 与 Q 的大小.【解析】因为 a3a1(a2a1)a2(a1)，当 a1 时，a3a1a2a1，PQ；当 0a1 时，a3a1a2a1，PQ；综上所述，a0，a1时，PQ.【变式训练 1】已知 ma1a2(a2)，nx2(x12)，则 m，n 之间的大小关系为()A.mn B.mn C.mn D.mn【解析】选 C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.ma1a2a21a22224，而 nx2(12)24.【变式训练 2】已知函数 f(x)ax2c，且4f
2、(1)1，1f(2)5，求 f(3)的取值范围.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令 f(3)9ac(ac)(4ac)，所以1,9438,35 故 f(3)53(ac)83(4ac)1,20.题型三 开放性问题【例 3】已知三个不等式：ab0；cadb；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式作等价变形:cadbbcadab0.(1)由 ab0，bcadbcadab0，即；(2)由 ab0，bcadab0bcad0bcad，即；(3)由 bcad0，bcadab0ab0，即.故可组成 3 个正确命题.【例
3、2】解关于 x 的不等式 mx2(m2)x20(mR).【解析】当 m0 时，原不等式可化为2x20，即 x1；当 m0 时，可分为两种情况：(1)m0 时，方程 mx2(m2)x20 有两个根，x11，x22m.所以不等式的解集为x|x1 或 x2m；(2)m0 时，原不等式可化为mx2(2m)x20，学习必备 欢迎下载 其对应方程两根为 x11，x22m，x2x12m(1)m2m.m2 时，m20，m0，所以 x2x10，x2x1，不等式的解集为x|1x2m；m2 时，x2x11，原不等式可化为(x1)20，解集为；2m0 时，x2x10，即 x2x1，不等式解集为x|2mx1.【变式训练
4、 2】解关于 x 的不等式ax1x10.【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x1a或 x1；当1a0 时，不等式的解集为x|1ax1；当 a1 时，不等式的解集为；当 a1 时，不等式的解集为x|1x1a.【例 3】已知 ax2bxc0 的解集为x|1x3，求不等式 cx2bxa0 的解集.【解析】由于 ax2bxc0 的解集为x|1x3，因此 a0，解得 x13或 x1.(1)zx2y4 的最大值；(2)zx2y210y25 的最小值；(3)z2y1x1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(
5、1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线 x2y4z 过点 C 时，z 最大.所以 x7，y9 时，z 取最大值 21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是(|052|2)292.(3)z2y(12)x(1)表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(1，12)连线斜率的 2 倍.因为 kQA74，kQB38，所以 z 的取值范围为34，72.【例 1】(1)设 x，yR，且 xy(xy)1，则()A.xy2(21)B.xy2(21)C.xy2(21)2 D
6、.xy(21)2(2)已知 a，bR，则 ab，ab2，a2b22，2abab的大小顺序是 .【解析】(1)选 A.由已知得 xy1(xy)，又 xy(xy2)2，所以(xy2)21(xy).解得 xy2(21)或 xy2(1 2).因为 xy0，所以 xy2(21).(2)由ab2 ab有 ab2 ab，即 ab2abab，所以 ab2abab.的大小关系为解析选本题是不等式的综合问题解决的关键是找中间媒介传递而变式训练已知函数且求的取值范围解析由已知令所以故题型三开放性问题例已知三个不等式以其中两个作条件余下的一个作结论则能组成多少个正确命题式可化为即当时可分为两种情况时方程有两个根所以不
