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1、2020-2021学年杭州之江高级中学高二上学期期末数学试卷一、单选题(本大题共10小题，共40.0分)1.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是()A.0 B.0 C.0 D.02.8.下列命题为真命题的是A.已知以，b e R,则“三匕4 一 2”是“G 0且 b 的充分不必要条件abB.己知数列 a j 为等比数列，则“处%v g”是 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件C.已知两个平面cc,若两条异面直线加，号满足泞zua,都u且?n ,冏/cc,则a /PD.3 x0 e (-x,O),使3 M /2 D.84.已知圆C i：
2、(x 4)2+y 2=2 5,圆C 2：(%+4 产+*=1,动圆M与Q,C?都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=l(x 0)4 12 k J 4 12 v JC.=1(%0)5.空间直角坐标系。久 y z 中，某四面体的顶点坐标分别为(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),画该四面体三视图时，以y Oz 平面为投影面所得到的视图为正视图，则该四面体的侧视图是()c.D.6.如图，M是正方体A B C D-aB iC iD i的棱。必 的中点，给出下列命题过M点有且只有一条直线与直线4B、BiG都相交;过M点有且只有一条直线与直线4B、BiQ都垂直;过M点有且只
3、有一个平面与直线4 8、BiQ都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB、BiG 都平行.其中真命题是（）A.B.C.D.7.已知圆锥PO,A,B,C是底面圆周上任意的三点，记直线P4与直线BC所成的角为因,直线P4与平面4BC所成的角为“，二面角P C8.的平面角为。3,则（）A.B.C.D.已知两直线上3x-4y+7=0和，2：x=一1,点P在抛物线y?=4x上运动，则点P到直线%。3%。2。2-。3和力的距离之和的最小值是（）9.A.2C.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C,125D.3其长轴长为4,焦距为2,则C的方程为（）BTA.=l16 12B.5+1=1 或5+2=13+上1”
4、+?=1 或4=110.已知边长为1的等边三角形ABC与正方形4BDE有一公共边4 8,二面角C-A B-。的余弦值为它,3若4、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）B.3A.2nC.2nD.713二、单 空 题（本大题共5 小题，共 24.0分）1 1.已知两条平行直线k 2 x-y+l =0,l2：x+ay=0（a&R）,则k 与g 间的距离为12.若方程万望=a(x+2)有两个不相等的实数解，则实数a 的 取 值 范 围 是.13.已知过点(1,1)的直线与圆/+必一 4%-6y+4=0相交于4 B两点，则|48|的 最 小 值 为.14.如图，在长方体4BCD-4B1C1D1
5、 中，AB=AD=2V3，AA1=2,竹-F则异面DDi和B G 所 成 角 的 大 小 是.，丁 一以，4R15.己知圆/+y2-2%=0上的点到直线L：y=kx 2的最近距离为1,则/c=.三、多空题(本大题共2 小题，共 12.0分)16.双曲线式一”=1 的 渐 近 线 方 程 是 离 心 率 是 _(2)_.9 417.已知|砧=1,|b|=V 2,且1 1 +石)，则向量日与向量方夹角的大小是，向量E在向量五上的 投 影 向 量 是.四、解答题(本大题共5 小题，共 74.0分)18.已 知 抛 物 线=用 犀 的 焦 点 为 索，血、廨是抛物线线上异于坐标原点的不同两点，抛物线烈
6、在点,就、廨处的切线分别为小、&，且年 舄，&与&相交于点会.(1)求点会的纵坐标；(2)证明：，血、越、事 三点共线;19.如图1,0 的直径AB=4,点C、。为。上两点，且“4B=45。，F为面的中点.沿直径4B折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).(1)求证：。/7/平面4CD；(2)在4D上是否存在点E,使得平面O CE1平面S C D?若存在，试指出点E 的位置；若不存在，请说明理由.20.如图，AB是圆。的直径，点C是弧力B的中点，D,E分别是UC的中点，匕4_L平面4BC.(1)求异面直线DE与48所成的角：(2)证明：DE_L平面IMC.(3)若=&匕 4，求二面角4-B
7、 C-D 的大小.21.已知双曲线的焦点在支轴上，两个顶点儿,42间的距离为2,焦点到渐近线的距离为近.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线上任意一点的坐标为M(异于两个顶点)，直 线 和 M 4 的斜率分别是七，心.求心&的值.22.如图，已知点4(a,a),B(0,a),C(a,0),M,N分别是线段OB,AC上的动点，且满足|。|=|4 V|,求直线ON,CM的交点P的轨迹方程.参考答案及解析1.答案：D解析：试题分析：长方体的体对角线即为球的直径2 R =国=回，再根据球的表面积公式0得.考点：球的内接长方体，球的表面积公式.2 .答案：C解析：选项,4 中，“4-2=才+2=(+