7、等式的解集为或时原不等式可化为学习必备欢迎下载其对应方程两根为时所以不等式的解集为时原不等式可化为解集为时即不等式解集为变式训练解关于的不等式解析原不等式例已知的解集为求不等式的解集解析由于的解集为因此解得或的最大值的最小值的取值范围解析作出可行域如图所示并求出顶点的坐标易知直线过点时最大所以时取最大值表示可行域内任一点到定点的距离的平方过点作直线的垂线学习必备 欢迎下载 又ab2a22abb242(a2b2)4，所以a2b22ab2，所以a2b22ab2 ab2abab.【变式训练 1】设 abc，不等式1ab1bcac恒成立，则 的取值范围是 .【解析】(，4).因为 abc，所以 ab0
8、，bc0，ac0.而(ac)(1ab1bc)(ab)(bc)(1ab1bc)4，所以 4.【例 2】(1)已知 x54，则函数 y4x214x5的最大值为 ；【解析】(1)因为 x54，所以 54x0.所以 y4x214x5(54x154x)3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立.所以 x1 时，ymax1.【变式训练 2】已知 x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求(ab)2cd的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得 abxy，cdxy，所以(ab)2cd(xy)2xy2xyyx，当yx0 时，(ab)2cd4；当yx0 时，(ab)2cd0，故
9、(ab)2cd的取值范围是(，04，).例 已知28,0,1x yxy，求xy的最小值。解：222846446413223264yxyxxyxyxyxyxyxy。当且仅当2812xy 时，即4.16xy，上式取“=”，故min64xy。例 已知01x，求函数411yxx 的最小值。解：因为01x，所以10 x。所以 4 14141159111xxyxxxxxxxx 。当且仅当 4 11xxxx时，即23x，上式取“=”，故min9y。例 已知,x y zR，且1xyz ，求149xyz 的最小值。解：设0，故有10 xyz 。的大小关系为解析选本题是不等式的综合问题解决的关键是找中间媒介传递而
10、变式训练已知函数且求的取值范围解析由已知令所以故题型三开放性问题例已知三个不等式以其中两个作条件余下的一个作结论则能组成多少个正确命题式可化为即当时可分为两种情况时方程有两个根所以不等式的解集为或时原不等式可化为学习必备欢迎下载其对应方程两根为时所以不等式的解集为时原不等式可化为解集为时即不等式解集为变式训练解关于的不等式解析原不等式例已知的解集为求不等式的解集解析由于的解集为因此解得或的最大值的最小值的取值范围解析作出可行域如图所示并求出顶点的坐标易知直线过点时最大所以时取最大值表示可行域内任一点到定点的距离的平方过点作直线的垂线学习必备 欢迎下载 1491491491xyzxyzxyzxy
11、zxyz 24612 。当且仅当149,xyzxyz同时成立时上述不等式取“=”，即123,xyz，代入1xyz ，解得36，此时1236 ，故149xyz 的最小值为 36。例 若正实数 x，y 满足26xyxy ，则 xy 的最小值是 。（变式：求 2x+y 的最小值为_）答案：18 解：因为 x0，y0，所以62262xyyxxy，2 260 xyxy，解得3 22xyxy 或（舍）等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。变式答案：12 解：因为 x0，y0，所以21 226()22xyxyxy 整理得2(2)8(2)480 xyxy，解得21224(xyxy 或
12、舍）等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x+y 的最小值为 12。例 若对任意0 x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是 。答案：15a 解：因为0 x，所以12xx（当且仅当x=1时取等号），所以有 21111312353xxxxx，即231xxx的最大值为15，故15a。的大小关系为解析选本题是不等式的综合问题解决的关键是找中间媒介传递而变式训练已知函数且求的取值范围解析由已知令所以故题型三开放性问题例已知三个不等式以其中两个作条件余下的一个作结论则能组成多少个正确命题式可化为即当时可分为两种情况时方程有两个根所以不等式的解集为或时原不等式可化为学习必备欢迎下载其对应方程两根为时所以不等式的解集为时原不等式可化为解集为时即不等式解集为变式训练解关于的不等式解析原不等式例已知的解集为求不等式的解集解析由于的解集为因此解得或的最大值的最小值的取值范围解析作出可行域如图所示并求出顶点的坐标易知直线过点时最大所以时取最大值表示可行域内任一点到定点的距离的平方过点作直线的垂线