8、&：W 0 =a b 0 且 60的必要不ab ab ab充分条件，所以X错；选项3 中，由得，或，?，可 以 推 出 出 则该q 0 q 1数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,I，此时推不出外 /生，所以3 错；选项。中，当 x 0 6)。=1 =3%4%,所以。错.故答案为C.3.答案：D解析：解：.两圆G、C 2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1),故圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=|=7(a -4)2+(a -I)2.-.a=5+2 V 2,或a =5-2&，故圆心为(5 +2 企,5 +2 近)和(5 2 鱼,5 2 鱼)，故两圆心的距离I
9、 G G I =J(4&)2 +(4 V 2)2=8 故选：D.圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=J(a _ 4)2 +(a l)2,解方程求得a 值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|G。2 1 的值.本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题4 .答案：B解析：解：设动圆的圆心为：M(x,y),半径为R,因为动圆M与圆G：(x-4)2 +y 2 =2 5外切，且与圆C 2：(x +4/+y?=1外切,I M C J -|M C2|=5 +/?-l-R =4,：MC1-MC2 0).即动圆圆心M的轨迹方程是9 一5=l(x 0).故选：B.先根
10、据圆与圆的位置关系得到|M G|-I M C 2 I =sin”.B又。3，。2都是锐角，所以。3 N。2,故选：D.根据题意，求出s出。2=合，sin93=77=sin02得出结论.P A PM P A考查直线与平面，平面与平面，异面直线所成的角，中档题.8.答案：A解析：本题考查抛抛物线的定义，物线的简单性质，以及数形结合的思想，属于中档题.根据抛物线/=4%,求得抛物线的焦点尸和准线，推断出为抛物线的准线方程，由抛物线的定义知，P到准线的距离与P到尸的距离相等，进而可知抛物线y2=4x上一动点P到直线和直线，2的距离之和，即P到F和到直线匕的距离之和的最小值为尸到k 的距离.利用点到直线
11、的距离公式求得答案.解：抛物线/=4 x,.焦 点F(1,O),准线x=1,即，2为抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，P到准线的距离与P到F的距离相等，抛物线y2=4x上一动点P到直线k 和直线的距离之和即P到尸和到直线k 的距离之和.二最小值为F到 的距离.P到 直 线 和。的距离之和的最小值为d=黑=2，故选A.9答 案:D解析：解：楠圆C中心在原点，其长轴长为4,焦距为2,焦点在x轴上时，Q =2,C =1,b=yja2 c2=V3椭圆方程为：。+=1,4 3当椭圆的焦点坐标在y轴上时，椭圆方程为：9 +9 =1.故选：D.根据椭圆C中心在原点，焦点在工 轴上，其长轴长为4,焦距为2椭
12、圆C中心在原点，通过焦点在x或y轴上，其长轴长为4,焦距为2,求出几何量，即可得到椭圆C的方程；本题考查椭圆的标准方程与几何性质，注意分类讨论避免漏解，是基础题.1 0 .答 案:D解析：本题主要考查球的体积，四棱锥的外接球问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题.取底面4 B D E 的中心。，找出二面角的平面角求出CO,可知球心为。，即可求出球的体积.解：取底面4 B D E 的中心0,连接C。，作。于H,则则4 C H。为二面角C-4B-D的平面角，c o s zC W O =3 C H。中，CH=-,0H =之,2 2贝 北。2=C H2+O H2-2CH-OH-co
13、s乙CHO=3,I-1-2o x -y 3 x -1 x V3=,14 4 2 2 3 2V22V 0A =OB=OD=OE=OC=2球心为。，球的的半径为之，2.球的体积p =-71.()3=7T.3 2/3故选。.1 1 .答案：?解析：解：.,两条平行直线 4：2%-y +1 =0,l2：x 4-a y =0(a 6/?),1 a o 1一 =H-,；Q =-,2-11 2直线匕：2x y 4-1 =0,l2：2%y =0,则匕与。间的距离为媚=,由题意利用两条平行直线的性质，求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果.本题主要考查两条平行直线的性质，两条平行直线间的距离公式
14、的应用，属于基础题.1 2.答案：。亨)解析：解：画出函数y =V I=，与y =a(x +2)的图象，平即以。为圆心，1 为半径的上半圆与恒过定点(一 2,0)的直线 y =a(x +2),T/如图：方 程 万 彳=以 +2)有两个不相等实数解，可 得 舄 /2,且五 J.0 +B），所以五（五+3）=片+N i=l +&x cos。=0）解得c o s。=又。6 0,J T,则。=拳所 以 后 在 五 方 向 上 的 投 影 向 量 为 故答案为：4-4.1 8 .答案：（1）-1；（2）只 需 证 我 澹=%。解析：试题分析：（1）设点滴.、.殿的坐标分别为 轴,幽、氤掩 阿、鼻分别是抛
15、物线。在点痛、激处的切线，二直线处的斜率=簟=?，直线鼻的斜率%=醒加:*=鲁-唱 J L Q，二 霓=-1,得 时%=-4.3 分 ，就、廨是抛物线。上的点，.W _密 他 一5.脆.典4 4 直线%的方程为w卷=含 溪-哂 直线鼻的方程为理-1 与3喷.点会的纵坐标为-1 6分(2)证法1：声为抛物线。的焦点，.声卿鲍.直 线/的斜率为法Ta -L IT。甯-4硼一取 礴 4南血、廨、索三点共线.13分证法2：南为抛物线毁的焦点,考点：直线与抛物线的综合应用；向量关系的性质；直线垂直的条件；三点共线的证明;点评：向量法证明三点共线的常用方法:(1)若 遨 =叁凄.、辞 礴 且&句 W=1则
16、 愚 激、,t 三 点 共 线；(2)若国二城密1，则4、B、C三点共线。19.答案：(1)证明：NC2B=45,；.4C0B=90,又尸为正的中点，二乙FOB=45。，O F H A C,又A C u平面ACD,OF C平面ACD,。/:7/平面 4 M(2)解：存在，E为4。中点，,0A=OD,:.OE 1 AD,又0C 1 4B且两半圆所在平面互相垂直，OC 平面。加又AD u 平面04。，AD 1 0C,AD 1 平面 OCE,又AD u 平面ACD,.平面OCE 1平面ZCD.在 4 0 上是存在点E,E为4。中点，使得平面OCE_L平面4CD.解析：(1)由4a4B=45。，知47
17、。8=90。，由F为 反 中点，知4F0B=45。，从而得到。FAC,由此能证明OF 平面4CD.(2)存在，E为4。中点.由已条条件推导出。E _ L AD,AD 1 0 C,从而得到4 5，平面O C E,由此能求出在4D上是存在点E,E为4D中点，使得平面。CE J平面4CC.本题考查直线与平面平行的证明，考查直线上是否存在使平面与平面垂直的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.20.答案：证明：(1)因为 ,E分别是VB,VC的中点，所以8CD E,因此乙4BC是异面直线。E与4B所成的角.又因为2B是圆。的直径，点C是弧4 8 的中点，所以ABC是以NACB为直角
18、的等腰直角三角形.于是乙4BC=45。.故异面直线OE与4B所成的角为45。.()因 为 必 1平面4BC,BC u 平面4BC,所以BC 1 VA.由(I)知，BC LA C,所以BC 1 平 面 匕 4 c.又由(I)知，BC/DE,故平面V AC.(/)由(n)知，BC rVA,BC LA C,则乙4 C V 为所求二面角的平面角.又AB=囱4,则I M=4C,故N 4 C V =4 5解析：(1)根据异面直线D E 与A B 所成的角的定义即可得到结论；(2)根据线面垂直的判定定理即可证明D E L 平面匕4 c.(3)求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系，即可求二面角A-BC D
19、的大小.本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角和直线和异面直线所成角计算，考查学生的推理能力.21.答案：解：(1)根据双曲线的焦点在无轴上，两个顶点/1，出间的距离为2,焦点到渐近线的距离为 近，可得双曲线的方程为今一3=l(a 0,b 0),a=l,根据焦点0).到渐近线y =根的距离为近可得 尊-叫=V 2,求得b =V 2,双曲线的标准方程为一 一?=1.(2)由题意可得&(-1,0),A2(l,0),设点M的 坐 标 为 y),则有 2-1 =1,即、2 =2(一 一 1).直 线 和 的 斜 率 分 别 是 的=壬，七=三，可得%1 卜 2 =2.解析：(1)由题意可
20、得双曲线的方程为捻一=l(a 0,b 0),a=1.根据焦点(万 存,0)到渐近线 丫=板 的距离为近，求得b 的值，可得双曲线的标准方程.(2)设点M的坐标为(x,y),则有尤2 一3=1.再根据直线M4和M&的斜率分别是自=土、的=三，化简七七可得结果.本题主要考查双曲线的定义、性质、标准方程，直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，属于中档题.2 2.答案：解：设M(O,t)则N(a,a t)(O W t W a),直线。N,C M的方程分别为：y=x 丁 =a),联立消去t 可得：y=-x 2+(0 y a).直线O N,CM的交点P 的轨迹方程y=-x 2 +x,(0 y J a).解析：设N 的坐标，可得M坐标.直线。N,C M的方程分别为：y=?x，y=-(%-a),联立消去t 即可得出.本题考查了直线方程、抛物线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.